03 - ulamki-1.pdf - Wykłady - Matematyka podstawowa - aneciakurczaczek

1073 zesposobemnaskracanieopartym

owcze±niejszerozªo»enielicznikaimianownikanaczynnikipierwsze,dªugo

b¦dziemyszukalitegorozkªadu.Podobnieb¦dziezuªamkiem 771

146 .

Otoniezawodnametoda,która{przyokazji{pokazujejeszczejedn¡posta¢,

jak¡mo»nanadawa¢uªamkom.Przepisjestprosty:wyª¡czcaªo±ci,to,coci

zostaªo,odwró¢dogórynogami,znówwyª¡czcaªo±ci,znówodwró¢dogóry

nogamiidalejpowtarzajto(by¢mo»ebezko«ca).Spróbujmy.

1571

1073 =1+ 444

1073 =

=1+

2+ 185

444

=1+

2+ 74

185

2+ 1

2+ 1 2

2+ 3 74

Otrzymali±myinn¡,bardziejfantazyjn¡posta¢uªamka:uªamekªa«cuchowy.

Gdyniemamyochotynatakie,zu»ywaj¡cewielepapieru,graficznefigle,

zapisujemytotak:(1;2 ; 2 ; 2 ; 2) ; aletymczasemspróbujmyprzeksztaªca¢ten

uªamekzprawejnalewo:

=1+

2+ 1 5

=1+ 1

= 41

29 :

2+ 1

2+ 1 2

Jakwida¢,wykonuj¡ct¦operacj¦tamizpowrotem,skrócili±myuªamek:to,

przezcoskróciªsi¦ostatniuªamekprzyrozwijaniuwuªamekªa«cuchowy

(czyli37),towªa±nienajwi¦kszywspólnydzielnikliczb1517i1073.Nie

b¦dziemydowodzili,»etakb¦dziesi¦dziaªozawsze(pierwszydostrzegªto

TeajtetoszAtenwczasachPeryklesa,czyli2400lattemu).Sprawdzimytylko,

cotametodaprzyniesiewprzypadkudrugiegozuªamkówwymienionych

napocz¡tku.Nieb¦dziemytuwypisywalikolejnychpostacipojawiaj¡cych

si¦przyrozwijaniutegouªamkawuªamekªa«cuchowy,lecztylkokolejno

pojawiaj¡cesi¦wyniki,powstaj¡ceprzyodwracaniupoprzedniootrzymanych

uªamkówwªa±ciwych:

771

146 =5+ 41

146 ; 3+ 23

41 ; 1+ 18

23 ; 1+ 5

18 ; 3+ 3

5 ; 1+ 2

3 ; 1+ 1

Obserwuj¡ccho¢bytedwaobliczenia,ªatwowywnioskowa¢,»eka»daliczba

wymiernarozwijasi¦wsko«czonyuªamekªa«cuchowy(oile»topi¦kniej,ni»

zmªodszymiotysi¡clecieuªamkamidziesi¦tnymi).Alewuªamkiªa«cuchowe

mo»narozwija¢te»iinneliczby.Cowi¦cej{robisi¦towtensamsposób.Oto

pr z ykªad:

2 1)=

=1+

2+1 =1+

2 1) = ::: =1+

2+(

2+ 1

2+ :::

2+1)towzajemneodwrotno±ci).

Ato,copowielokropku,wynikazfaktu,»e gd ywobliczeniachpojawisi¦poraz

drugitasamaliczba(unasbyªatoliczba(

2 1)i(

Dla dociekliwych:

wyra»enie

2 1)),dalszeobliczeniab¦d¡si¦

powtarzaªy.Otrzymali±my u ªamekªa«cuchowyokresowyzpowtarzaj¡c¡si¦stale

dwójk¡,cosi¦zapisuje(1;2).Podobnyprzykªadjestrozpatrywanywzadaniu

oopornikach(wMaªejDelcie).Bezopornikówstwierdzamy(stosuj¡ct¦sam¡

metod¦,copoprzednio),»e

2+ 1

2+ :::

oznacza granic¦ ci¡gu

1 ; 1+ 1

2+ 2

; 1+

2+ 1

2+ 2

;:::

5 1

=0+ 1

= ::: =

;

5+1

5 1

1+ :::

czyli(0;1).

Lepsze uªamki

Gdywystartujemydouªamka 1517

2 :

Otrzymali±myzatemuªamekªa«cuchowy(5;3 ; 1 ; 1 ; 3 ; 1 ; 1 ; 2),któryka»dych¦tny

mo»esobiezapisa¢wrozwini¦tejformie(gdytylkomadu»owolnegomiejsca).

Aledorzeczy{rozwijanyuªamekokazaªsi¦nieskracalny{»adenzwypisanych

przedchwil¡uªamkównieskracaªsi¦.

2=1+(

(mamnadziej¦,»eka»dywie,i»(

2 ; 1+

Uªamkiªa«cuchoweokresowetorozwini¦cianiewymiernychpierwiastków

równa«kwadratowychowspóªczynnikachcaªkowitych.Znównieb¦dziemytego

dowodzili,tylkoobejrzymyprzykªadtego,jaktosi¦dzieje.Mo»etoby¢ostatni

zrozpatrywanychprzykªadów(je±lijakie±obliczeniemo»nawykona¢nakilka

sposobów,tostajesi¦onobardziejpoprawne{prawda?).Zauwa»my,»e

gdy x =

; to x = 1

1+ x :

1+ :::

Zatem x (1+ x )=1,czyli x 2 + x 1=0,sk¡dmamy(wobecdodatnio±ci

5 1

poszukiwanegopierwiastka) x =

Metodarozwijaniawuªamekªa«cuchowystosujesi¦nietylkodoliczb.Oto

przykªadgeometrycznego(!)obliczeniastosunkuprzek¡tnejkwadratudojego

boku.Wkwadracie ABCD rysujemy¢wiartk¦okr¦guo±rodku A ipromieniu

AB .Przecinaonaprzek¡tn¡ AC wpunkcie E .Przeddalszymrysowaniem

trzebazauwa»y¢,»e BS = SE = ET = TD = EC (bostycznezjednegopunktu

dookr¦gus¡jednakowejdªugo±ci,rysunekjest{jakdot¡d{symetryczny,

a SCT topoªówkakwadratu,oczywi±ciemniejszego).Terazrysujemypóªokr¡g

o±rodku S ipromieniu SB .Wobecpoprzedniegospostrze»eniaprzechodzi

onprzez E .Oznaczmydrugikoniecjego±rednicyprzez F .Terazliczymyjak

poprzednio(wyª¡czaniecaªo±ciiodwracanie)

AB =1+ CE

CB =1+

2+ CF

=1+

2+ CE

=(1;2)=

2 :

Trzeciazrówno±cibierzesi¦zpodobie«stwatrójk¡tów CBE i CEF :maj¡k¡t

przywierzchoªku C wspólny,aponadtok¡t CBE ,czyli FBE (jakowpisany

wmniejszyokr¡g),jestrównyk¡towi FEC (jakodopisanemuopartemunatym

samymªuku{dlanieznaj¡cychtegopoj¦ciaobja±nienienamarginesie).

Aponiewa»stosunek CE do CB si¦powtarza :::

K¡t dopisany to k¡t mi¦dzy styczn¡

do okr¦gu a jego ci¦ciw¡ poprowadzon¡

z punktu styczno±ci.Mówimy, »e jest

oparty na zawartym w jego wn¦trzu ªuku

okr¦gu.

Najwa»niejsz¡bodajwªasno±¢uªamkówªa«cuchowychodkryªLagrange.

Okazujesi¦,»ereduktuªamkaªa«cuchowegojestnajlepszymprzybli»eniem

wymiernymrozwijanejliczby.Otoobja±nieniau»ytychterminów.Redukt

uªamkaªa«cuchowegotoonsamobci¦tydojakiej±dªugo±ci{np. 41

29 jest

2{prawda?Najlepszeprzybli»eniewymiernejakiej±liczbyto

takieprzybli»enie,»elepszeodniegomusimie¢wi¦kszymianownik.Zatem

zpodanegoprzedchwil¡przykªaduwynika,»elepszeprzybli»eniewymierne

2ni» 41

29 musimie¢mianownikconajmniej30.Alepszeod 7

5 musimie¢

mianownikwi¦kszyod5{prawda?

Nakoniecjeszczezwró¢myuwag¦,»ewzapisieuªamkaªa«cuchowegooddziela

si¦poszczególnepozycjeprzecinkami.Czymo»nabyªobytegonierobi¢(tak,

jaknierobimytegozapisuj¡cuªamkidziesi¦tne)?Otó»nie.Naposzczególnych

miejscachmog¡si¦bowiempojawia¢dowolniedu»eliczby.Np.(1;1000 ; 333)to

ªa«cuchowyzapisliczby

Wobectego jest równy, jak wida¢

na rysunku, poªowie k¡ta ±rodkowego

opartego na tym samym ªuku (k¡ty

o ramionach odpowiednio prostopadªych),

a tym samym jest równy ka»demu z k¡tów

wpisanych w okr¡g i opartych na tym

samym ªuku.

333001 ;

którejniemapowodudyskryminowa¢.Przytejokazjimo»naprzedstawi¢jeden

1000+ 333

=1+ 333

333001 = 333334

znierozwi¡zanychdot¡dproblemów:czywrozwini¦ciuªa«cuchowymliczby 3 p

wyst¦pujetylkosko«czonaliczbaró»nychwyrazów?

Ijeszczeuwaganaturyfilozoficzno-historycznej.Dlaczegó»toniejeste±my

przyzwyczajenidouªamkówªa«cuchowych,dlaczegoniemaichwszkole?Bo

prawiewcaleichnieu»ywamy.Adlaczegoichnieu»ywamy?Mo»naspekulowa¢

natentemat,sugeruj¡c,»enp.dodawanieuªamkówªa«cuchowychczyich

mno»enietobyªbykoszmar{alemo»edobrychsposobówniema,boich

dostatecznieintensywnienieszukali±my?Wydajesi¦,»ejedynanaukapªyn¡ca

ztakichrozwa»a«todostrze»enie,»eksztaªtuprawianejmatematykiniejest

jedynymo»liwy,»emogªowszystkouªo»y¢si¦inaczej.

MarekKORDOS

reduktem

03 - ulamki-1.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: