Matematyka.pdf

(614 KB) Pobierz
76871767 UNPDF
MATEMATYKA
dla studentów kierunku
Zarz¡dzanie i Marketing
ZBIGNIEW BARTOSIEWICZ DOROTA MOZYRSKA
EWA PAWŁUSZEWICZ
Wrzesie« 1998
2
Spis tre±ci
Wst¦p
7
1 Podstawy 9
1.1 Elementy logiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Rachunek zda« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Kwantyfikatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Zbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Relacja równowa»no±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Rozwarstwienie zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Relacje porz¡dku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Algebra 23
2.1 Układy równa« liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Układy równa« dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Metoda eliminacji Gaussa dla dwóch zmiennych . . . . . 23
2.1.3 Dowolna liczba zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 Eliminacja Gaussa w przypadku ogólnym . . . . . . . . . 26
2.2 Zastosowania układów równa« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Lotnicza akcja pomocy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Asortyment produkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Portfel akcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Algebra macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Dodawanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Mno»enie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Definicja wyznacznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Własno±ci wyznacznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3 Odwracanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.4 Rz¡d macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.5 Wzory Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Pot¦gowanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 Zastosowania macierzy i wyznaczników . . . . . . . . . . . . . . . 41
3
4
SPIS TRECI
2.6.1 Planowanie produkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.2 Liniowe układy dynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.3 Model przepływów mi¦dzygał¦ziowych . . . . . . . . . . . 44
2.6.4 Model poł¡cze« lotniczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 Elementy algebry liniowej w R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.1 Liniowa niezale»no±¢ wektorów . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.2 Rz¡d kolumnowy i rz¡d wierszowy macierzy . . . . . . . . 49
2.7.3 Baza przestrzeni liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.4 Baza własna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7.5 Odwzorowania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Zastosowania funkcji liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.1 Funkcje liniowe jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.2 Funkcje wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Funkcje jednej zmiennej 63
3.1 Granice i ci¡gło±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Funkcje elementarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.1 Funkcje kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.2 Funkcje wielomianowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.3 Funkcje wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.4 Funkcje wykładnicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.5 Funkcje logarytmiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Pochodna funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.1 Definicja pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.2 Własno±ci pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.3 Monotoniczno±¢ i ekstrema . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.4 Pochodne wy»szych rz¦dów . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.5 Wkl¦sło±¢ i wypukło±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.6 Badanie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Zastosowania pochodnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.1 Optymalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.2 Analiza kra«cowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.3 Przykłady geometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Funkcje wielu zmiennych 89
4.1 Opis, wykresy, warstwice, obrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.1 Sposoby opisu funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . 89
4.1.2 Wykresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.3 Warstwice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.4 Funkcje z R w R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2 Pochodne funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.1 Ci¡gło±¢ funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.2 Pochodne pierwszego rz¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.3 Warunki konieczne na ekstrema lokalne . . . . . . . . . . 97
4.2.4 Pochodne wy»szych rz¦dów . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.5 Warunki wystarczaj¡ce na ekstrema . . . . . . . . . . . . 99
SPIS TRECI
5
4.2.6 Ekstrema globalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.7 Metoda mno»ników Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Przykłady zastosowa« optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 Rachunek całkowy 107
5.1 Całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.2 Całkowanie przez cz¦±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.3 Całkowanie przez podstawienie . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.1.4 Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Całka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.1 Całkowanie przez cz¦±ci i przez podstawienie dla całki
oznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3 Zastosowania całek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.1 Obliczanie pól . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.2 Całkowanie stóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3.3 Nadwy»ka u»yteczno±ci towaru . . . . . . . . . . . . . . . 119
Spis Literatury
121
Skorowidz
122

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin