skrecanie.pdf

(535 KB) Pobierz
Microsoft Word - wm_mibm_04.doc
Skręcanie prętów –
naprężenia styczne, kąty obrotu
4
M .
Na rys. 4.1a przedstawiono przykład pręta sztywno zamocowanego na lewym końcu
(punkt A), obciążonego momentami skręcającymi 1
M , 2
M i 3
M . Schemat oblicze-
niowy – po uwolnieniu z więzów – ilustruje rys. 4.1b.
Rys. 4.1
M wykorzystujemy równanie
równowagi statycznej – suma momentów zewnętrznych względem osi x jest równa
zeru:
A
Σ =
M
ix
0
(4.1)
M
A
−
M
1
+
M
2
+
M
3
=
0
M
A
=
M
1
−
M
2
−
M
3
M jest równy
sumie momentów zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju względem
osi pręta (rys. 4.2).
s
Rys. 4.2
Dla przekroju przedstawionego na rys. 4.2, otrzymamy zatem:
— rozwiązując od prawej strony (rys. 4.2a)
M
s
( Σ M
p
)
=
M
ix
=
M
2
+
3
(4.2a)
W przypadku skręcania pręta jego obciążenie stanowią momenty skręcające i
Do wyznaczenia wartości momentu podporowego
W dowolnym przekroju poprzecznym pręta moment skręcający
630442706.007.png 630442706.008.png
4.2
Wytrzymałość materiałów
— rozwiązując od lewej strony (rys. 4.2b)
M
s
(
l
)
=
−
Σ
M
ix
=
−
(
M
A
−
M
1
)
=
−
M
A
+
M
1
(4.2b)
Do obliczenia naprężeń stycznych τ wywołanych momentem skręcającym w prze-
kroju kołowym (rys. 4.3), w dowolnym punkcie oddalonym od osi pręta o wielkość ρ
(promień), stosujemy następującą zależność:
τ
(
ρ
)
=
M
s
ρ
(4.3)
I
s
gdzie:
M — moment skręcający,
s
I —biegunowymomentbezwładności przekroju poprzecznego,
ρ —odległość punktu od osi pręta (promień).
Rys. 4.3
Naprężenia styczne mają wartości proporcjonalne do wielkości promienia ρ i są do
niego prostopadłe. Stąd wniosek, że maksymalne naprężenia styczne
τ dla prze-
max
kroju kołowego, wystąpią na obwodzie (
ρ = ), a ich wartość możemy określić na
d
/
2
podstawie zależności:
τ =
M
s
(4.4)
max
W
s
gdzie:
M — moment skręcający,
s
W —wskaźnik wytrzymałości na skręcanie, określony następująco:
s
W
s =
I
s
(4.5)
ρ
max
Dla przekroju kołowego o średnicy d , wartości
I oraz
s
W są równe:
s
π
I s =
d
4
(4.6)
32
π
W s =
d
3
(4.7)
16
Kąt skręcenia φ odcinka pręta wyznaczamy w oparciu o zależność:
M
φ =
s
I
l
(4.8)
G
s
s
630442706.009.png
Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu
4.3
gdzie:
M — moment skręcający,
l — długość rozpatrywanego odcinka pręta,
G —moduł Kirchhoffa (moduł sprężystości poprzecznej),
s
I —biegunowymomentbezwładności przekroju poprzecznego.
Iloczyn
G nazywamy sztywnością pręta na skręcanie.
s
s
I
630442706.010.png
4.4
Wytrzymałość materiałów
M , naprężeń stycznych τ oraz kątów
obrotu φ dla pręta o przekroju kołowym przedstawionego na rys. 4.4. Dane: 0
M , l ,
d , G .
Rys. 4.4
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 4.5).
Rys. 4.5
Moment podporowy A
M wyznaczamy z równania równowagi statycznej:
Σ =
M
ix
0
−
M
A
+
M
0
+
M
0
+
M
0
=
0
M =
A
3 M
0
M w poszczególnych odcin-
kach pręta. Zadanie rozwiążemy zarówno od prawej (rys. 4.6), jak i lewej (rys. 4.7)
strony.
Rys. 4.6
Rys. 4.7
Rozwiązując zadanie od prawej strony (rys. 4.6) otrzymujemy, w oparciu o zależ-
ność (4.2a):
M
s
, Σ M
CD
=
M
ix
=
0
M
s
,
BC
=
Σ
M
ix
=
M
0
+
M
0
=
2
M
0
M
s
,
AB
=
Σ
M
ix
=
M
0
+
M
0
+
M
0
=
3
M
0
Zadanie 4.1.
Wyznaczyć wykresy momentów skręcających s
W kolejnym kroku wyznaczamy momenty skręcające s
630442706.001.png 630442706.002.png 630442706.003.png 630442706.004.png 630442706.005.png
Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu
4.5
Z kolei, rozwiązując zadanie od lewej strony (rys. 4.6) otrzymamy, zgodnie ze wzorem
(4.2b):
M
s
,
AB
=
−
Σ
M
ix
=
−
(
−
M
A
)
=
M
A
=
3
M
0
M
s
,
BC
=
−
Σ
M
ix
=
−
(
−
M
A
+
M
0
)
=
M
A
−
M
0
=
2
M
0
M
s
,
CD
=
−
Σ
M
ix
=
−
(
−
M
A
+
M
0
+
M
0
)
=
M
A
−
M
0
−
M
0
=
M
0
Naprężenia styczne τ w poszczególnych odcinkach pręta są równe (4.4):
τ
=
M
s
,
AB
=
3
M
0
AB
W
W
s
s
τ
=
M
s
,
BC
=
2
M
0
BC
W
W
s
s
τ
=
M
s
,
CD
=
M
0
CD
W
W
s
s
W jest wskaźnikiem wytrzymałości na skręcanie, równym:
π
W s =
d
3
16
Kąty obrotu przekrojów B, C i D wyznaczamy na podstawie kątów skręcenia posz-
czególnych odcinków pręta – odpowiednio AB, BC i CD. Na podstawie zależności (4.8)
otrzymujemy:
— kąt skręcenia odcinka AB
φ
=
M
s
,
AB
l
=
3
M
0
l
AB
G
I
G
I
s
s
— kąt skręcenia odcinka BC
φ
=
M
s
,
BC
l
=
2
M
0
l
BC
G
I
G
I
s
s
— kąt skręcenia odcinka CD
φ
=
M
s
,
CD
l
=
M
0
l
CD
G
I
G
I
s
s
I jest biegunowym momentem bezwładności przekroju poprzecznego, równym
π
I s =
d
4
32
Ostatecznie otrzymujemy:
— kąt obrotu przekroju A
φ
A =
0
— kąt obrotu przekroju B
φ
=
φ
=
3
M
0
l
B
AB
G
I
s
— kąt obrotu przekroju C
φ
=
φ
+
φ
=
3
M
0
l
+
2
M
0
l
=
5
M
0
l
C
AB
BC
G
I
G
I
G
I
s
s
s
gdzie s
gdzie s
630442706.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin