Wyklad1_skce0910.pdf
(
152 KB
)
Pobierz
240817648 UNPDF
Wykład 1
Wst¦p do matematyki
1.1 Elementy logiki
Logika stanowi fundament matematyki. Podstawowe poj¦cia logiki matematycznej s¡ niezb¦dne,
aby zrozumie¢ wnioskowanie. Zacznijmy od definicji zdania.
Definicja 1.1.1.
Zdaniem
w sensie logicznym nazywamy wyra»enie, któremu mo»emy przypisa¢
jedn¡ z dwóch warto±ci logicznych: 1 (prawda) lub 0 (fałsz).
Uwaga
1.1.1
.
Powy»sze oznacza, »e logika za zdania uwa»a jedynie zdania oznajmuj¡ce w sen-
sie j¦zyka polskiego. Zarówno zdaniom pytaj¡cym jak i wykrzyknikowym nie jeste±my w stanie
przypisa¢ warto±ci logicznej, a zatem w dalszych rozwa»aniach nie bierzmy ich pod uwag¦. W
matematyce tak»e formułujemy
definicje
, celem okre±lenia pewnych poj¦¢ oraz
twierdzenia
, czyli
zdania, które na bazie istniej¡cych definicji s¡ prawdziwe i opisuj¡ pewne własno±ci abstrakcyjnych
tworów algebraicznych.
Zdania ł¡czymy spójnikami logicznymi: ”i” b¦dziemy oznacza¢ przez
^
, a ”lub” przez
_
.
Definicja 1.1.2.
Niech
Z
1
b¦dzie zdaniem w sensie logicznym. Zdanie
¬
Z
1
nazywacj¡
negacj¡
zdania Z
1
. Negacja zdania logicznego ma przeciwn¡ warto±¢ logiczn¡ ni» ono, tj. je»eli zdanie jest
prawdziwe, to jego negacja jest fałszywa i na odwrót.
Definicja 1.1.3.
Niech
Z
1
,
Z
2
b¦d¡ zdaniami w sensie logicznym. Zdanie
Z
1
^
Z
2
nazywamy
koniunkcj¡
zda«
Z
1
i
Z
2
. Zdanie
Z
1
_
Z
2
nazywamy
alternatyw¡
zda«
Z
1
i
Z
2
. Koniunkcj¦ uznajemy
za prawdziw¡, je»eli oba zdania wchodz¡ce w jej skład s¡ prawdziwe. Alternatyw¦ uznajemy za
prawdziw¡, je»eli przynajmniej jedno zdanie wchodz¡ce w jej skład jest prawdziwe.
Osobny fragment rozdziału po±wi¦cimy implikacji. Jest ona podstawow¡ form¡ wnioskowania
matematycznego.
1
1.1. ELEMENTY LOGIKI
Definicja 1.1.4.
Niech
Z
1
,
Z
2
b¦d¡ zdaniami w sensie logicznym. Zdanie
Z
1
=
)
Z
2
(”ze zdania
Z
1
wynika zdanie
Z
2
”, ”je»eli
Z
1
, to
Z
2
”) nazwiemy
implikacj¡
. Implikacja jest nieprawdziwa tylko
wtedy, gdy zdanie
Z
1
jest prawdziwe, a zdanie
Z
2
jest fałszywe.
Uwaga
1.1.2
.
Zauwa»my, »e implikacja jest zdaniem w sensie logicznym b¦d¡cym podstaw¡ w
procesie wyci¡gania wniosków: je»eli zachodzi okoliczno±¢
Z
1
, to wynika st¡d, »e zachodzi¢ musi
okoliczno±¢
Z
2
. Nie nale»y tego rozumie¢ jako ”z fałszu wynika wszystko”. Prawidłowym jest tutaj
podej±cie: je»eli okoliczno±¢
Z
1
nie zachodzi, to nic nie mo»emy powiedzie¢, o tym, czy zachodzi, czy
te» nie okoliczno±¢
Z
2
. Tak samo, z faktu, »e zachodzi
Z
2
nie mo»emy wnioskowa¢ o prawdziwo±ci
zdania
Z
1
. To
Z
2
jest konsekwencj¡
Z
1
– nie na odwrót. Gdy zachodzi tak»e zale»no±¢ odwrotna,
mówimy wówczas o równowa»no±ci.
Definicja 1.1.5.
Niech
Z
1
,
Z
2
b¦d¡ zdaniami w sensie logicznym. Zdanie
Z
1
()
Z
2
(”zdanie
Z
1
jest równowa»ne zdaniu
Z
2
”) nazwiemy
równowa»no±ci¡
. Równowa»no±¢ jest prawdziwa wtedy, gdy
oba zdania wchodz¡ce w jej skład maja tak¡ sam¡ warto±¢ logiczn¡ – s¡ równocze±nie prawdziwe
lub rownocze±nie fałszywe.
Podsumowaniem powy»szych definicji mo»e by¢ nast¦puj¡ca tabelka
Tabela 1.1: Warto±ci logiczne zda«
p q p
^
q p
_
q p
)
q p
,
q
1 1
1
1
1
1
0 1
0
1
1
0
1 0
0
1
0
0
0 0
0
0
1
1
Definicja 1.1.6.
Dowolne wyra»enie zbudowane za pomoc¡ zda« logicznych oraz dowolnej ilo±ci
alternatyw, koniunkcji, implikacji b¡d¹ równowa»no±ci, nazywamy
wyra»eniem rachunku zda«
.
Definicja 1.1.7.
Tautologi¡
nazywamy wyra»enie rachunku zda«, które jest zawsze prawdziwe,
bez wzgl¦du na warto±¢ logiczn¡ zda« wchodz¡cych w jego skład.
Za pomoc¡ powy»szych okre±le«, mo»emy udowodni¢, »e prawdziwe jest
Twierdzenie 1.1.1.
Niech Z
1
, Z
2
, Z
3
b¦d¡ zdaniami w sensie logicznym. Poni»sze wyra»enia s¡
tautologiami.
Z
1
^
Z
2
()
Z
2
^
Z
1
- przemienno±¢ koniunkcji
Z
1
_
Z
2
()
Z
2
_
Z
1
- przemienno±¢ alternatywy
2
1.1. ELEMENTY LOGIKI
(
Z
1
^
Z
2
)
^
Z
3
()
Z
1
^
(
Z
2
^
Z
3
)
- ł¡czno±¢ koniunkcji
(
Z
1
_
Z
2
)
_
Z
3
()
Z
1
_
(
Z
2
_
Z
3
)
- ł¡czno±¢ alternatywy
(
Z
1
^
Z
2
)
_
Z
3
()
(
Z
1
_
Z
3
)
^
(
Z
2
_
Z
3
)
- rozdzielno±¢ koniunkcji wzgl¦dem alternatywy
(
Z
1
_
Z
2
)
^
Z
3
()
(
Z
1
^
Z
3
)
_
(
Z
2
^
Z
3
)
- rozdzielno±¢ alternatywy wzgl¦dem koniunkcji
(
Z
1
=
)
Z
2
)
^
(
Z
2
=
)
Z
3
) =
)
(
Z
1
=
)
Z
3
)
- przechodnio±¢ implikacji
W przypadku implikacji wprowadzamy nast¦puj¡ce okre±lenia
Definicja 1.1.8.
Niech twierdzenie (zdanie logiczne) ma posta¢
Z
1
=
)
Z
2
. Twierdzenie
Z
2
=
)
Z
1
nazywamy
odwrotnym
. Twierdzenie
¬
Z
1
=
) ¬
Z
2
nazywamy
przeciwnym
. Twierdzenie
¬
Z
2
=
)
¬
Z
1
nazywamy
przeciwstawnym
.
Wykorzystuj¡c tabelk¦ 2.1 łatwo mo»na pokaza¢, »e zachodzi
Twierdzenie 1.1.2.
Twierdzenia proste i przeciwstawne maj¡ t¦ sam¡ warto±¢ logiczn¡, podobnie
jak twierdzenia odwrotne i przeciwne.
Znane tautologie mo»na uj¡¢ w postaci nast¦puj¡cego twierdzenia.
Twierdzenie 1.1.3.
¬
(
¬
Z
1
)
()
Z
1
- prawo podwójnej negacji
¬
(
Z
1
=
)
Z
2
)
()
Z
1
^¬
Z
2
- prawo negowania implikacji
¬
(
Z
1
()
Z
2
)
()
[
¬
(
Z
1
=
)
Z
2
)
_¬
(
Z
2
=
)
Z
1
)]
- prawo negowania równowa»no±ci
¬
(
Z
1
^
Z
2
)
()
(
¬
Z
1
_¬
Z
2
)
oraz
¬
(
Z
1
_
Z
2
)
()
(
¬
Z
1
^¬
Z
2
)
- prawa de Morgana
Zauwa»my, »e twierdzenia matematyczne maj¡ najcz¦±ciej posta¢: zało»enia
)
teza. Ozna-
cza to, »e istotnym jest okre±lenie warto±ci logicznej takiego zdania poprzez zbadanie warto±ci
logicznych poszczególnych zda« składowych. W przypadku formuły
Z
)
T
(”zało»enia
)
teza”)
mówimy, »e
Z
jest dla
T
warunkiem wystarczaj¡cym lub dostatecznym, natomiast
T
jest warun-
kiem koniecznym dla
Z
. Je»eli zachodzi
Z
)
T
oraz
T
)
Z
to wówczas wyst¦puje równowa»no±¢
zda« składowych (czyli
Z
zachodzi ”wtedy i tylko wtedy, gdy” zachodzi
T
).
Do wyra»ania twierdze« u»ywamy równiez kwantyfikatorów.
Definicja 1.1.9.
Operator
8
x
2
X
okre±lamy nazw¡
kwantyfikatora ogólnego
i czytamy ”dla ka»dego
x
nale»¡cego do
X
”. Operator
9
x
2
X
okre±lamy nazw¡
kwantyfikatora szczegółowego
i czytamy
”istnieje
x
nale»¡cego do
X
”
3
1.2. ALGEBRA ZBIORÓW, PRZESTRZE EUKLIDESOWA
Po kwantyfikatorach z reguły nast¦puje zdanie logiczne, co nale»y rozumie¢, i» wspomniane
zdanie jest prawdziwe dla ka»dego
x
nale»¡cego do
X
(w przypadku kwantyfikatora ogólnego) lub
istnieje
x
nale»¡cy do
X
, dla którego owo zdanie jest prawdziwe (w przypadku kwantyfikatora
szczegółowego). Mamy te» nast¦puj¡ce
Twierdzenie 1.1.4.
¬
(
8
x
2
X
(
x
))
()
(
9
x
2
X
¬
(
x
))
- zaprzeczenie kwantyfikatora ogólnego
¬
(
9
x
2
X
(
x
))
()
(
8
x
2
X
¬
(
x
))
- zaprzeczenie kwantyfikatora szczegółowego
1.2 Algebra zbiorów, przestrze« euklidesowa
W matematyce pierwotnym poj¦ciem jest poj¦cie zbioru. Załó»my, »e istniej¡ zbiory. Okre±limy
działania na nich.
Definicja 1.2.1.
Sum¡ zbiorów A
i
B
nazywamy zbiór
A
[
B
, którego elementami s¡ wszystkie
elementy zbiorów
A
i
B
i »adnych innych elementów ten zbiór nie posiada.
Iloczynem zbiorów A
i
B
nazywamy zbiór
A
\
B
, którego elementami s¡ te elementy zbiorów
A
i
B
, które nale»¡ zarówno do zbioru
A
, jak i do zbioru
B
i »adnych innych elementów ten zbiór
nie posiada.
Ró»nic¡ zbiorów A
i
B
nazywamy zbiór
A
\
B
, którego elementami s¡ te elementy zbioru
A
,
które nie nale»¡ do zbioru
B
.
Uwaga
1.2.1
.
Powy»sza definicja mo»e by¢ zapisana formalnie w j¦zyku logicznym:
A
[
B
=
{
x
:
x
2
A
_
x
2
B
}
A
\
B
=
{
x
:
x
2
A
^
x
2
B
}
A
\
B
=
{
x
:
x
2
A
^
x
2
B
}
Zajmijmy si¦ teraz problemem porównywania zbiorów.
