Def. Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej S.=lim Sn ( Szereg zbieżny posiada sumę, rozbieżny jej nie posiada )
Def. Równość dwóch szeregów. Uwaga!! Z równości szeregów wynika równość ich sum, ale nie na odwrót.
San=Sbn =Lan=bn
Def. Iloczynu przez liczbę. aSan=S(aan) gdzie a- stała
Def. Szereg S (an+bn) nazywamy sumą szeregów S an , S bn
Tw. Jeżeli szeregi S an; S bn są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpow. S1 i S2 to suma S (an+ bn ) wynosi S1+S2 natomiast S a an= a S1. (Tw. To działa tylko w tą stronę)
Tw Warunek konieczny zbieżności szeregu: Jeżeli szereg San jest zbieżny, to lim an=0
Dowód:
an=Sn-Sn-1 ; lim an= lim (Sn-Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S-S=0
Szereg geometryczny:
Saqn-1 lub Saqk
1. Jeżeli a=0 to szer. zb. & S= 0
2. Jeżeli a¹0 to szer. geom.
-dla ½q½<1 szer. geom. zb. i S=a/1-q
-dla ½q½>1 szer. geom. rozb.
Szereg Dirchleta. S1/na , aÎR, dla a>1 sz zbieżny; dla a £1 sz rozbieżny.
Szereg naprzemienny Szereg S(-1)n+1an, gdzie an>0 dla n=1,2,3,… nazywamy szer naprzemiennym.
Tw. Jezeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.
Sn=a1+ a2+ a3+…+ an L an³0, ciąg Sn jest ciągiem niemalejącym, ciąg ograniczony z góry z założenia. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny Þ Sn -jest zbieżny.
Kryterium porównawcze:
Jeżeli wyrazy szeregów S an i S bn są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna n0 , że n> n0 i spełniona jest nierówność an£ bn, to:
- ze zbieżności szer bn wynika zbieżność szeregu an
- z rozbieżności szeregu an wynika rozb szeregu bn
Sn=S an - chcemy pokazać, że jest zbieżny.
Sn = Sn0+Sak £ Sn0 +Sbk £ Sn0 + B;
k= n0 +1 ciąg sum częściowych Sn =Sn0 + B jest ograniczony stąd wynika zbieżność Sbk\n z założenia zbieżny i równy B.
Kryterium d’Alamberta:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim an+1/an, to szereg San o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium Cauchyego:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim nÖan, to szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium całkowe:
Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla x³ n0ÎN wówczas war koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki n0ò¥ f(x)dx
Kryterium Leibniza:
Jeżeli ciąg {an} jest nierosnący oraz lim an=0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.
[Ciąg nierosnący Lan+1£an ]
Kryterium Weierstrassa:
Jeżeli San liczb. jest zbież i jeżeli spełniona jest nierówność ôfn(x)ô£an to S funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A. San nazywamy majorantą S funkcyjnego.
San jako zbieżny musi spełniać warunek:
- war. konieczny i dostateczny zb S funkcyjnego.
Def: Szereg San , nazywamy bezwzględnie zbieżnym
jeżeli jest zbieżny S złożony z bezwzględnych wartości. Jeżeli San jest zb. bezwzględnie, to jest zbieżny. (San )=S (an). Jeżeli S jest zbieżny to nazywamy go warunkowo zbieżnym.
Def. Iloczyn Caychy’ego szeregów:
Szereg San, gdzie an = S ak bn-k+1; n=1,2...- nazywamy iloczynem Cauchy’ego szeregów San i Sbn tzn:
(San ) (Sbn ) = San
(San ) (Sbn ) = San ak =Sak bn - k
Twierdzenie: Jeżeli szeregi San i Sbn s
ą zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny.
Def. Ciąg funkcyjny:
Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. fn(x) natomiast cały ciąg będziemy oznaczać {fn (x) } który po napisaniu daje: (f1 (x) i f2 (x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny {fn(x)}jest określony w A, to dla każdego x0ÎA do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego, otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {fn(x0)}, który jest zbieżny lub rozbieżny.
Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:
Ciąg funkcyjny {fn(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy limn®¥fn(x)-f(x) lub fn(x) ne®¥® f(x) Û Le>0 LxÎA Vs Ln>s. ½fn(x)- f(x)½<e oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem: Lfn(x) AÞf(x) Û Le>0 Vd LxÎA ½fn(x)- f(x)½<e
Dla zb. zwykłej liczba d ma istnieć dla każdego e>0 i xÎA
Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A
Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła
[fn(x) AÞ f(x)] Þ [fn(x) e® f(x)]
Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą
Warunek Cauche’go:
Na to aby ciąg fn(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby Le>0 Vr że Ln>r zachodzi [fn(x) - fr(x)]<e
Tw. Całkowanie szeregu funkcyjnego:
Jeżeli Sfn(x) o wyrazach ciągłych w przedziale <a,b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to 0òb[Sf...
deCassinni