Roman J. Kadaj
POLSKIE UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH
FORMUŁY TRANSFORMACYJNE, ALGORYTMY I PROGRAMY
S p i s t r e ś c i
1. Globalny system odniesień przestrzennych i jego polska realizacja ............ 3
2. Krótki przegląd starych i nowych układów współrzędnych ....................... 4
3. Ogólne zasady transformacji pomiędzy układami odwzorowawczymi
różnych elipsoid odniesienia ................................................. 8
4. Transformacje pomiędzy układami tej samej elipsoidy .......................... 10
5. Krótka synteza ............................................................... 11
6. Przekształcenia konforemne płaszczyzn przy zastosowaniu wielomianu
zespolonego .................................................................. 12
7. Wiernokątność i pole zniekształceń odwzorowawczych .......................... 13
8. Odwzorowanie Gaussa- Krügera „od kuchni” ..................................... 15
9. Aplikacje odwzorowania Gaussa-Krügera (tworzenie układów
kartograficznych 1942, 1992, 2000, UTM oraz 1965 w strefie 5 ............. 18
10. Odwzorowanie quasi-stereograficzne i jego aplikacje .......................... 20
11. Algorytmy alternatywne dla „1965” lub GUGiK-80 ............................... 23
12. Przeliczenie współrzędnych geodezyjnych B,L,H na współrzędne kartezjańskie
centryczne X,Y,Z dowolnej elipsoidy i zadanie odwrotne ..................... 26
13. Przeliczenia pomiędzy elipsoidami ............................................ 28
14. Określanie przybliżonych wysokości elipsoidalnych dla zadań transformacji
dwuwymiarowej ............................................................... 31
15. Problematyka korekt post-transformacyjnych związanych z empirycznym
układem odniesienia .......................................................... 32
16. Problematyka wyznaczenia formuł transformacyjnych pomiędzy układem
lokalnym a państwowym ....................................................... 40
17. Programy obliczeniowe ........................................................ 47
Literatura ....................................................................... 51
1. Globalny system odniesień przestrzennych i jego
polska realizacja
W roku 2000, na mocy Rozporządzenia Rady Ministrów [12] wprowadzono w Polsce nowy, państwowy system odniesień przestrzennych zgodny z zachodnioeuropejskim systemem ETRS (European Terrestrial Reference System), będącym częścią światowego systemu ITRS. Samo pojęcie systemu zawiera w sobie całokształt struktury organizacyjnej, naukowej i aplikacyjnej (technicznej) służącej wyznaczeniu kształtu i pola grawitacyjnego Ziemi, definicji układów współrzędnych i ich realizacji fizycznych dla potrzeb geodezji, kartografii i nawigacji.
Istotnym elementem systemu ITRS / ETRS jest geometryczno - fizyczny model Ziemi. W sensie fizycznym model opisuje ziemskie pole grawitacyjne, w tym kształt geoidy globalnej oraz ruch obrotowy Ziemi jako planety, natomiast część geometryczna (matematyczna) definiuje parametry geocentrycznej elipsoidy obrotowej, generalizującej kształt geoidy. Pierwotny model zwany skrótowo GRS-80 (Geodetic Reference System’80) uległ w latach późniejszych pewnej modyfikacji, przyjmując symboliczną nazwę WGS-84 (World Geodetic system’ 84). Ponieważ parametry geometryczne elipsoid dwóch modeli różnią się o nieistotną praktycznie wartość ok. 0.1 mm więc w praktyce nazwy elipsoid (tak jak nazwy modeli) przyjmuje się niekiedy wymiennie. Elipsoidy są oczywiście podstawą definicji odpowiednich globalnych układów współrzędnych geodezyjnych. Fizyczną realizacją układu współrzędnych (jego powiązania z fizyczną Ziemią) jest układ odniesienia. Dokonuje się to poprzez punkty (stacje) geodezyjne, którym na drodze procesów pomiarowych nadaje się określone współrzędne elipsoidalne (geodezyjne). Inaczej mówiąc, samo pojęcie układu współrzędnych pozostaje kategorią czysto teoretyczną doputy nie zostaje on zmaterializowany poprzez osnowy geodezyjne.
W Europie system ETRS został zrealizowany fizycznie poprzez układ 35 stacji obserwacyjnych, nazwany skrótowo układem ETRF (European Terrestrial Reference Frame). Jakkolwiek stacje bazowe ukladu ETRF są rozlokowane w stabilnych tektonicznie rejonach kontynentu, płyty tektoniczne ulegają jednak obserwowalnym ruchom względnym, więc związany z nimi układ ETRF ma charakter dynamiczny, podlegając periodycznym korektom. W celach praktycznych przyjmuje się, że wszelkie aktualne pomiary są redukowane na epokę 1989, stąd stan tego układu oznaczamy skrótem ETRF’89.
W Polsce, już w pierwszej połowie lat 90-tych dokonano rozszerzenia układu ETRF poprzez powiązanie krajowych osnów geodezyjnych z sieciami zachodnioeuropejskimi. Założono najpierw sieć bazową złożoną z 11 punktów (sieć EUREF-POL), którą zagęszczono następnie 348 punktami (sieć POLREF) rozmieszczonymi równomiernie w obszarze Kraju. Wszelkie obserwacje zostały wykonane techniką GPS. Ostateczne współrzedne geodezyjne punktów (B,L,H) wyznaczono w układzie ETRF’89 na elipsoidzie GRS-80. W ten sposób sieć EUREF-POL + POLREF, jako tzw. sieć zerowego rzędu, stanowi obecnie dla obszaru Polski bazę odniesienia dla wszelkich prac geodezyjno – kartograficznych w układzie europejskim ETRF’89. Warto w tym miejscu dodać, że przeciętny błąd położenia punktu sieci POLREF względem EUREF-POL nie przekracza wartości 0.02m, co świadczy o jakości naszego „wejścia” do układu ETRF. W roku 1996 dokonano ponownego wyrównania dawnej sieci astronomiczno-geodezyjnej i triangulacji wypełniającej (sieci I klasy) w nawiązaniu do EUREF-POL + POLREF na elipsoidzie GRS-80. Sieć ta objęła łącznie ok. 6500 punktów. Pomimo, że wykorzystano jedynie klasyczne obserwacje kątowo – liniowe wyniki wyrównania okazały się pod względem jakościowym rewelacyjne. Przeciętny błąd położenia punktu wyniósł ok. 0.02 m, czyli porównywale z poziomem dokładności aktualnej technologii względnych pomiarów GPS. W końcu lat 90-tych dokonano również powtórnych wyrównań sieci II klasy w nawiązaniu do wszystkich punktów klas wyższych w układzie ETRF’89. Obok zasadniczego zbioru obserwacji archiwalych wykorzystano również nowe sieci zrealizowane techniką GPS.
Obecnie możemy stwierdzić, że istniejąca już w Polsce fizyczna realizacja układu ETRF’89 wystarcza w pełni do tego, by w tym układzie (w ogólności w systemie ETRS) realizować już wszelkie opracowania geodezjno – kartograficzne. Do tego celu zdefiniowano (por. [12, 13, 14]) nowe państwowe układy współrzędnych (układy kartograficzne) zwane skrótowo: 1992 (dla map topograficznych) 2000 (dla map wielkoskalowych) – będą one m.in. omawiane szczegółowo w ramach niniejszego wykładu. Zgodnie z cytowanym już Rozporządzeniem Rady Ministrów [12], w zakresie mapy gospodarczej Kraju, całkowite przejście z układu dotychczasowego 1965 związanego z elipsoidą KRASOWSKIEGO, na nowe układy odwzorowawcza ma nastąpić do roku 2009.
Podstawą do tworzenia nowych map numerycznych będą nie tylko wyniki nowych pomiarów. Można przypuszczać, że ze względów ekonomicznych nastąpi masowe wykorzystywanie archiwalnych materiałów geodezyjno-kartograficznych. Pojawią się więc problemy przeliczeń transformacji współrzędnych pomiędzy różnymi układami. W grupie układów żródłowych, obok 1965, problematyka transformacyjna będzie obejmować także układy lokalne zakładane ongiś dla większych miast, a także dawny układ 1942 i inne. Problematyka ta wypełni nasz wykład.
2. Krótki przegląd starych i nowych układów
współrzędnych
Różne, państwowe układy współrzędnych można sklasyfikować przede wszystkim pod względem ich teoretycznej genezy, tj. przyjętej matematycznej powierzchni odniesienia (elipsoidy) generalizującej lokalnie lub globalnie kształt geoidy oraz rodzaju i zasięgu obszarowego zastosowanego odwzorowania. Ta ostatnia kwestia była w ostatnich latach przedmiotem wielu dyskusji, a dotyczyła wyboru konkretnych odwzorowań dla map wielkoskalowych i topograficznych, po przyjęciu nowego systemu odniesień przestrzennych z elipsoidą GRS-80 (WGS-84). Jednym z kryteriów wyboru była wielkość maksymalnych zniekształceń liniowych, istotna zwłaszcza w zakresie map wielkoskalowych (mapy zasadniczej). Kompromis w tym względzie z jednej strony, a tradycja w wyborze rodzaju odwzorowania – z drugiej strony, doprowadziły formalnie do zdefiniowania dwóch układów (systemów) kartograficznych opartych na odwzorowaniu Gaussa-Krügera:
1992 jednostrefowy dla obszaru całej Polski, przeznaczony m.in. do opracowań kartograficznych w skalach
1: 10000 i mniejszych
2000 4-strefowy dla mapy zasadniczej Podział obszaru Polski na 4 strefy stanowił w istocie powrót do
koncepcji dawnego układu 1942.
W Polsce, podobnie jak w innych państwach byłego układu warszawskiego, obowiązywała od roku 1952 elipsoida KRASOWSKIEGO z punktem przyłożenia do geoidy w Pułkowie pod Moskwą i lokalną orientacją azymutalną (był to system przyjęty w b. ZSRR w roku 1942 - stąd też zwany PUŁKOWO ‘42). Należy podkreślić, że sama elipsoida stanowi tylko element geometryczny systemu odniesień przestrzennych definiowanego przez szerszy zbiór parametrów lokacyjnych i fizycznych związanych z Ziemią. Elipsoida KRASOWSKIEGO zastąpiła w Polsce dawną elipsoidę BESSELA z punktem przyłożenia do geoidy w Borowej Górze. W wyniku wzajemnego powiązania państwowych sieci astronomiczno - geodezyjnych, elipsoida KRASOWSKIEGO (w sytemie PUŁKOWO’42) z jej układem współrzędnych geograficznych-geodezyjnych stała się bazą odniesienia dla polskich osnów geodezyjnych i układów odwzorowawczych.
Do połowy lat 60-tych obowiązywał w Polsce układ współrzędnych zwany krótko „1942”. Układ ten powstał w oparciu o odwzorowanie Gaussa-Krügera elipsoidy KRASOWSKIEGO, przy czym obejmował dwa podsystemy odwzorowawcze
(rys. 1):
Rys. 1. Strefy układu 1942 (odwzorowania Gaussa-Krügera elipsoidy Krasowskiego);
a – z podziałem na południkowe pasy 6°, b – z podziałem na pasy 3°
· Odwzorowanie w pasach południkowych o szeroko...
sex_