rozd8.pdf

(202 KB) Pobierz
QPrint
8. CAýKA OZNACZONA
Niech
[:
;
]
R
bħdzie funkcjĢ ograniczonĢ. RozwaŇmy podziaþ
przedziaþu ]
[ na pewnĢ liczbħ podprzedziaþw przy pomocy punktw
<= ...
0
1
<
<
=
.
diam takiego podziaþu nazywamy najwiħkszĢ dþugoĻę przedzia-
(
)
þu
[ 1
− , tzn.
;
]
diam
(
)
−=
1
0
,
2
−
1
,
...,
−
−
1
}
. W kaŇdym
− wybierzmy pewien . Teraz utwrzmy s
s(dla podziaþu i punktw poĻrednich
[ 1
;
]
= ):
( 1
,
...,
)
(
,
,
)
=
=
(
)(
−
−
1 )
.
1
PrzypuĻęmy teraz, Ňe mamy pewien ciĢg podziaþw =1
{
:
<= )
=
0, ...
<
,
(
.
Powiemy, Ňe ciĢg podziaþw =1
{
jest normalny, jeŇeli
diam
(
)
0
przy +
. Dla dowolnego wybierzmy pewne punkty poĻrednie
]
,
− i utwrzmy ciĢg sum aproksymacyjnych
[
,
1
;
,
(
,
,
)
,
.
JeŇeli ciĢg ten ma skoıczonĢ granicħ przy dowolnym wyborze normalnego
ciĢgu podziaþw =1
=
1
2
...
oraz punktw poĻrednich, to nazywamy jĢ
funkcji w przedziale ]
{
[ i oznaczamy
)( .
Tak wiħc
(
)
=
lim
(
,
,
)
.
diam
(
)
0
Funkcjħ nazywamy ss
Podstawowe reguþy caþkowania
PoniŇej , itd. oznaczajĢ funkcje caþkowalne w rozwaŇanych przedziaþach.
Ʊ
.
=
(
−
)
Ʊ JeŇeli
)( dla ]
[ , to
(
−
)
(
)
(
−
)
.
61
max{
przedziale
Ʊ
(
)
=
(
)
.
Ʊ
(
(
)
+
(
))
=
(
)
+
(
)
.
Ʊ JeŇeli
, to
(
)
(
)
.
Ʊ
(
)
|
(
)
|
.
Ʊ JeŇeli
, to
(
;
)
(
)
=
(
)
+
(
)
.
Ʊ Przyjmujemy
(
)
=
−
(
)
. Ponadto, kþadziemy
( =
0
.
Ʊ Wszystkie funkcje ciĢgþe sĢ caþkowalne. Oglniej: wszystkie funkcje
ograniczone majĢce skoıczonĢ liczbħ punktw nieciĢgþoĻci sĢ caþkowalne.
Ʊ JeŇeli jest funkcjĢ ciĢgþĢ, to funkcja
)
( ,
, jest pierwotnĢ
[
;
]
. Jest to tzw. s
W szczeglnoĻci, kaŇda funkcja ciĢgþa ma
pierwotnĢ.
Ʊ JeŇeli funkcja jest pierwotnĢ funkcji ciĢgþej , to
=
(
)
(
)
dla dowolnego
[
;
]
( =
)
=
(
)
−
(
)
(
)
(jest to zasadnicza metoda obliczania caþek oznaczonych, czyli
).
Zastosowania caþek oznaczonych
s
Niech
=
{(
,
)
:
[
;
],
(
)
(
)}
,
gdzie
,
:
[
;
]
R
sĢ dwiema funkcjami ciĢgþymi takimi, Ňe
. Wtedy
| zbioru wyraŇa siħ wzorem:
|
|
=
−
[
(
)
(
)]
.
Np.
[
;
]
=
[
0
]
,
sin
(
)
=
, 0
:
(
)
62
)
funkcji , tzn.
pole |
56268843.009.png 56268843.010.png
|
|
=
sin
=
−
cos
=
2
.
0
0
s
Niech
=
{(
,
(
))
:
[
;
]}
,
gdzie
:
[
;
]
R
jest funkcjĢ klasy
. Wtedy dþugoĻę |
1
| krzywej wy-
raŇa siħ wzorem
|
2
|
=
1
+
(
(
))
.
Przykþad 1.
(
)
=
2
3
,
[
0
2
. ()()
2
2
1
2
3
2
2
[ ] 1
3
|
|
=
1
+
(
)
2 −
=
1
+
9
=
1
+
9
=
19
.
9
3
27
0
0
0
Teraz zaþŇmy, Ňe krzywa jest okreĻlona parametrycznie:
]}
=
{
=
(
),
=
(
)
:
[
;
,
takimi, Ňe rŇnym wartoĻciom pa-
rametru odpowiadajĢ rŇne punkty na krzywej. Wtedy
,
:
[
;
]
R
sĢ funkcjami klasy
1
|
2
|
=
(
(
))
2
+
(
(
))
.
Przykþad 2.
= ,
2
−
= ,
1
3
[
0
3
.
3
3
3
+
1
3
|
|
=
(
2
)
2
+
(
−
2
)
2
=
(
+
2
)
=
3
=
12
.
3
0
0
0
Przykþad 3.
−
= ,
(
sin
)
−
= ,
(
cos
)
[
0
2
]
( 0
) (cykloida,
>
patrz rys 8.1, gdzie 1
).
=
2
2
2
|
|
=
(
−
cos
)
2 =
+
sin
2
=
2
sin
=
−
4
cos
8
.
2
2
0
0
0
Przykþad 4.
= ,
cos
3
= ,
sin
3
[
0
2
]
( 0
) (astroida, patrz
>
rys. 8.2, gdzie 1
).
=
2
2
|
|
=
3
cos
4
sin
2
+
sin
4
cos
2
=
3
cos
sin
=
0
0
63
gdzie
56268843.011.png 56268843.012.png 56268843.001.png 56268843.002.png 56268843.003.png 56268843.004.png 56268843.005.png
3
2
3
2
3
=
sin
2
=
cos
2
=
.
2
4
2
0
0
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
Rys. 8.1
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
= jest
szczeglnym przypadkiem wzoru na dþugoĻę krzywej danej rwnaniami para-
metrycznymi.
Istotnie, mamy
Rys. 8.2
ZauwaŇmy, Ňe wzr na dþugoĻę krzywej danej rwnaniem
(
)
=
(
)
,
= , a wiħc
(
)
(
)
,
( =
)
1
(
)
=
(
)
, a
stĢd
(
(
))
2
+
(
(
))
2
=
1
+
(
(
))
2
.
64
56268843.006.png 56268843.007.png
Caþki niewþaĻciwe
Niech
:
[
;
)
R
bħdzie funkcjĢ ciĢgþĢ (przy czym +
<
). JeŇeli
istnieje skoıczona granica
lim
−
)
,
To nazywamy jĢ funkcji w przedziale )
i oznaczamy
)
( .
Podobnie definiujemy
)
( , gdy
:
(
;
]
R
jest funkcjĢ ciĢgþĢ
(
− ).
(
)
=
lim
+
(
)
.
Np.
1
=
lim
−
1
=
1
,
1
=
lim
ln
=
.
2
+
+
1
1
65
(
[
;
<
1
56268843.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin