Egzamin.doc

ciągłość płynu. Element płynu.

W klasycznej mechanice płynów płyn traktować będziemy jako ośrodek ciągły (continuum materialne). Pod pojęciem tym rozumieć będziemy bryłę geometryczną zawierającą nieskończoną ilość cząsteczek tworzących jednolitą strukturę materialną. Umożliwia to wyodrębnienie w takim ośrodku ciągłym, w otoczeniu dowolnego punktu A(x,y,z), nieskończenie małych elementów płynu, a przez przejście z ich wymiarami do granicy równej zero (Dx®0, Dy®0, Dz®0) - stosowanie aparatu analizy matematycznej. Z makroskopowego punktu widzenia elementy płynu muszą zawierać dostatecznie dużą ilość cząsteczek, aby prędkość, gęstość i inne parametry opisujące stan płynu w punkcie A(x,y,z) były wartościami średnimi dla zbioru cząsteczek wchodzących w skład elementu

Rys.1.2. Element płynu rzeczywistego traktowanego jako ośrodek ciągły

Elementem płynu rzeczywistego nazywać będziemy taką jego objętość DV, której wymiary liniowe są wielkościami małymi wyższego rzędu w porównaniu z wymiarami naczynia zawierającego płyn (lub ciała stałego zanurzonego w płynie), ale która - z drugiej strony - zawiera tak dużą liczbę cząsteczek płynu, że własności makroskopowe płynu, określone w odniesieniu do tej objętości, zachowują sens fizykalny.

W płynie rzeczywistym przejście graniczne DV®0 nie ma sensu. Ma ono natomiast sens w przypadku wprowadzenia uproszczonego modelu płynu jako continuum materialne. Dzięki takiemu założeniu można określić makroskopowe własności płynu (np. r, p, T itp.) jako funkcje położenia i czasu oraz traktować je jako pola: skalarne, wektorowe lub tensorowe. Nie w każdym jednak przypadku założenie ciągłości płynu jest dopuszczalne. Dotyczy to zwłaszcza gazów rozrzedzonych określonych liczbą Knudsena

              >0,01                           

gdzie:

l - średnia droga swobodną cząsteczek gazu,

L - charakterystyczny wymiar liniowy naczynia.

Objętościowe natężenie przepływu - prawo Hagena-Poiseuille’a.

Obliczymy elementarny, objętościowy strumień objętości (natężenie lub wydatek przepływu) przez powierzchnię pierścienia o grubości dr :

Rezultatem całkowania równania jest prawo Hagena – Poiseuille’a:

Zgodnie z tym prawem:

Objętościowe natężenie przepływu w rurze o przekroju kołowym jest proporcjonalne do spadku ciśnienia i do czwartej potęgi średnicy wewnętrznej rury.

Równanie Hagena –Poiseuille’a stanowi merytoryczną podstawę do konstruowania wszelkiego rodzaju wiskozymetrów kapilarnych, tj. przyrządów do wyznaczania dynamicznego współczynnika lepkości h. W rzeczy samej, znając średnicę kapilary (zagwarantowane są wówczas laminarne warunki przepływu), długość jej odcinka L oraz dokonując pomiaru objętościowego strumienia przepływu cieczy Q i towarzyszącej mu różnicy ciśnień Dp na odcinku L można łatwo wyznaczyć h.

Średnia prędkość przepływu wynosi:

Równania różniczkowe ruchu płynu doskonałego – Eulera.

Wyodrębnijmy element płynu w kształcie prostopadłościanu o wymiarach dx,dy,dz (rys.4.1), poruszającego się w polu jednostkowych sił masowych z przyspieszeniem  .

Oznacza to zastąpienie „odrzuconej” części płynu siłami powierzchniowym(ciśnieniami) działającymi na każdą ze ścianek elementu płynu. Z bilansu sił (ciśnień) działających na element płynu w kierunku osi x wynika równanie:

a zatem

Postępując analogicznie, tzn. dokonując bilansu sił w kierunkach osi y i z oraz rozwijając pochodne substancjalne występujące po prawej stronie uzyskanych w ten sposób równań otrzymujemy równania różniczkowe ruchu płynu doskonałego – Eulera:

W zapisie skróconym równania (4.3) przyjmują postać:

wobec tego należy uzupełnić je czwartym równaniem - równaniem ciągłości:

Równania Naviera – Stokesa

Równania różniczkowe ruchu płynu wyrażone w naprężeniach (5.4), równanie ciągłości i równania konstytutywne tworzą zamknięty układ 10-ciu równań z dziesięcioma niewiadomymi pxx, pyy, pzz, pxy, pyz, pzx, vx, vy, vz, p.

Wyeliminujmy składowe naprężeń z równań wprowadzając doń związki fizyczne. W przypadku pierwszego z równań mamy:

i dalej:

              Postępując analogicznie otrzymujemy równania Naviera Stokesa:

które uzupełnione jest równaniem ciągłości:

lub w zapisie wektorowym:

Równania różniczkowe ruchu płynu doskonałego w postaci Gromeki-Lamba.

Przekształćmy pierwsze z równań Eulera w sposób następujący:

Stąd

                                             (4.5)

Pamiętając, że:

mamy:

Załóżmy, że:

1/ jednostkowe siły masowe mają potencjał, tj.

2/ płyn jest barotropowy, tzn. .

Wprowadźmy tzw. funkcję ciśnienia Gromeki  P=P(x,y,z,t), taką, że:

wtedy                               

Podstawiając powyższe związki do równań ruchu mamy:

Mnożąc pierwsze z równań (4.9) przez dx, drugie – przez dy i trzecie – przez dz, a następnie sumując stronami te równania otrzymujemy:

...