Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej
Parametr zbiorowości generalnej - miara opisowa, np. średnia arytmetyczna odchylenie standardowe czy wskaźnik struktury zbiorowości generalnej, której wartość jest na ogół nie znana.
Estymacja, czyli szacowanie parametrów, polega na podaniu ocen parametrów populacji generalnej na podstawie statystyki uzyskanej z próby losowej.
Statystyki wyliczone na podstawie pobranych z populacji grup losowych z teorii estymacji noszą nazwę estymatorów. Estymatorem jest więc każda statystyka wyliczona z próby losowej, która służy do szacowania odpowiadającego jej parametru populacji generalnej.
Aby statystyki mogły być uznane za dobre estymatory powinny charakteryzować się pewnymi cechami:
1) Nieobciążoność – jeśli wartość oczekiwana estymatora stosowanego do wyznaczenia nieznanego parametru zbiorowości generalnej jest równa wartości tego parametru, to taki estymator nazywamy nieobciążonym:
2) Zgodność – własność estymatora powodująca, że wraz ze wzrostem liczebności próby wartość estymatora zbliża się do parametru zbiorowości generalnej. Innymi słowy różnica między tymi wielkościami podlega działaniu prawa wielkich liczb:
gdzie:
jest dowolnie małą liczbą
3) Efektywność – spośród dwóch estymatorów wybieramy ten, którego wariancja jest mniejsza. Miarą efektywności estymatora jest jego wariancja .
Wyróżniamy dwa rodzaje estymacji:
1) Estymacja punktowa polega na podaniu wielkości szacowanego parametru, która jest równa wartości estymatora. Ponieważ z reguły wielkości estymatora różnią się od wartości parametru populacji generalnej, podaje się jednocześnie średni błąd szacunku, czyli odchylenie standardowe estymatora.
2) Estymacja przedziałowa polega na skonstruowaniu pewnego przedziału liczbowego, zwanego przedziałem ufności (Neymana), który z określonym prawdopodobieństwem pokryje estymarowy parametr.
Losowanie niezależne (ze zwrotem) – proces wybory jednostek do próby, w którym każdorazowo elementy zbiorowości generalnej mają takie samo prawdopodobieństwo dostania się do próby.
Rozkład estymatora w próbie – rozkład prawdopodobieństwa wskazujący na wszystkie możliwe wielkości, jakie może przyjąć dana statystyka (np. średnia arytmetyczna w próbie, odchylenie standardowe w próbie czy częstość względna w próbie).
Błąd standardowy – odchylenie standardowe estymatora , które zapisujemy .
Zbieżność do rozkładu normalnego – jeśli liczba jednostek obserwacji dąży do nieskończoności (w praktyce oznacza to zazwyczaj ), to rozkład estymatora jest zbliżony do rozkładu normalnego.
Wartość oczekiwana średniej arytmetycznej z próby
- wartość średniej w zbiorowości generalnej,
- wartość średniej w próbie.
Błąd standardowy średniej arytmetycznej z próby
Wartość oczekiwana wskaźnika struktury z próby
- nieznana wartość wskaźnika struktury (częstości względnej) zbiorowości generalnej
Błąd standardowy wskaźnika struktury z próby
- nieznana wartość wskaźnika struktury z próby
Estymacja przedziałowa nieznanej wartości średniej populacji generalnej
Współczynnik ufności – dzięki estymacji przedziałowej wyznacza się przedział liczbowy, który z pewnym prawdopodobieństwem zawiera nieznaną wartość parametru. To prawdopodobieństwo nazywane jest współczynnikiem ufności, a oszacowany przedział – przedziałem ufności (Neymana).
Współczynnik ufności oznacza się: . Najczęściej ma on takie wartości:
0,99 0,95 0,90
2,58 1,96 1,64
Przedział ufności Neymana ma postać ogólną:
- wartość zmiennej losowej w rozkładzie , takiej że
lub następującą formułę:
- wartość zmiennej losowej w rozkładzie t-Studenta przy stopniach swobody, takiej że prawdopodobieństwo .
Zbieżność rozkładu średniej z próby do rozkładu normalnego – wraz ze wzrostem liczby jednostek w próbie estymator ma rozkład zbliżony do rozkładu normalnego o nadziei matematycznej (wartości oczekiwanej) równej i odchyleniu standardowym . Jest to szczególny przypadek działania prawa wielkich liczb.
Normalność rozkładu średniej z prób - jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, to także x ma rozkład normalny, bez względu na wielkość próby.
Zbieżność do rozkładu t-Studenta – gdy nie jest możliwe skorzystanie ze zbieżności rozkładu do rozkładu normalnego, zmienna X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny oraz nieznane jest z populacji generalnej, wówczas korzystamy ze zbieżności statystyki do rozkładu t-Studenta o stopniach swobody, gdzie w zależności od liczebności próby (odpowiednio ).
Sposób budowy przedziałów ufności dla w zależności od informacji pochodzących ze zbiorowości generalnej, rozkładu statystyki oraz wielkości próby przedstawia schemat.
σ znane
tak nie
ma rozkład zbliżony
do t-Studenta o n-1
stopnia swobody
ma rozkład normalny lub
asymptotycznie normalny o
parametrach i
1)
1) 2)
Objaśnienie do powyższego schematu:
Schemat ten przedstawia przedziały ufności dla nieznanej wartości średniej () zmiennej X o rozkładzie normalnym lub zbliżonym do normalnego
1) to wartość o rozkładzie taka że
2) to wartość o rozkładzie t-Studenta o stopniach swobody, która spełnia zależność
Przykład 10
(na przedział ufności dla wartości oczekiwanej)
W pewnym zakładzie produkcyjnym postanowiono zbadać staż pracy pracowników umysłowych. W tym celu z populacji tych pracowników wylosowano grupę (losowanie niezależne (ze zwrotem)) o liczbie pracowników, z której obliczono średnią lat. Dotychczasowe doświadczenie wskazuje, że rozkład stażu pracowników umysłowych jest rozkładem normalnym z odchyleniem standardowym 2,8 lat ().
Przyjmując współczynnik ufności zbudować przedział ufności dla nieznanego średniego stażu pracy w populacji pracowników umysłowych w tym zakładzie.
Zgodnie ze schematem ustalamy, że spełnione są warunki:
- odchylenie standardowe
- rozkład normalny
Zatem korzystamy z następującego wzoru na przedział ufności dla nieznanej wartości ze zbiorowości generalnej:
Na podstawie tablic dystrybuanty rozkładu normalnego dla
wiemy, że
Przedział ufności przyjmuje postać:
Odp.: Z prawdopodobieństwem 0,95 możemy przypuszczać, że średni staż pracy w populacji pracowników umysłowych w tym zakładzie zawiera się w przedziale (6,508 lat; 7,292 lat). Innymi słowy 95% wszystkich takich przedziałów pokryje parametr , natomiast 5% nie pokryje. Godzimy się więc z ryzykiem błędu, że w 5 przypadkach na 100 nieznana wartość średniego stażu pracy w populacji generalnej znajduje się poza wyznaczonym przedziałem liczbowym.
Wykreślenie graficzne f(z)
0
Przykład 11
Odchylenie standardowe
W losowo wybranej grupie 450 samochodów osobowych marki FSO 1500 przeprowadzono badanie zużycia benzyny na tej samej dla wszystkich samochodów trasie długości 100 km. Okazało się, że odchylenie standardowe zużycia benzyny dla tej grupy samochodów wynosiło 0,8 litra na 100 km.
Zakładając, że badana cecha ma rozkład normalny wyznaczyć przedział ufności dla odchy...
karol.sta