Logarytmy i funkcja potegowa.doc

(720 KB) Pobierz

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Przypomnienie działań na potęgach

Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

· a1 = a

· an = aan − 1

· $\begin{matrix} a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\ & n \mbox{ razy} \\ \end{matrix}$

· a0 = 1

· $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

· $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}$

· $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

· $a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m$

· ${a^p} \sdot {a^q} = a^{p+q}$

· ap:aq = ap − q

· (ap)q = apq

· ${(a \sdot b)}^p = {a^p} \sdot {b^p}$

· $\left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}$

Kilka podstawowych przykładów

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a) $10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4$

Rozwiązanie:

$10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 = 5 \cdot 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 =$

$= 5 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^3 + 2^4 = (5+1) \cdot 2^3 + 2^4 =$

$= 6 \cdot 2^3 + 2^4 = 3 \cdot 2^4 + 2^4 =$

$= 4 \cdot 2^4 = 2^2 \cdot 2^4 = 2^6$

b) $5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5}$

Rozwiązanie:

$5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^2\sqrt{5^3} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{4} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + 5^3\sqrt{5} + 5^3 + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 2 \cdot 5^3\sqrt{5} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = (2 + 3) \cdot 5^3 \sqrt{5} = 5^4 \sqrt{5} = 5^{9 \over 2}$

Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a) $\sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}}$

$\sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^7 \cdot 2^{1 \over 2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^{15 \over 2}}}}} =$

$= \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^{15 \over 2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4 \cdot 2^{15 \over 4}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4 \cdot 2^{15 \over 4}}}} =$

$= \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^{31 \over 4}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5 \cdot 2^{31 \over 8}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^{71 \over 8}}} = \sqrt{2^3 \cdot 2^{71 \over 16}} =$

$= \sqrt{2^{119 \over 16}} = 2^{119 \over 32}$

b) $\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}}$

$\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot 9^{1 \over 5}}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9^{6 \over 5}}}} =$

$= \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot 9^{3 \over 10}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9^{13 \over 10}}} = \sqrt{9 \cdot 9^{13 \over 30}} =$

$= \sqrt{9^{43 \over 30}} = 9^{43 \over 60}$

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a) $\frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = 8$

$L = \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = \frac{12 - 4 \sqrt{7}(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = \frac{12 - 28 + 2 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} =$

$= \frac{8\sqrt{7} - 16}{\sqrt{7}-2} = \frac{8(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = 8$

P = 8

czyli L = P

b) $\frac{24}{\sqrt{10} - 2} = 4\sqrt{10} + 8$

$L = \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{6} = 4(\sqrt{10}+2) = 4\sqrt{10} + 8$

$P = 4\sqrt{10} + 8$

zatem L = P

c) $\sqrt{31-12\sqrt{3}} - 3\sqrt{4+2\sqrt{3}} = -5$

$L = \sqrt{27-12\sqrt{3}+4} - 3\sqrt{3+2\sqrt{3}+1} = \sqrt{(3\sqrt{3}-2)^2} - 3\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} =$

$= |3\sqrt{3}-2| - 3|\sqrt{3}+1| = (3\sqrt{3}-2) - 3(\sqrt{3}+1) = 3\sqrt{3} - 2 - 3\sqrt{3} - 3 = -5$

P = 5

L = P

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba $\sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}}$ jest wymierna:

$\sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5}-9)^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{5})^2} =$

$= |2\sqrt{5}-9| + |3+2\sqrt{5}| = 9-2\sqrt{5} + 3+2\sqrt{5} =$

$= 12 \in \mathbb{Q}$

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}$ jest niewymierna:

$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} + \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2} =$

$= |\sqrt{3}+2| + |1-2\sqrt{3}| = \sqrt{3}+2 + 2\sqrt{3} -1 =$

$= 3\sqrt{3} + 1 \not\in \mathbb{Q}$

Funkcja potęgowa

DEFINICJA

Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem f(x) = xp.

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Dziedzina funkcji potęgowej:

Jeśli $p \in \mathbb{N}_+$ , to $D_f=\mathbb{R}$
Jeśli $p \in \mathbb{Z}$ , to $D_f = R \backslash \{0\}$
Jeśli $p \in \mathbb{Q}$ :

o dla p > 0, to $D_f=\mathbb{R}_+\cup\{0\}$

o dla p < 0, to $D_f=\mathbb{R}_+$

Wykres

O wykładniku równym zero

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że $D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$ . Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia 00 jest nieokreślona.

O wykładniku dodatnim parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

$D_f = \mathbb{R}$
$ZW_f = \mathbb{R}_+ \cup \{0\}$
Miejsce zerowe funkcji: x0 = 0
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \varnothing$ , funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
Ekstrema:

Minimum: dla x = 0 f(x) = 0

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

Monotoniczność:

Rośnie dla $x \in (0,+\infty)$

Maleje dla $x \in (-\infty,0)$

Funkcja nie jest różnowartościowa
Funkcja jest parzysta
Funkcja nie jest nieparzysta

O wykładniku dodatnim nieparzystym

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

$D_f = \mathbb{R}$
$ZW_f = \mathbb{R}$
Miejsce zerowe funkcji: x0 = 0
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R}_+ \backslash \{0\}$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \mathbb{R}_- \backslash \{0\}$
Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

Monotoniczność:

Rośnie dla $x \in \mathbb{R}$

Funkcja jest różnowartościowa
Funkcja nie jest parzysta
Funkcja jest nieparzysta

O wykładniku ujemnym parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

$y>1 \iff x \in (-1;0) \cup (0;1)$

Własności:

$D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
$ZW_f = \mathbb{R}_+$
Miejsce zerowe funkcji: brak
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in D_f$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in \varnothing$
Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

Monotoniczność:

Rośnie dla $x \in (-\infty;0)$

Maleje dla $x \in (0;+\infty)$

Funkcja nie jest różnowartościowa
Funkcja jest parzysta
Funkcja nie jest nieparzysta
Asymptoty: x = 0 i y = 0

O wykładniku ujemnym nieparzystym

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

$y>1 \iff x \in (0;1)$

Własności:

$D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
$ZW_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}$
Miejsce zerowe funkcji: brak
Wartości dodatnie: $f(x)>0 \iff x \in (0;+\infty)$
Wartości ujemne: $f(x)<0 \iff x \in (-\infty;0)$
Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

Monotoniczność:

Maleje w przedziale $x \in (-\infty;0)$ i przedziale $x \in (0;+\infty)$

Funkcja jest różnowartościowa
Funkcja nie jest parzysta
Funkcja jest nieparzysta
Asymptoty: x = 0 i y = 0

Rozwiązywanie równań potęgowych

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przykładami równań potęgowych może być:

$x^{\frac{2}{3}}=9$ ,

$7x^{4}=2\sqrt{7}$ ,

$x+x^{\frac{1}{2}}=12$ .

W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie $x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{3}$ i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:

Ustalamy dziedzinę:

$x^{\frac{3}{2}}= \sqrt{3}, D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\}$

Przekształcamy pierwiastek na potęgę:

$x^{\frac{3}{2}}= 3^\frac{1}{2}$

Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi $\frac{2}{3}$ :

$\left(x^\frac{3}{2}\right)^\frac{2}{3} = \left(3^\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}$

Czyli:

$x=3^\frac{1}{3}$

Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie $x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28$ :

Ustalamy dziedzinę:

$x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28,~D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\}$

Podstawmy: $x^\frac{1}{5}=t,~t \geq 0$ i otrzymujemy równanie kwadratowe:

t2 + 3t − 28 = 0

Czyli:

$t_1=-7,~\notin D$

$t_2=4,~\in D$

Otrzymujemy:

$x^\frac{1}{5}=t_2=4$

x = 45 = 1024

Spójrzmy na jeszcze inny przykład: $\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6}=3$ .

Ustalamy dziedzinę:

$4x+5 \geq 0 \and 2x-6 \geq 0 \iff x \geq -\frac{5}{4} \and x \geq \frac{5}{2} \iff x \geq \frac{5}{2}$

Czyli: $D=\left[\frac{5}{2};+\infty\right)$

Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:

$\begin{align} (\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6})^2&=9\\ 4x+5-2\sqrt{(4x+5)(2x-6)}+2x-6&=9\\ -2\sqrt{8x^2-14x-30}&=-6x+10\quad\Big/:(-2)\\ \sqrt{8x^2-14x-30}&=3x-5 \end{align}$

Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:

$x \in \left[\frac{5}{2};+\infty\right) \and 8x^2-14x-30 \geq 0 \and 3x-5 \geq 0$

$\iff x \in \left[\frac{5}{2};+\infty\right) \and x \in \left(-\infty;-\frac{4}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{3};+\infty;\right) \and x \geq \frac{5}{3}$