top607.pdf

TOPOLOGIA

WPPTI,sem.letni

LISTA6

WrocÃlaw,26marca2007

ZADANIE1.Wyka_z,_zeje¶slici»agpodstawowy( x n )mapodci»ag( x n k )zbie_znydo

x ,tocaÃlyci»ag( x n )te_zjestzbie_znydo x .

ZADANIE2.Wyka_z,_zewprzestrzeniR n (zmetryk»anaprzykÃladEuklidesow»a)

poj»eciaograniczono¶sciicaÃlkowitejograniczono¶scipodzbiorus»ato_zsame.

ZADANIE3.Wyka_z,_zedowolnypodzbi¶or A przestrzenicaÃlkowicieograniczonej

( X;d )tworzyprzestrze¶n( A;d )r¶ownie_zcaÃlkowicieograniczon»a.

Wponi_zszychzadaniachprzyj»a¶czade¯nicj»ezwarto¶sci f zupeÃlno¶s¶c+caÃlkowit»a

ograniczono¶s¶c g lub,wraziepotrzeby,r¶ownowa_znywarunek f zka_zdegoci»agumo_zna

wybra¶cpodci»agzbie_zny g .Poj»ecie zbi¶orzwarty (jakopodzbi¶orprzetrzenimetrycznej

( X;d ))oznaczapodzbi¶or A½X taki,_ze( A;d )jestprzestrzeni»azwart»a.

ZADANIE4.Rozwa_zmyprzestrze¶nci»ag¶owbinarnych:

f 0 ; 1 g N = f ( x n ) n¸ 1 : 8 n x n 2f 0 ; 1 gg;

zmetryk»a

1 X

d (( x n ) ; ( y n ))=

2 ¡n jx n ¡y n j:

n =1

Czyjesttoprzestrze¶nzwarta?

ZADANIE5.Wyka_z,_zeci»agÃlyobrazzbioruzwartegojestzwarty,czyli_zeje¶sli

f : X!Y jestfunkcj»aci»agÃl»ai A jestzbioremzwartym,to f ( A )te_zjestzbiorem

zwartym.

ZADANIE6.Uzasadnijkr¶otko,_zepodzbi¶orzwartyprzestrzeni X jestjejpodbiorem

domkni»etym.

ZADANIE7.Wyka_z,_zepodzbi¶ordomkni»etyprzestrzenizwartejjestzwarty.

ZADANIE8.Wyka_z,_zeka_zdafunkcjaci»agÃlaokre¶slonanazwartejdziedziniejest

jednostajnieci»agÃla.

TomaszDownarowicz