07 - ciagi.pdf
(
118 KB
)
Pobierz
404244767 UNPDF
1Indukcjamatematyczna.Ci¸agi.
Przygotowala Izabela Wardach
1
Indukcja matematyczna
Jest to metoda dowodzenia twierdzen o liczbach naturalnych. NiechT
n
oznacza twierdzenie
dotyczace liczby naturalnejn. Metoda ta opiera sie na nastepujacej zasadzie:
Zasada indukcji matematycznej:
1. sprawdzamy prawdziwosc twierdzenia dla n=1,
2. zakladamy prawdziwosc twierdzenia dla n=k
teza!zalozenie indukcyjne,
3. z powyzszego powinna wynikac prawdziwosc twierdzenia dla n=k+1
dowod indukcyjny
Niechk2N[{0}. Symbolk! (czyt.ksilnia) definiujemy nastepujaco:
0! = 1,1! = 1,k! = 1·2·3·4·...·k,k2
(1)
Symbol Newtona
n
k
(czyt.nnadklubnpok) definiujemy nastepujaco:
n
0
= 1,
n
k
=
n(n−1)(n−2)...(n−k+ 1)
k!
, k1
(2)
Symbole Newtona spelniaja warunek:
n
k
+
n
k+ 1
=
n+ 1
k+ 1
(3)
Jeelin2Cinkto
n
k
=
n!
k!(n−k)!
(4)
oraz
n
k
n
n−k
=
(5)
Wartosci symboli Newtona mozemy ustawic w nastepujac{a tabele - trojkat Pascala:
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
......................................
.........................................
1
napodstawie:
1.W.Leksi´nski,B.Macukow,W.
˙
Zakowski Matematyka dla maturzystow - definicje, twierdzenia, wzory,
przyklady,WNT,Warszawa1994.
2.W.
˙
ZakowskiMatematyka dla kandydatow na wyzsze uczelnie - algebra i analiza matematyczna,WNT,
Warszawa1994.
1
Poniewaz
n
0
= 1 oraz
n
n
= 1, dlan2N[0 ,
wiec wszystkie wyrazy skrajne w tyn trojkacie sa rowne 1. Ponadto, zgodnie z 2, ka].zdy z
pozostalych wyrazow tr’ojkata Pascala jest suma najblizszych dwoch wyrazow znajdujacych
sie nad nim. Dzieki temu latwo odtwozyc z pamieci:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
.............................
Kazda naturalna potege dwumianu (a+b) mozna wyrazic w postaci wzoru dwumianowego
Newtona:
(a+b)
n
=
n
0
a
n
+
n
1
a
n−1
b+
n
2
a
n−2
b
2
+...+
n
n
b
n
=
n
X
n
k
a
n−k
b
k
(6)
k=0
CI¸ GI:
Ciagiem nieskonczonym nazywamy funkcjef, ktora odwzorowuje zbiorNliczb natural-
nych w pewien niepusty zbiorY.
Ciag (a
n
) jest rosnacy,
V
n2N
a
n+1
>a
n
Ciag (a
n
) jest malejacy,
V
n2N
a
n+1
<a
n
Ciag (a
n
) jest nierosnacy,
V
n2N
a
n+1n
Ciag (a
n
) jest niemalejacy,
V
n2N
a
n+1n
Ciag (a
n
) jest ograniczony,
W
M
V
n2N
|a
n
|<M
Ciagiem arytmetycznym nazywamy ciag liczbowy, dla ktorego spelnoiny jest warunek:
a
n+1
=a
n
−rczylia
n
=a
1
+ (n−1)r
Liczbernazywamy roznia ciagu artymetycznego. Ciag artymetyczny jest rosnacy jezeli
r>0 a malejacy jezelir<0. Kazdy srodkowy wyraz (z wyjatkiem pierwszego i ostatniego)
jest srednia arytmetyczna wyrazow sasiednich:
a
n
=
a
n
+1
+a
n−
1
2
Wzor na sumenpoczatkowych wyrazow ciagu arytmetycznego:
S
n
=
a
1
+a
n
2
n
Ciagiem geometrycznym nazywamy ciag liczbowy, dla ktorego spelnoiny jest warunek:
a
n+1
=a
n
·qczylia
n
=a
n−1
1
2
Liczbeqnazywamy ilorazem ciagu geometycznego. Kazdy srodkowy wyraz (z wyjatkiem
pierwszego i ostatniego) spelnia warunek:
a
2
n
=a
n+1
·a
n−1
Wzor na sumenpoczatkowych wyrazow ciagu arytmetycznego:
S
n
=a
1
·
1−q
n
1−q
dlaq6= 1
S
n
=n·a
1
dlaq= 1
Granica ciagu nieskonczonego.
Liczbegnazywamy granica ciagu nieskonczonego, jezeli prawie wszystkie wyrazy tego ciagu
leza w otoczeniu liczbyg:
x!1
a
n
=g,
V
>0
W
V
n>
|a
n
−g|<
epsilon Ciag, ktory posiada granice nazywamy zbieznym, a ten, kory jej nie posiada roz-
bieznym.
Twierdzenia o dzialaniach na granicach ciagow:
Jezeli lim
lim
x!1
a
n
=ai lim
x!1
b
n
=b, to:
x!1
(a
n
+b
n
) =a+b
lim
x!1
(a
n
−b
n
) =a−b
lim
x!1
(k·a
n
) =k·a
lim
x!1
(a
n
b
n
) =ab
Jezeli ponadtob6= 0, orazb
n
6= 0, to:
lim
x!1
b
n
=
a
b
Zachodz¸ar´owno´sci:
lim
x!1
n
= 0
x!1
C=C,C-stala
lim
x!1
n
p
a= 1
lim
x!1
n
p
n= 1
Liczbaejakogranicaci¸agu:
lim
x!1
1 +
1
n
n
=e
Twierdzenie o trzech ciagach:
Jezeli lim
x!1
b
n
=g
3
lim
a
n
1
lim
x!1
a
n
= lim
x!1
c
n
=goraza
n
b
n
c
n
, to:
lim
x!1
a
n
= 0 oraz ciagb
n
jest ograniczony, to:
lim
x!1
a
n
b
n
= 0
Szereg geometryczny:
Niech dany bedzie nieskonczony ciag geometryczny:
a
1
,a
1
q,a
1
q
2
, ...a
1
q
n−1
, ...
CiagS
n
o wyrazach:
S
1
=a
1
,S
2
=a
1
+a
1
q, ...,S
n
=a
1
+a1q+a
1
q
2
+...+a
1
q
n−1
,...
nazywamy ciagiem sum czesciowych nieskonczonego ciagu geometrycznego lub szeregiem
geometrycznym. Gdy ciag ten ma graniceS, to jest to suma szeregu geometrycznego i
szereg ten jest wowczas zbiezny.
Twierdzenie: Szereg geometryczny jest zbiezny, gdy|q|<1 luba
1
= 0 i wowczas
S= 0, gdya
1
= 0
1−q
dla|q|<1
natomiast jest rozbiezny, gdy|q|1 ia6= 0.
4
Twierdzenie:
Jezeli lim
S=
a
1
Plik z chomika:
aneciakurczaczek
Inne pliki z tego folderu:
01 - wartosc_bezwzgledna.pdf
(90 KB)
02 - zbiory.pdf
(101 KB)
03 - ulamki-1.pdf
(52 KB)
03 - wielomiany.pdf
(104 KB)
04 - funkcja_trygonom.pdf
(86 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zadania - Matematyka podstawowa
Zadania - Matematyka wyższa
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin