kon 2.docx

LINEARYZACJA

              Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu (równanie dynamiki). Jest to zależność wielkości fizycznych, przyjętych jako sygnały wyjściowe, od wielkości fizycznych będących sygnałami wejściowymi danego członu lub układu.

              W wielu przypadkach równanie dynamiki jest równaniem nieliniowym. Często jednak, kiedy zakres zmienności sygnałów (zakres pracy członu lub układu) jest odpowiednio mały, równanie nieliniowe zastępuje się przybliżonym równaniem liniowym, uzyskując za cenę wprowadzenia przybliżonego opisu matematycznego możliwość korzystania z teorii układów liniowych.

              Niech dany proces zachodzący w układzie o jednym sygnale wyjściowym,

opisany będzie równaniem różniczkowym.

Fy,y,y,…,x1,x1,x1,…,x1p1,x2,…,xk,xk,xk,…,xkpk=0,

gdzie F[…]jest funkcją nieliniową, w którym zmiennymi są sygnały wejściowe i wyjściowy oraz ich pochodne względem czasu.

              Niech proces zachodzi przy niewielkich odchyleniach poszczególnych sygnałów od punktu pracy określonego na przykład przez współrzędne:

y0n, x10n, x20n, …, xk0n.

              Jeżeli układ znajdzie się w punkcie pracy, a więc sygnały wejściowe x1, x2, …, x2k oraz wyjściowy y osiągną wartości ustalone, równe odpowiednio x10n, x2Qn, ..., xk0n i y0n, wszystkie pochodne tych sygnałów względem czasu są zerami.

A więc w punkcie pracy jest:

x1=x1=…=x1(p1)=0x2=x2=…=x2(p2)=0xk=xk=…=xk(pk)=0

              Wobec powyższego punkt pracy nazywa się również punktem równowagi.

              Zależność między współrzędnymi wszystkich możliwych stanów równowagi nazywa się charakterystyką statyczną danego procesu.

              Z definicji charakterystyki statycznej wynika, że wyzna­czyć ją można z równania

Fy,y,y,…,x1,x1,x1,…,x1p1,x2,…,xk,xk,xk,…,xkpk=0,

uwzględniając

x1=x1=…=x1(p1)=0x2=x2=…=x2(p2)=0xk=xk=…=xk(pk)=0

Charakterystyka statyczna procesu opisanego równaniem

Fy,y,y,…,x1,x1,x1,…,x1p1,x2,…,xk,xk,xk,…,xkpk=0,

ma więc postać

F[y0, y=0,y=0,…,y(m)=0, x10,x1=0,x1=0,…,x1p1=0,

x20,…,x2p2=0, …,xk0,xk=0,…,xkpk=0]=0.

              W równaniu będącym charakterystyką statyczną symbole sygnałów y, x1, x2, ... xk zastąpiono symbolami y0, x10, x20, ... yk0 w celu zaznaczenia, że jest to związek między sygnałami w stanie równowagi układu.

              Jeżeli funkcja

Fy,y,y,…,x1,x1,x1,…,x1p1,x2,…,xk,xk,xk,…,xkpk=0,

jest ciągła różniczkowalna względem wszystkich zmiennych i ich pochodnych w okolicy punktu pracy, można przeprowadzić jej linearyzację. Linearyzacja polega na:

1) przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu pracy (równowagi, odniesienia) określonego przez współrzędne

x10n, x20n, …, xk0n,y0n.

2) zastąpieniu zmiennych i ich pochodnych nowymi zmiennymi przyrostowi

∆x1,∆ x2, …,∆ xk,∆y

i ich pochodnymi;

3) zastąpieniu równania

Fy,y,y,…,x1,x1,x1,…,x1p1,x2,…,xk,xk,...