06 - arcus.pdf - Wykłady - Matematyka podstawowa - aneciakurczaczek

1Funkcjaodwrotna.Funkcjecyklometryczne.

Przygotowala Izabela Wardach 1

Funkcjaodwrotna

Deﬁnicja odwzorowaniaXNAY

Mowimy, ze funkcjaf:X!Yodwzorowuje zbiorXNAY, co zapisujemyf:X NA !Y,

jezeli:

V y2Y W x2X f(x) =y

Deﬁnicja funkcji roznowartosciowej

Mowimy, ze funkcjafjest roznowartosciowa na zbiorzeX, jezeli:

V x 1 ,x 2 2X [x 1 6=x 2 )f(x 1 ) 6=f(x 2 )]

Deﬁnicja funkcji odwrotnej

Niech funkcjaf:X NA !Ybedzie roznowartosciowa. Funkcjef −1 :X NA !Yspelniajaca

warunek:

Wnioski:

V x2X f −1 (f(x)) =x

V y2Y f f −1 (y) =y

f −1 f −1 =f

Uwaga: Funkcja odwrotnax!y=f −1 (x) do funkcjifma wykres symetryczny wzgedem

prostejy=xdo wykresu funkcjif.

Twierdzenie: Niech funkcja nieparzysta ma funkcje odwrotna to funkcja odwrotna jest

takze funkca nieparzysta.

Twierdzenie:Jezeli funkcjafjest ciagla i rosnaca na przedzialeha,bi, to funkcja odwrotna

f −1 jest ciagla i rosnaca na przedzialehf(a),f(b)i.

Twierdzenie:Jezeli funkcjafjest ciagla i malejaca na przedzialeha,bi, to funkcja odwrotna

f −1 jest ciagla i malejaca na przedzialehf(b),f(a)i.

FUNKCJECYKLOMETRYCZNE:

1.ARCUSSINUS:

Rozwazmy funkcje

1 napodstawie:

1.W.Leksi´nski,B.Macukow,W. ˙ Zakowski Matematyka dla maturzystow - deﬁnicje, twierdzenia, wzory,

przyklady,WNT,Warszawa1994.

2.W. ˙ ZakowskiMatematyka dla kandydatow na wyzsze uczelnie - algebra i analiza matematyczna,WNT,

Warszawa1994.

V x2X V y2Y f −1 (y) =x,f(x) =y

nazywamy funkcja odwrotna.

y=sinx, x2 − 2 , 2 , y2h−1,1i

jest ona nieparzysta, ciagla i rosnaca zatem posiada funkcje odwrotna - takze nieparzystca,

ciagla i rosnaca. Nazywamy jaarcussinusi zapisujemy:

y=arcsinx,x2h−1,1i, y2 − 2 , 2

Z deﬁnicji funkcji odwrotnej mamy:

V x2h−1,1i V y2 h − 2 , 2 i [y=arcsin(x),sin(y) =x]

V y2 h − 2 , 2 i arcsin(siny) =y

V x2h−1,1i sin(arcsinx) =x

2.ARCUSCOSINUS:

Rozwazmy funkcje

y=cosx, x2h0,i, y2h−1,1i

jest ona ciagla i malejaca zatem posiada funkcje odwrotna - takze ciagla i malejaca. Nazy-

wamy jaarcuscosinusi zapisujemy:

y=arccosx,x2h−1,1i, y2h0,i

Z deﬁnicji funkcji odwrotnej mamy:

V x2h−1,1i V y2h0,i [y=arccos(x),cos(y) =x]

V y2h0,i arccos(cosy) =y

V x2h−1,1i cos(arccos) =x

3.ARCUSTANGENS:

Rozwazmy funkcje

y=tgx, x2 − 2 , 2 , y2R

jest ona nieparzysta, ciagla i rosnaca zatem posiada funkcje odwrotna - takze nieparzystca,

ciagla i rosnaca. Nazywamy jaarcustangensi zapisujemy:

y=arctgx,x2R, y2 − 2 , 2

Z deﬁnicji funkcji odwrotnej mamy:

V x2R V y2 ( − 2 , 2 ) [y=arctg(x),tg(y) =x]

V y2 ( − 2 , 2 ) arctg(tgy) =y

V x2R tg(arctg) =x

4.ARCUSCOTANGENS:

Rozwazmy funkcje

y=ctgx, x2(0,i, y2R

jest ciagla i rosnaca zatem posiada funkcje odwrotna - takze ciagla i rosnaca. Nazywamy ja

arcuscotangensi zapisujemy:

y=arcctgx,x2R, y2(0,)

Z deﬁnicji funkcji odwrotnej mamy:

V x2R V y2(0,) [y=arcctg(x),ctg(y) =x]

V y2(0,) arcctg(ctgy) =y

V x2R ctg(arcctg) =x

Zachodza tozsamosci:

V x2h−1,1i arcsinx+arccosx= 2

V x2R arctgx+arcctgx= 2

06 - arcus.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: