Sprawozdanie z ćwiczenia nr 9

Temat: II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego brył

I.  Wymagania do ćwiczenia

1. Wielkości charakteryzujące kinematykę i dynamikę ruchu postępowego i obrotowego bryły sztywnej.

Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy można przedstawić w analogiczny sposób jak wielkości charakterystyczne dla ruchu postępowego i tak :

chwilowa prędkość liniowa:                             chwilowa prędkość kątowa:

przyśpieszenie chwilowe dla obu ruchów ma postać :                         

droga  w ruchu postępowym i obrotowym :

              znak              „+’’              dla ruchu przyśpieszonego,

                                          „-’’              dla ruchu opóźnionego.

2. Zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego i obrotowego bryły sztywnej.

Zasady dynamiki dla ruchu:

a)  postępowego

Jeżeli ciało o masie m porusza się z przyśpieszeniem , to na  ciało działa siła

b) obrotowego

Moment bezwładności I ciała względem osi O określamy następująco

Jeżeli  ciało  o  momencie  bezwładności I porusza  się  z przyśpieszeniem kątowym , to na ciało działa moment siły

Równanie ruchu obrotowego bryły ma postać

gdzie:                             - moment siły,

              I              - moment bezwładności,

                            - przyśpieszenie kątowe.

Równanie  dynamiki  dla  ciała  o  masie  m  przedstawia  zależność 

gdzie:                            - przyśpieszenie z jakim porusza się ciężarek o masie m,

                                   - przyśpieszenie ziemskie,

                                   - siła naciągu nici.

W omawianym przypadku moment siły wyraża się wzorem:

gdzie: r - ramię siły, czyli promień  tej  części walca na której nawija się nić.

Moment bezwładności układu  I  równy  jest  sumie  momentów  stałej części i walców .

Moment bezwładności  walców I , zgodnie z prawem Steinera wynosi:

gdzie: I  -               moment bezwładności walca W względem osi przechodzącej przez środek ciężkości i równoległej do osi obrotu przyrządu,

              M - masa walca W,

              R - odległość środka ciężkości  walca od  osi obrotu.

Ze względów praktycznych  odległość R zastępujemy odległością przeciwległych walców d (d = 2R).

Zatem całkowity moment bezwładności wyraża się wzorem:

Pierwsze  dwa  wyrazy  po  prawej  stronie  tego  wyrażenia  są wielkościami stałymi. Wprowadzamy więc oznaczenie: i otrzymujemy:

Ze względu na to, że wektory i są prostopadle do osi obrotu, a wektor    jest  do  niej  równoległy, możemy zaniedbać znaki wektorów.

Pamiętając że, oraz  ,

gdzie: h - wysokość spadania ciężarka o masie m,

              t - czas spadania

i wykonując ponadto przekształcenia algebraiczne otrzymujemy:

W układzie współrzędnych, w którym na osi y odkładamy , a na osi x, , równanie jest równaniem prostej typu:

daje wartość rzędnej w punkcie, w którym prosta przecina oś rzędnych. Stromość otrzymanej prostej wyraża się poprzez:

Prostoliniowy przebieg zależności jest dowodem słuszności równania ruchu obrotowego bryły. Zależność tę należy wyznaczyć doświadczalnie.

II.                Metodologia wykonania pomiarów

1.       Zmierzyć suwmiarką średnicę 2r1 szpulki bez nici, a następnie nawinąć nić tak, aby ciężarek m znalazł się w górnym położeniu i zmierzyć średnicę 2r2 szpuli wraz z nawiniętą nicią. Średnia arytmetyczna promienia jest ramieniem siły wypadkowej.

2.       Włączyć przyrząd przyciskiem W3.

3.       Założyć (po uzgodnieniu z prowadzącym ćwiczenie) na końcu nici masę m i maksymalnie rozsunąć ciężarki o masie M na odległość d od osi siebie, zmierzyć d = 2R.

4.       Zmierzyć określoną wysokość opadania h.

5.       Przenieść ciężarki o masie m w górne położenie (ponownie nawinąć nić).

6.       Wycisnąć wyłącznik W1 w celu wyzerowania wskazań miernika.

7.       Wycisnąć wyłącznik W2 i odczytać czas opadania masy m.

8.       Pomiary z punktów 5, 6, 7 powtórzyć 10 razy w celu oszacowania średniego czasu opadania.

9.       Zmienić odległość d i powtórzyć pomiary zgodnie z punktami 5 – 8. Należy wykonać pomiary dla przynajmniej siedmiu różnych położeń d ciężarków o masie M.

III.            

Obliczenia

1.       Korzystając z uzyskanych danych wykreślić na papierze milimetrowym zależność .

2.       Metodą najmniejszych kwadratów wyznaczyć współczynniki A i B prostej , przyjmując jako zmienną niezależną , a zmienną zależną .

3.       Wyznaczyć moment bezwładności wykorzystując wyznaczona wartość współczynnika B i masę walca M korzystając z wartości współczynnika A.

4.       Dla każdej wartości d  obliczyć moment bezwładności I wahadła Oberbecka.

5.       Określić niepewność standardową wysokości u(h) metodą typu B na podstawie wielkości działki elementarnej.

6.       Oszacować niepewność standardową promienia szpuli u(r) metodą typu B na podstawie zakresu zmian promienia .

7.       Obliczyć z metody najmniejszych kwadratów (metoda typu A) niepewności standardowe wyznaczonych parametrów prostej. Odchylenie standardowe parametru A i B określają zależności:

,

gdzie i .

8.       Z prawa przenoszenia niepewności wyznaczyć niepewności standardowe typu A momentu bezwładności Ic,             

oraz masy M                                           .

9.       Porównać podaną masę walca M z masą wyznaczoną z wykresu. Zgodność

tych mas świadczy o poprawności przyjętego założenia o liniowej zależności .
IV.                            Opracowanie wyników pomiarów

Tabela pomiarowa: