11.3 - Funkcje wielu zmiennych.pdf - Zadania - Matematyka podstawowa - aneciakurczaczek

WydziałWiLi,Budownictwo,sem.2

drJolantaDymkowska

Funkcjewieluzmiennych-ekstremafunkcjidwóchzmiennych

Zad.1Wyznaczekstremalokalnefunkcji:

1.1f(x,y)=x 2 +2y 2 −2xy−4x 1.2f(x,y)=3x 2 +4y 2 +xy

1.3f(x,y)=x 4 +8x 2 +y 2 −4y 1.4f(x,y)=x 3 +3xy 2 +12xy

1.5f(x,y)=x 2 y+xy 2 −6xy 1.6f(x,y)=x 4 +y 4 −2x 2 +4xy−2y 2

1.7f(x,y)=x 3 +y 3 −3xy 1.8f(x,y)=x 3 +8y 3 −6xy+5

1.9f(x,y)=x 4 +y 4 −2(x−y) 2

1.10f(x,y)=(x−y) 2 +(y+2) 3

1.11f(x,y)=(x−2y)e xy

1.12f(x,y)=e 2 x (x+y 2 +2y)

1.13f(x,y)=xy+ 2 x + 1 y

1.14f(x,y)=y−4x− 1 x + 1 y

1.15f(x,y)=lnx+3lny−xy−4y 2

1.16f(x,y)=4lnx+24lny−4x 2 y 3 +3x

1.17f(x,y)=arctg(xy)+arctgx 1.18f(x,y)=arctg(xy 2 )−arctgx

1.19f(x,y)=ln(y 2 +x)+ x 2 −y 1.20f(x,y)=x−2y+ln p x 2 +y 2 +3arctg y x

1.21f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 +2x−4y−6z 1.22f(x,y,z)=xyz(5−x 2 −y 2 −z 2 )

1.23f(x,y,z)=x 3 +y 2 +z 2 +12xy+2z 1.24f(x,y,z)=xy 2 z 3 (7−x−2y−3z)

Zad.2Wyznaczekstremalokalnefunkcjiokre±lonejwpierwszej¢wiartceukładu:

2.1f(x,y)=x 3 +3xy 2 −15x−12y 2.2f(x,y)=xy+ 50 x + 20 y

Zad.3Wyznaczekstremalokalnefunkcjiokre±lonejwobszarzex>0,y>0,z>0:

3.1f(x,y,z)=x+ y x + z y + 2 z 3.2f(x,y,z)=x+ y 2

4 x + z 2

Zad.4Znale¹¢najmniejsz¡inajwi¦ksz¡warto±¢funkcjifnazbiorzeD:

4.1f(x,y)=x 2 +y 2 −xy−x−y, D={(x,y):x > 0,y > 0,x+y 6 3}

4.2f(x,y)=x 2 y(4−x−y), D={(x,y):x > 0,y > 0,x+y 6 6}

4.3f(x,y)=(x 2 +y 2 −7) 2 +24x, D= (x,y):x 2 +y 2 6 7

4.4f(x,y)=2x 2 −2y 2 , D= (x,y):x 2 +y 2 6 4

4.5f(x,y)=x 2 +2xy−4x+8y, D={(x,y):0 6 x 6 1,0 6 y 6 2}

4.6f(x,y)=x 3 +y 3 −9xy−27, D={(x,y):0 6 x 6 1,0 6 y 6 1}

4.7f(x,y)=x 2 +y 2 −x−4y, D={(x,y):x 6 4,0 6 y 6

p x}

Zad.5Znale¹¢odległo±¢punktuA(0,3,0)odpowierzchniy=xz.

Zad.6Prostopadło±ciennyotwartyzbiornikogrubo±ci±cian0,1mmamie¢pojemno±¢4m 3 .Poda¢zewn¦trzne

wymiarytegozbiornika,któreminimalizuj¡obj¦to±¢materiałupotrzebnegodojegowykonania.

y + 2 z

4.8f(x,y)=x 2 −2xy+2y 2 −2y, D= n (x,y): x 2

2 6 y 6 2 o

4.9f(x,y)=2y−x, D={(x,y):1 6 x 6 e,lnx 6 y 6 2lnx}

4.10f(x,y)=x+ln(4−x−y 2 ), D= (x,y):0 6 x 6 1−y 2

11.3 - Funkcje wielu zmiennych.pdf