Definicja 1.2.2.
Mówimy, »e zbiór
A zawiera si¦
w zbiorze
B
, je»eli wszystkie elementy zbioru
A
nale»¡ te» do zbioru
B
, czyli
A
B
,
x
2
A
)
x
2
B
Mówimy wówczas, »e
A
jest podzbiorem zbioru
B
.
Zachodzi nast¦puj¡ce
Twierdzenie 1.2.1
(Prawa rachunku zbiorów)
.
Niech A,B,C b¦da zbiorami.
A
\
B
=
B
\
A
4
1.2. ALGEBRA ZBIORÓW, PRZESTRZE EUKLIDESOWA
A
[
B
=
B
[
A
(
A
\
B
)
\
C
=
A
\
(
B
\
C
)
(
A
[
B
)
[
C
=
A
[
(
B
[
C
)
A
\
(
B
[
C
) = (
A
\
B
)
[
(
A
\
C
)
A
[
(
B
\
C
) = (
A
[
B
)
\
(
A
[
C
)
(
A
\
B
)
0
=
A
0
[
B
0
(
A
[
B
)
0
=
A
0
\
B
0
A
[
?=
A
A
\
?=?
A
\
B
=
A
\
B
0
A
\
B
A
A
\
B
A
Przejd¹my do definicji iloczynu kartezja«skiego.
Definicja 1.2.3.
Iloczynem kartezja«skim
zbiorów
A
i
B
nazywamy zbiór
C
, którego elementami
s¡ pary uporz¡dkowane, w których pierwszy element nale»y do zbioru
A
, a drugi do zbioru
B
.
Zbiór
C
oznaczamy
A
×
B
. Oznacza to, »e
A
×
B
=
{
(
a,b
) :
a
2
A, b
2
B
}
W przypadku zbiorów kilkuelementowych mo»liwe jest wypisanie elementów ich iloczy-
nu kartezja«skiego. I tak, je±li
A
=
{
1
,
2
,
3
}
, a
B
=
{
7
,
8
}
, wówczas
A
×
B
=
{
(1
,
7)
,
(1
,
8)
,
(2
,
7)
,
(2
,
8)
,
(3
,
7)
,
(3
,
8)
}
. W przypadku zbiorów niesko«czonych wypisanie wszyst-
kich elementów nie jest ju» mo»liwe, tym niemniej mo»na taki zbiór opisa¢, b¡d¹ te» (w przypadku
iloczynów kartezja«skich dwóch podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych) narysowa¢. Na przykład,
iloczyn kartezja«ski dwóch odcinków [0
,
1] jest kwadratem o boku 1. Poj¦cie iloczynu kartezja«-
skiego b¦dzie nam dalej potrzebne przy zdefiniowaniu przestrzeni euklidesowych.
W dalszej cz¦±ci, nie tylko bie»¡cego rozdziału, ale i całego podr¦cznika, przyjmowa¢ b¦dziemy
za istniej¡cy i znany zbiór liczb rzeczywistych. Oznacza¢ go b¦dziemy przezR. Działania okre±lone
w zbiorzeRmaj¡ nast¦puj¡ce własno±ci.
Własno±¢ 1.2.1.
8
a,b,c
2
R
a
+ (
b
+
c
) = (
a
+
b
) +
c, a
·
(
b
·
c
) = (
a
·
b
)
·
c
5
Plik z chomika:
netneo2
Inne pliki z tego folderu:
Andrzej Stefańczyk - Psychologia wywierania wpływu i psychomanipulacji.pdf
(55605 KB)
Lukasz Milewski - Mowa ciala.rar
(95769 KB)
google_hacking.pdf
(11402 KB)
Alan_109_instrukcja.pdf
(190 KB)
Sieci Cisco PL.rar
(69418 KB)
Inne foldery tego chomika:
fiat bravo, brava, marea
Karetki są wszędzie
Kursy ECCC
Nauka
Pdf
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin