W01.pdf

(187 KB) Pobierz
Microsoft Word - W01.doc
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
Dr Adam Ćmiel (A4 p.120, tel. 31-72, cmiel@agh.edu.pl ; http://home.agh.edu.pl/~cmiel/
Podręczniki :
• Furdzik Z., Maj-Kluskowa J., Kulczycka A., Sękowska M.: Nowoczesna matematyka dla inżynierów .Część
I Algebra, Wydawnictwa AGH
• Białas S., Ćmiel A., Fitzke A. Matematyka dla studiów inżynierskich Cz. I Algebra i geometria. Wyd.
AGH2005, SU1679
• Białas S., Macierze. Wybrane problemy ,Wyd . AGH2006
• Gewert M., Skoczylas Z. Algebra 1 i 2. Ofic.wyd. GIS (dla studentów Pol.Wrocł.)
Definicje twierdzenia i wzory , Przykłady i zadania, Kolokwia i egzaminy
Zbiory zadań :
• Przybyło S., Szlachtowski A., Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi. Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne
orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda ( TRUE , 1); Fałsz
( FALSE , 0 ) ( czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu ). Nie są zdaniami logicznymi zdania
pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne (spójniki):
- jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja - ~ - (nieprawda, że ...)
- dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja
- ∧ - (...i... )
alternatywa
- ∨ - (...lub...)
implikacja
- ⇒ - (jeżeli ..., to...)
równoważność
- ⇔ - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
p
~ p
p
q
p ∧ q
p ∨ q
p ⇒ q
p ⇔ q
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
Prawa logiczne (tautologie) – zawsze prawdziwe
1. pr. podwójnego przeczenia
~
(~
p ⇔
)
p
2. pr. wyłączonego środka
p ~∨ (z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest prawdziwe)
p
3. pr. sprzeczności
~
(
p ∧ (z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest fałszywe)
~
p
)
4. pr. kontrapozycji
(
p
⇒
q
)
⇔
(~
q
⇒
~
p
)
5. pr. przemienności koniunkcji
p
∧
q
⇔
q
∧
p
6. pr. przemienności alternatywy
p
∨
q
⇔
q
∨
p
7. pr. de Morgana:
~
(
p
∧
q
)
⇔
(~
p
∨
~
q
)
;
~
(
p
∨
q
)
⇔
(~
p
∧
~
q
)
8. pr. zaprzeczania implikacji
~
(
p
⇒
q
)
⇔
(
p
∧
~
q
)
9. pr. „nie wprost”
(
p
⇒
q
)
⇔
{(
p
∧
~
q
)
⇒
~
p
}
1
708904752.001.png
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
10. pr. rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
(
p
∧
(
q
∨
r
))
⇔
((
p
∧
q
)
∨
(
p
∧
r
))
11. pr. rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
(
p
∨
(
q
∧
r
))
⇔
((
p
∨
q
)
∧
(
p
∨
r
))
Warunek konieczny (WK) i wystarczający (WW):
p ⇒
q
p jest warunkiem wystarczającym dla q , a q jest warunkiem koniecznym dla p .
p ⇔
q
p jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla q .
p ⇒ tw. proste
p
q
Kwadrat logiczny:
q ⇒ tw. odwrotne (do prostego)
q
~ ⇒ tw. przeciwne
p
p ~
~ ⇒ tw. przeciwstawne
q ~
Formy (funkcje) zdaniowe – zdania orzekające, którym nie można przypisać określonej wartości
logicznej, gdyż zawierają zmienną przebiegającą pewien zbiór X (zwany dziedziną formy zdaniowej),
jednak, gdy przyjmiemy zamiast zmiennej dowolny element dziedziny, to forma zdaniowa staje się
zdaniem logicznym.
Uwaga. Każde równanie jest formą zdaniową
Kwantyfikatory :
∀- dla każdego
∃ - istnieje
• ∼∀ x ∈ X p ( x ) ⇔ ∃ x ∈ X ∼ p ( x )
• ∼∃ x ∈ X p ( x ) ⇔ ∀ x ∈ X v ∼ p ( x )
• ∀ x ∈ X [ p ( x )∧ q ( x )] ⇔ [∀ x ∈ X p ( x ) ∧ ∀ x ∈ X q ( x )]
• ∃ x ∈ X [ p ( x )∨ q ( x )] ⇔ [∃ x ∈ X p ( x ) ∨ ∃ x ∈ X q ( x )]
• [∀ x ∈ X p ( x ) ∨ ∀ x ∈ X q ( x )] ⇒ ∀ x ∈ X [ p ( x ) ∨ q ( x )]
• ∃ x ∈ X [ p ( x ) ∧ q ( x )] ⇒ [∃ x ∈ X p ( x ) ∧ ∃ x ∈ X q ( x )]
Zasada indukcji matematycznej
{
T
(
n
0
)
∧
(
∀
n
≥
n
0
T
(
n
)
⇒
T
(
n
+
))}
⇒
∀
n
≥
n
0
T
(
n
)
Elementy teorii mnogości
Zbiór, przynależność do zbioru – to pojęcia pierwotne, (niedefiniowane).
Sposoby określania konkretnych zbiorów:
• wypisanie elementów,
• podanie warunku przynależności.
np.
A
=
{
x
∈
X
:
p
(
x
)}
B
=
{
x
∈
X
:
q
(
x
)}
2
1
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
A
∪
B
=
{
x
:
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
=
{
x
∈
X
:
p
(
x
)
∨
q
(
x
)}
A
∩
B
=
{
x
:
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
=
{
x
∈
X
:
p
(
x
)
∨
q
(
x
)}
Analogie
mnogościowo-logiczne
A
−
B
=
{
x
:
x
∈
A
∧
x
∉
B
}
=
{
x
∈
X
:
p
(
x
)
∧
~
q
(
x
)}
A
=
{
x
:
x
∉
A
}
=
{
x
∈
X
:~
p
(
x
)}
A
⊂
B
⇔
(
x
∈
A
⇒
x
∈
B
)
⇔
(
∀
:
p
(
x
)
⇒
q
(
x
))
x
∈
X
A
=
B
⇔
(
x
∈
A
⇔
x
∈
B
)
⇔
(
∀
x
∈
X
:
p
(
x
)
⇔
q
(
x
))
Tożsamości ułatwiające dowody twierdzeń z kwantyfikatorami
• ∀ x ∈ X p ( x ) ⇔ { x :∈ X : p ( x ) }= X
• ∃ x ∈ X p ( x ) ⇔ { x :∈ X : p ( x ) }≠∅
Iloczyn kartezjański zbiorów
Intuicja Para uporządkowana ( x , y ) to zbiór dwuelementowy w którym określono kolejność
elementów
Formalna mnogościowa definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej
( x , y )={{ x },{ x , y }}
Definicja ta spełnia podstawowy warunek : ( a , b )= ( c , d ) ⇔ a = c ∧ b = d
Niech A i B będą dwoma niepustymi zbiorami
Def : Iloczynem kartezjańskim zbiorów A , B ≠φ; nazywamy zbiór
A
×
B
=
{(
x
,
y
)
:
x
∈
A
∧
y
∈
B
}
czyli zbiór par uporządkowanych, takich, że pierwszy element pary należy do pierwszego zbioru, a
drugi element do drugiego zbioru.
Przykład . A ={1,2,3}, B ={•,∗} ,
A × B ={(1, •),(2, •),(3, •),(1, ∗),(2, ∗),(3, ∗)}
Uwagi o mnogościowej definicji pary ( a , b )
Para to ciąg 2-elementowy → ciąg to funkcja na zbiorze N → funkcja to relacja prawostronnie
jednoznaczna → relacja to podzbiór iloczynu kartezjańskiego → iloczyn kartezjański to zbiór par
Uwaga . Elementy teorii relacji: w szczególności relacje równoważności, relacje porządkujące i
pojęcia związane z porządkiem oraz funkcje i pojęcia związane z funkcjami zostaną omówione na
wykładzie z analizy matematycznej.
3
'

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin