Tomera algebra macierzowa.pdf

(179 KB) Pobierz
Algebra macierzowa
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
Mirosław Tomera
1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
W nowoczesnej teorii sterowania bardzo często istnieje potrzeba zastosowania notacji macierzowej
upraszczającej złożone wyrażenia matematyczne. Zazwyczaj notacja macierzowa umożliwia
łatwiejsze posługiwanie się zbiorem równań.
W celu wprowadzenia notacji macierzowej, rozważmy następujący zbiór n równań
algebraicznych:
a
11
x
1
a
12
x
2
...
a
n
x
n
y
1
a
21
x
1
a
22
x
2
...
a
2
n
x
n
y
2
(1)
...
a
n
1
x
1
a
n
2
x
2
...
a
nn
x
n
y
n
Równania te można zapisać w postaci równania macierzowego
a
11
a
12
...
a
1
n
x
1
y
1
a
21
a
22
...
a
2
n
x
2
y
2
(2)
...
...
...
a
n
1
a
n
2
...
a
nn
x
n
y
n
lub w następującej formie uproszczonej
y
(3)
Symbole A , x oraz y są macierzami zawierającymi współczynniki i zmienne zbioru pojedynczych
równań (1). W równaniu (3) iloczyn macierzy A oraz x jest równy y . Te trzy macierze zdefiniowane
są następująco:
a
11
a
12
...
a
1
n
A
a
21
a
22
...
a
2
n
(4)
...
...
...
a
n
1
a
n
2
...
a
nn
x
1
x
x
2
(5)
...
x
n
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
M. Tomera
1
Ax
86508429.005.png 86508429.006.png
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
y
1
y
y
2
(6)
...
y
n
1.1. DEFINICJE MACIERZY
Macierz jest zbiorem (kolekcją) elementów uporządkowanych w tablicę prostokątną lub kwadratową.
Nawiasy kwadratowe, takie jak te z równań (2), (4), (5), (6) używane są do oznaczania macierzy.
Ważne jest rozróżnienie pomiędzy macierzą i wyznacznikiem . Poniżej zebrane zostały podstawowe
własności macierzy i wyznacznika.
MACIERZ
WYZNACZNIK
Tablica pewnej liczby elementów
zawartych w n wierszach i m kolumnach
Tablica pewnej liczby elementów zawartych
w n wierszach i n kolumnach (zawsze
kwadratowa)
Nie posiada pojedynczej wartości, nawet
gdy jest kwadratowa.
Ma pojedynczą wartość.
Elementy macierzy . Kiedy macierz zapisana jest następująco:
a
11
a
12
a
13
A
a
21
a
22
a
23
(7)
a
31
a
32
a
33
a jest elementem macierzy w i
tym wierszu i j
tej kolumnie. Pierwszy indeks odnosi się do wiersza,
a drugi do kolumny.
Rozmiar macierzy. Rozmiar macierzy odnosi się do całkowitej liczby wierszy i kolumn. Dla
przykładu macierz (7) ma trzy wiersze i trzy kolumny i nazywana jest macierzą
3
3
(trzy na trzy).
.
Macierz kwadratowa. Macierz kwadratowa ma taką samą liczbę wierszy i kolumn.
Macierz kolumnowa. Składa się z jednej kolumny i więcej niż jednego wiersza i określana jest
macierzą 1
wierszami i m
kolumnami określana jest
n
m
n , n > 1. Bardzo często macierz kolumnowa nazywana jest wektorem kolumnowym.
Macierz wierszowa. Posiada jeden wiersz i więcej niż jedną kolumnę i jest macierzą m
1
, gdzie
m > 1. Macierz wierszowa bardzo często nazywana jest wektorem wierszowym.
Macierz diagonalna. Jest macierzą kwadratową z elementami ij
a = 0, dla wszystkich
i
j
.
Przykładami macierzy diagonalnej są
a
11
0
0
3
0
A
0
a
0
B
22
0
4
0
0
a
33
Macierz jednostkowa. Macierzą jednostkowa jest macierzą diagonalną ze wszystkimi elementami na
głównej przekątnej
( )
i
j
równymi 1. Macierz jednostkowa jest bardzo często oznaczana jaki I .
1
0
0
I
0
1
0
(8)
0
0
1
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
M. Tomera
2
ij
Macierz z n
86508429.007.png 86508429.008.png
 
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
Macierz zerowa. Jest macierzą, której wszystkie elementy są równe zero.
Macierz symetryczna. Jest macierzą symetryczną, której elementy spełniają następujący warunek
dla wszystkich i oraz j . Macierz symetryczna ma taką własność, że jeśli wiersze zamieniane
są z kolumnami to uzyskiwana jest taka sama macierz. Dwa przykłady macierzy symetrycznej
ij a
ji
4
5
6
3
2
A
5
2
3
B
2
4
6
3
1
Wyznacznik macierzy. Dla każdej macierzy kwadratowej może być zdefiniowany jej wyznacznik.
Wyznacznik macierzy kwadratowej określany jest jako
det
A
A
A
(9)
Dla przykładu wyznacznikiem macierzy (7) jest
a
11
a
12
a
13
A
a
21
a
22
a
23
(10)
a
31
a
32
a
33
Dopełnienie elementu wyznacznika. ij
A będący dopełnieniem pewnego elementu ij
a wyznacznika
n
tego rzędu A , jest wyznacznikiem uzyskanym po wyeliminowaniu wszystkich elementów i
tego
wiersza i j
tej kolumny pomnożonym przez
( )
1. Dla rładu dopełnienie elementu
i
j
a
11
wyznacznika A z równania (10) jest następujące
A
( )
1
1
1
a
22
a
23
a
a
a
a
(11)
11
a
a
22
33
23
32
32
33
Ogólnie wartość wyznacznika może zostać wyrażona w postaci dopełnień. Przyjmijmy, że A jest
macierzą
n
n
∑ =
m
det A
a
ij A
ij
( i = 1, lub 2,..., lub n )
(12)
j
1
lub
∑ =
n
det A
= 1
a
ij A
ij
( j = 1, lub 2,..., lub m )
(13)
i
Przykład 1
Wartość wyznacznika z równania (10) jest następująca:
det
A
A
a
11
A
11
a
12
A
12
a
13
A
13
a
11
a
22
a
33
a
23
a
32
a
12
a
21
a
33
a
23
a
31
a
13
a
21
a
32
a
22
a
31
(1.1)
Macierz osobliwa. O macierzy mówi się, że jest osobliwa jeśli wartość jego wyznacznika jest równa
zero. Jeśli macierz kwadratowa ma niezerowy wyznacznik, wówczas nazywana jest macierzą
nieosobliwą. Kiedy macierz jest osobliwa, oznacza to, że nie wszystkie wiersze i kolumny są
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
M. Tomera
3
a
, wówczas wyznacznik macierzy A może być wyrażony w postaci sumy iloczynów
elementów pewnej kolumny lub wiersza i ich dopełnień.
86508429.001.png
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
niezależne od siebie. Jeśli macierz reprezentuje zbiór równań algebraicznych, to osobliwość macierzy
oznacza, że równania te nie są niezależne od siebie.
Przykład 2
Rozważmy następujący zbiór równań:
2
x
1
3
x
2
x
3
0
x
1
x
2
x
3
0
(2.1)
x
1
2
x
2
2
x
3
0
Trzecie równanie jest równe sumie dwóm pierwszym. Więc te trzy równania nie są niezależne
od siebie. W formie macierzowej te równania mogą zostać zapisane następująco:
0
Ax
(2.2)
gdzie
2
3
1
x
1
0
A
1
1
1
x
x
2
0
0
(2.3)
1
2
2
x
3
0
Wyznacznik macierzy A jest równy zero, więc macierz A jest macierzą osobliwą. W tym
przypadku wiersze macierzy A są zależne.
Macierz transponowana. Macierz transponowana A definiowana jest jako macierz, która uzyskana
została przez zamianę odpowiadających sobie wierszy i kolumn w macierzy A . Przypuśćmy, że
macierz
m
, wyrażona jest następująco:
A
[ ]
ij
n
m
(14)
Transpozycja macierzy A , oznaczana jako A T jest dana wzorem
A T = transpozycja macierzy A
[ ]
ij
m
n
(15)
Macierzy A ma rozmiar
n
m
, lecz rozmiar macierzy A T jest
m
n
.
Przykład 3
Rozważmy macierz o rozmiarze
A
3
2
1
(3.1)
0
1
5
Transpozycja macierzy A jest uzyskiwana przez zamianę wierszy i kolumn.
3
0
A T =
2
1
(3.2)
1
5
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
M. Tomera
4
n
a
,
a
,
86508429.002.png
Teoria sterowania
Algebra macierzowa
Własności transponowania macierzy
1. ( A T ) = A
(16)
2. ( k A T ) = k A T , gdzie k jest skalarem
(17)
3. ( A + B ) T = A T + B T
(18)
4. ( AB ) T = A T B T
(19)
Macierz dopełnień. Przypuśćmy, że macierz kwadratowa ma rozmiar n . Macierz dopełnień macierzy
A jest oznaczana jako adj A i definiowana następująco:
adj
A
A
ij
wyznacznik
a
A
n
n
(14)
A oznacza dopełnienie elementu ij
a .
Przykład 4
Rozważmy macierz o wymiarach
2
2
A
a
11
a
12
(4.1)
a
a
21
22
Dopełnieniami są
A
11 a
22
,
A
12
a
21
A
21
a
12
oraz
A
22 a
11
. Więc macierz dopełnień
macierzy A jest następująca:
A
A
T
a
a
T
a
a
adj
A
11
12
=
22
21
22
12
(4.2)
A
A
a
a
a
a
21
22
12
11
21
11
2. ALGEBRA MACIERZOWA
2.1. RÓWNOŚĆ MACIERZY
Dwie macierze A oraz B są sobie równe jeśli spełnione są następujące warunki
1. Mają ten sam rozmiar.
2. Odpowiadające sobie elementy są sobie równe; tzn.
a
ij b
ij
dla każdego i oraz j
(20)
Przykład 5
Macierze A i B są sobie równe
A
a
11
a
12
B
b
11
b
12
(5.1)
a
a
b
b
21
22
21
22
oznacza to, że
a
11 b
11
,
a
12 b
12
,
a
21 b
21
,
a
22 b
22
.
Ostatnia aktualizacja: 04-10-07
M. Tomera
5
,
gdzie ij
86508429.003.png 86508429.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin