Bud W 10.pdf

(93 KB) Pobierz
X.Równaniaró»niczkowezwyczajneI-gorz¦du
1.Przykładyzjawiskprowadz¡cychdorówna«ró»niczkowychzwyczajnych.
1.1.Rozpadpierwiastkapromieniotwórczego.
Obserwujemyrozkładradioaktywnejmasy.Zdo±wiadcze«wiadomo,»ew
przypadkuniedu»ychmaswkrótkichodst¦pachczasuilo±¢rozło»onejmasy
jestwprzybli»eniuproporcjonalnadodługo±ciodcinkaczasurozkładuiilo±ci
nierozło»onejmasy.Znajdziemyrównanieopisuj¡cezale»no±¢masyodczasu.
Oznaczamy
•t-czas,
•m(t)-ilo±¢nierozło»onejmasywchwilit,
•t-przyrostczasu,t>0,
•m(t+t)−m(t)-ilo±¢masyrozło»onejwczasiet.
Napodstawieobserwacjimamy
m(t+t)−m(t)−km(t)t,
gdziekjestwspółczynnikiemproporcjonalno±ci,któryjestwielko±ci¡
charakterystyczn¡dladanejsubstancjiiniezale»yodczasu.
St¡d
m(t+t)−m(t)
t −km(t).
Przechodz¡cdogranicyprzyt!0otrzymujemy
m(t+t)−m(t)
t =−km(t),
lim
t!0
czyli
(1.1)m 0 (t)=−km(t).
Zwi¡zek(1.1),wyra»aj¡cyzale»no±¢mi¦dzyszukan¡funkcj¡m(t),jejpochodn¡
m 0 (t)orazzmienn¡niezale»n¡t,jestprzykłademrównaniaró»niczkowego
zwyczajnegorz¦dupierwszego.
1
Łatwosprawdzi¢,»eka»dafunkcjapostaci
(1.2)m(t)=Ce −kt ,
gdzieC2R,spełniarównanie(1.1),czylijestjegorozwi¡zaniem.Wobec
interpretacjifizycznejmasam(t)niemo»eby¢ujemna,zatemrozwi¡zania
(1.2)przyC<0niemaj¡sensuzfizycznegopunktuwidzenia.
Naszukan¡funkcj¦m(t)mo»emynało»y¢pewnedodatkowewarunki,tzw.
warunkipocz¡tkowe.Wnaszymprzypadkub¦dzietoilo±¢m 0 substancjiw
pewnejchwilit 0 ,cozapisujemym(t 0 )=m 0 .Podstawiaj¡cw(1.2)t=t 0 i
wykorzystuj¡cwarunekm(t 0 )=m 0 ,dostajemy
m 0 =Ce −kt 0 ,czyliC=m 0 e kt 0 .
Zatemzale»no±¢masypierwiastkaodczasuwyra»asi¦wzorem
m(t)=m 0 e −k(t−t 0 ) .
Mamym(t)!0,gdyt!1,cooznacza,»ezupływemczasuilo±¢pierwiastka
promieniotwórczegomalejeasymptotyczniedozera,niezale»nieodjegomasy
pocz¡tkowej.
2
1.2.Stygni¦cieciał.
CiałootemperaturzeS 0 zostajewchwilit 0 umieszczonewotoczeniuoni»szej
temperaturzeT,tj.T<S 0 .Poczynaj¡codchwilit 0 ciałostygnie,czyli
jegotemperaturaS=S(t)jestmalej¡c¡funkcj¡czasu.ZnajdziemyS(t).Z
obserwacjiwynika,»epr¦dko±¢stygni¦ciaS 0 (t)jestproporcjonalnadoró»nicy
temperaturyciałaS(t)itemperaturyotoczeniaT,coprowadzidozale»no±ci
(1.3)S 0 (t)=−k(S(t)−T),k>0,
gdziekjestwspółczynnikiemproporcjonalno±ci.
Podstawiaj¡c
S(t)−T:=x(t),
równanieró»niczkowezwyczajnerz¦dupierwszego(1.3)sprowadzamydo
równania
x 0 (t)=−kx(t),
któregorozwi¡zaniemaposta¢x(t)=Ce −kt ,czyli
S(t)=T+Ce −kt ,
gdzieC2R-dowolnastała.Wykorzystuj¡cwarunekpocz¡tkowy,tj.
S(t 0 )=S 0 ,otrzymujemy
S(t)=T+(S 0 −T)e −k(t−t 0 ) .
Wzórtenopisujetemperatur¦ciaławdowolnejchwilit.
3
2.Definicjarównaniaró»niczkowegoijegorozwi¡zania.
Definicja2.1.
NiechDR 3 b¦dziedanymzbioreminiechF:D!Rb¦dziedan¡funkcj¡
okre±lon¡naD. Równaniemró»niczkowymzwyczajnymrz¦duI-go (wpostaci
ogólnej)nazywamyrównaniepostaci
(2.1)F(t,x,x 0 )=0,
gdziexix 0 oznaczaj¡odpowiednioniewiadom¡funkcj¦ijejpochodn¡zmiennej
t.
Definicja2.2.
Przez rozwi¡zanie równania(2.1)naprzedzialeIRrozumiemyfunkcj¦
':I!Rokre±lon¡iró»niczkowaln¡naIorazspełniaj¡c¡warunki:
(i) 8t2I(t,'(t),' 0 (t))2D;
(ii) 8t2IF(t,'(t),' 0 (t))=0.
Uwaga.
Je»elifunkcjaFspełniaodpowiedniezało»enia,torównanie(2.1)mo»na
zapisa¢wpostaci(zwanejpostaci¡normaln¡)
(2.2)x 0 =f(t,x),
gdziefjestdan¡funkcj¡okre±lon¡napewnymobszarzeR 2 .
Definicja2.3.
Przez rozwi¡zanie równania(2.2)naprzedzialeIRrozumiemyfunkcj¦
':I!Rokre±lon¡iró»niczkowaln¡naIorazspełniaj¡c¡warunki:
(i) 8t2I(t,'(t))2;
(ii) 8t2I' 0 (t)=f(t,'(t)).
4
Definicja2.4.
Dowolnerozwi¡zanierównania(2.2)nazywamyjego rozwi¡zaniemszczególnym ,
ajegowykres krzyw¡całkow¡ równania.
Rozwi¡zaniemogólnym(całk¡ogóln¡) równania(2.2)nazywamywyra»enie
'(t;C),którewsposóbistotnyzale»yodparametruCidlaka»dejwarto±ci
C 0 nale»¡cejdopewnegoprzedziałujestrozwi¡zaniemszczególnymrównania
(2.2).
Przykład.
Dlarównaniax 0 =−kxrozwi¡zanieogólnemaposta¢x(t)=Ce −kt ,gdzie
Cjestdowoln¡stał¡.Kład¡cnp.C=1dostajemyrozwi¡zanieszczególne
x(t)=e −kt .
Dlarównaniax 0 =t 3 rozwi¡zanieogólnemaposta¢x(t)= 1 4 t 4 +C,gdzieC
jestdowoln¡stał¡,za±kład¡cnp.C=0dostajemyrozwi¡zanieszczególne
x(t)= 1 4 t 4 .
Definicja2.5.
Warunekpostacix(t 0 )=x 0 ograniczaj¡cyzbiórrozwi¡za«równaniaró»niczkowego
nazywamy warunkiempocz¡tkowym(warunkiemCauchy’ego) .
Równanie(2.2)uzupełnionetymwarunkiemtj.zagadnienie
x 0 =f(t,x),x(t 0 )=x 0 ,
nazywamy zagadnieniempocz¡tkowym(zagadnieniemCauchy’ego) .
Definicja2.6.
Funkcj¦U(t,x)nazywamy całk¡pierwsz¡ równaniaró»niczkowego,je»eli
U(t,x(t))=const8t2I,
gdziex(t)jestrozwi¡zaniemtegorównanianaprzedzialeI.
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin