Zbiór.doc

POLE ELEKTROMAGNETYCZNE

1. Indukcja elektromagnetyczna

Wstęp

Prawo indukcji elektromagnetycznej opisywane jest przez dwa różne wzory. Pierwszy dotyczy sytuacji jak na rysunku 1.1. Zamknięty (pomyślany) obwód o polu powierzchni S obejmuje strumień magnetyczny (zmienny w czasie) F>(t). Silą elektromoto­ryczna indukcji ε powstająca w całym obwodzie wyraża się wzorem:

Drugi z nich dotyczy sytuacji takiej, jak na rysunku 1.2. Cienki przewodnik prostoliniowy długo­ści l porusza się w polu magne­tycznym o indukcji B z prędko­ścią v tak, że kąt pomiędzy we­ktorem prędkości v a kierunkiem wektora indukcji B wynosi α. Wówczas siła elektromotoryczna indukująca się w przewodniku wy­raża się wzorem:

Rys. 1.1

ε = - Blv sin α.

Współczynnik samoindukcji solenoidu, zwany też indukcyjnością solenoidu L, wyraża się wzorem:

L = μrμ0n2S / l

gdzie n - liczba zwojów solenoidu, S - pole powierzchni przekro­ju poprzecznego solenoidu, l - długość solenoidu, μr - względna przenikalność magnetyczna rdzenia, μ0 - przenikalność magne­tyczna próżni: μ0 = 4π×10-7 N/A2

Ogólne związki pomiędzy współczynnikiem samoindukcji a siłą elektromotoryczną i natężeniem prądu w obwodzie:

Φ = L1,       ε = -L× dI / dt

Przykład 1.1

Wewnątrz solenoidu długości l1 = 12 cm, o polu przekroju poprzecznego S1 = 50 cm2 i liczbie zwojów n1 = 100, przez który płynie prąd zmienny o natężeniu I = I0 cos ωt (gdzie I0 = 0,1 A, ω = 314 s-1) umieszczono współosiowo drugi krótszy solenoid o polu przekroju poprzecznego S2 = 30 cm2 i liczbie zwojów n2 = 500. Oblicz napięcie skuteczne indukujące się w drugim solenoidzie.

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw współczynnik samoindukcji dłuższego solenoidu. Korzystając ze wzoru przytoczonego powyżej, mamy

L = μrμ0n12S / l1  Strumień magnetyczny wytwarzany przez ten sole­noid wynosi Φ1 = L1I1, czyli Φ1 = μrμ0n12S1I1 / l1.  Strumień magnety­czny objęty przez mniejszy solenoid jest wprost proporcjonalny do pola powierzchni przekroju poprzecznego, z powodu założonej jednorodności pola magnetycznego wewnątrz (długiego) solenoi­du. Ponieważ taki strumień związany jest z każdym zwojem dru­giej cewki, a zwoje są połączone szeregowo, to Φ2/Φ1 = n2×S2/S1.

Wynika stąd, że Φ2 = μrμ0n12n2S2I1 / l1.  Zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej ε = dΦ / dt, mamy

Wyrażenie w nawiasach jest pochodną względem czasu. Wy­korzystaliśmy tu regułę, w myśl której pochodna funkcji cos (αt) względem t jest równa -αsin(αt), oraz regułę, w myśl której pochodna iloczynu (stałej i funkcji) αf(x) względem x jest równa αf(x). Wyrażenie na siłę elektromotoryczną ε(t) jest wyrażeniem podającym wartość siły elektromotorycznej w dowolnej chwili. Nas interesuje raczej wartość skuteczna indukowanej siły ele­ktromotorycznej εsk , którą identyfikujemy z napięciem skutecznym na końcach cewki. Napięcie skuteczne i ostatecznie mamy Podstawiając do tego wzoru dane,

otrzymujemy Usk = 49,3 V. Przyjmujemy, że względna przenikal­ność magnetyczna μr = l, ponieważ wewnątrz cewek nie ma rdzenia lecz powietrze.

Przykład 1.2

Do pręta o masie m leżącego na szynach przewodzących odległych o d = 16 cm, w polu magnetycznym o indukcji B = 0,5 T (rys. 1.3), przyłożono poziomą siłę o wartości F = 0,12 N.

Opornik    spinający    końce
szyn ma opór R = l Ω. Wyraź    
przyspieszenie    pręta   jako
funkcję czasu. Oblicz mak­-

symalną wartość prędkości,
do jakiej rozpędzi się pręt,

przyjmując, że opory ruchu
można pominąć.

Rozwiązanie

Rozważmy sytuację w chwili t takiej, że pręt porusza się z prędkością v. Ponieważ pręt porusza się w polu magnetycznym, indukuje się w nim siła elektromotoryczna ε = Bdv. Pod wpły­wem tej siły elektromotorycznej w obwodzie zamkniętym po­płynie prąd o natężeniu wynikającym z prawa Ohma: I = Bdv/R Na przewodnik z prądem o natężeniu I w polu magnetycznym o indukcji B działa siła elektrodynamiczna Fe = BdI. Zgodnie z regułą Lenza siła ta działa przeciwnie do siły F wywołującej ten ruch. Równanie ruchu (II zasada dynamiki) pod wpływem dwu sił (upory ruchu pomijamy) ma postać:

F – Fe = ma,             

stąd             

Kłopot z tym wynikiem polega na tym, że prędkość v w ruchu zmiennym też jest (nieznaną) funkcją czasu. Poza tym przyspie­szenie nie jest stałe, nie można więc zastosować wzorów dla ruchu jednostajnie zmiennego. Problem wyznaczenia explicite zależ­ności od czasu a(t) i v(t) jest problemem rozwiązania odpowied­niego równania różniczkowego, w którym podstawiamy a =

Jednak można odpowiedzieć na pytanie, ile wynosi maksymalna prędkość ruchu pręta, gdyż wówczas a = 0; dla a = 0 mamy prędkość maksymalną (przy równoważących się siłach)

co po podstawieniu danych daje

ZADANIA

1.1   w polu magnetycznym o indukcji porusza się cienki przewodnik ze stałą prędkością jak na rysunku 1.4. Wyznacz kierunek prądu indukcyjnego w przewodniku.

Rys. 1.4

B

...