macierz odwrotna.doc

(425 KB) Pobierz
Pojęcia macierzy

 

Pojęcia macierzy

 

Macierz jest to tablica pewnych liczb rzeczywistych:

 

              a mn    m  -  to rzędy macierzy,              n  -  to kolumny macierzy

Pojęcia macierzy kwadratowej.

 

Jeżeli m = n to taką macierz nazywamy macierzą kwadratową.

 

 

Pojęcia przekątnej głównej macierzy.



                            1, 5, 9 leżą na przekątnej głównej macierzy

 

 

Pojęcia macierzy jednostkowej.

macierz jednostkowa bo w każdym wierszu i każdej kolumnie leży tylko jedna jedynka

 

Pojęcia macierzy transponowanej.







             

 

W macierzy transponowanej to co jest rzędami w macierzy podstawowej staje się kolumnami  tzn. pierwszy rząd staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz staje się drugą kolumną itd.

 

Macierz transponowana powtórnie transponowana, daje w wyniku macierz pierwotną.

 

 

                                                                     

 

Działania na macierzach:

 

Dodawanie macierzy:

 

Dodajemy macierze które mają jednakowe wymiary.

 

 

 

Odejmowanie macierzy:

 

 

Odejmujemy macierze które mają jednakowe wymiary.

 

 

 

Mnożenie macierzy:

 

1.    Mnożenie stałej przez macierz:                           

2.    Mnożenie macierzy przez macierz:

 

Mnożenie wykonujemy w ten sposób, że wiersze I macierzy mnożymy przez kolumny II macierzy.







 

Ilość elementów w wierszu I macierzy musi być równa ilości elementów w pierwszej kolumnie II macierzy.

 





               

 

 

 

 

 







 

Własności mnożenia:

 

1.              Iloczyn macierzy na ogół nie jest przemienny:

 

                                                        A* B ¹ B ·A

 

 

2.                  C(A+B) = C*A + C*B                            (A+B)*C = A*C + B*C

 

 

 

Pojęcia wyznacznika macierzy.

 

 

Jeżeli mamy macierz trzeciego stopnia:

 

             

 

to wyznacznik takiej macierzy możemy wyznaczyć na trzy sposoby:

dopisujemy dwie kolumny

Pierwszy sposób:

 













 

 

Drugi sposób:

 

 

dopisujemy dwa rzędy













 

Macierz której wyznacznik jest równy 0 („zero”) nazywa się macierzą osobliwą.

 

 

Trzeci sposób:

 

 

 

 

.

 

Jeżeli mamy macierz czwartego stopnia to postępujemy w sposób opisany poniżej:

 





                            Wzór:              akl(-1)k+l det A’

 

 

Poszukujemy wiersza lub kolumny o największej ilości zer (tutaj druga kolumna).











 

 

 

Temat:              Macierze odwrotne.

 

             

 

              Macierz odwrotna istnieje tylko wtedy jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera.

 

                                                                     

 

Obliczanie macierzy odwrotnej:                            I sposób.

 

Pierwszy krok:              trzeba policzyć wyznacznik               detA              z macierzy.

 

             

 













                                                                                   

                                                                      więc macierz odwrotna istnieje

 

Drugi krok:              buduje się macierz dopełnień             

 

             

 

Trzeci krok:              transponujemy macierz             

             

 

Krok czwarty:              wyznaczenie macierzy odwrotnej:                           

 

 

Sprawdzenie poprawności obliczeń:

 

              Jeżeli macierz odwrotną przemnożymy przez daną macierz, otrzymamy macierz pierwotną:             

 

                                                                     

 

 

Sprawdzamy:

 

             

 

 

             

 

Sprawdzenie wypadło prawidłowo.


 

Obliczanie macierzy odwrotnej:                            II sposób.              (przekształcenia elementarne)

 

 

 

 

             

 

Przekształcenie – 1

 

Pierwszy i trzeci wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero

Aby zamiast elementu a 21  = 2  otrzymać 0 należy wiersz w1 pomnożyć przez (-2) i dodać wiersz 1.

 

 

 

              ok.!



 

 

Przekształcenie – 2

 

Aby zamiast elementu a 22  = -7  otrzymać 1 należy wiersz 2 podzielić przez -7

 

                                          ok.!



 

             

 

 

 

Przekształcenie – 3

 

Aby zamiast elementu a 12  = 5  otrzymać 0 należy wiersz 2 pomnożyć przez (-5) i dodać do wiersza 1.

 

                            ok.!



 

 

Przekształcenie – 4

 

Aby zamiast elementu a 32  = 1  otrzymać 0 należy w2 pomnożyć przez (-1) i dodać do wiersza 3.

 

                            ok.!



 

 

Przekształcenie – 5

 

Aby zamiast elementu a 33  = -4/7  otrzymać 1 należy w3  pomnożyć przez (-7/4)

 

                            ok.!



 

 

Przekształcenie – 6

 

Aby zamiast elementu a 13  = -1/3  otrzymać 0 należy  wiersz 3 pomnożyć przez (1/3) i dodać do w1

 



                            ok.!

 

 

 

Przekształcenie – 7

 

Aby zamiast elementu a 23  = 11/7  otrzymać 0 należy  wiersz 3 pomnożyć przez (-11/7) i dodać do w2

 



              ok.!

 

 

 

 

Temat2 :              Układy równań liniowych 

 

Rozwiązanie I metodą.

 

                           

 

              ...

Zgłoś jeśli naruszono regulamin