SZEREGI LICZBOWE
DEF 1. Niech a1, a2, a2,..., an będzie ciągiem liczbowym wówczas ciąg sum :
nazywamy SZEREGIEM liczbowym o wyrazach an i oznaczamy symbolem
Sumy S1, S2,..., Sn,... będziemy nazywać sumami częściowymi szeregu . Ciąg Sn będziemy nazywać ciągiem sum częściowych powstałych na tle ciągu an .
UWAGA 1. Szereg to po prostu specjalny ciąg.
,
ciąg ,
S1=1 ....,
DEF 2. Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych Sn jest ciągiem zbieżnym(ma granicę skończoną) tzn. . Liczbę S będziemy nazywać sumą tego szeregu tzn. .
DEF 3. Jeżeli ciąg sum częściowych jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą +¥ lub -¥ albo nie ma żadnej) to mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Przykład 2. Oblicz sumę szeregu o ile istnieje
(a)
Rozważmy n-tą sumę .Więc, czyli szereg jest zbieżny.
(b)
Rozważmy n-tą sumę .Więc n-ta suma nie jest ograniczona, czyli szereg jest rozbieżny.
UWAGA 2. Symbol oznacza szereg (czyli ciąg sum częściowych) oraz jeśli szereg jest zbieżny oznacza również sumę szeregu( czyli liczbę).
Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny, to .
UWAGA 3. Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony to szereg jest rozbieżny.
Jeżeli warunek konieczny jest spełniony to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.
Przykład 3.Zbadaj, czy szereg spełnia warunek konieczny:
Ponieważ więc warunek konieczny nie jest spełniony więc szereg jest rozbieżny.
Ponieważ więc warunek konieczny jest spełniony ALE nie wiemy jeszcze nic o zbieżności tego szeregu. Rozpatrzmy n-tą sumę Ponieważ n-ta suma dąży do nieskończoności i mimo, że spełniony jest warunek konieczny to ostatecznie szereg jest rozbieżny.
powstały na tle ciągu geometrycznego o pierwszy wyrazie a1 i ilorazie q. Jeżeli
· a1=0 to szereg jest zbieżny i ma sumę równą 0
· a1¹0 i |q|³1 to szereg jest rozbieżny
· |q|<1 to szereg jest zbieżny do S=
(a) szereg zbieżny
(b) szereg zbieżny
(c) szereg zbieżny dla |x|<1
Twierdzenie 2. Szereg harmoniczny rzędu r>1 jest zbieżny.
Twierdzenie 3. Szereg harmoniczny rzędu r£1 jest rozbieżny.
(a) harmoniczny rzędu 1-ego, więc jest rozbieżny
(b) harmoniczny rzędu ½-ga, więc jest rozbieżny
(c) harmoniczny rzędu 10-ego, więc jest zbieżny
(d) harmoniczny rzędu większego niż 1, więc jest zbieżny
Jeżeli mamy dany szereg liczbowy o wyrazach dodatnich i jeżeli , wtedy:
1. jeżeli g<1, to szereg liczbowy jest zbieżny,
2. jeżeli g>1, to szereg liczbowy jest rozbieżny,
W przypadku, kiedy g=1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność szeregu.
Przykład 6. Zbadaj zbieżność szeregu stosując kryterium d’Alemberta.
Mamy , , więc
Na mocy kryterium d’Alemberta szereg jest zbieżny.
Twierdzenie 5 (kryterium Cauchye’go)
Jeżeli mamy dany szereg liczbowy o wyrazach dodatnich i , wtedy:
Jeżeli g=1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności lub rozbieżności.
Mamy i szereg jest rozbieżny.
Granicę licznika należy policzyć korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, natomiast mianownika korzystając z granic dotyczących liczby e.
Twierdzenie 6. (kryterium porównawcze zbieżności szeregów)
Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe , i szereg jest zbieżny oraz od pewnego miejsca dla każdego n naturalnego spełniona jest nierówność 0<, to szereg też jest zbieżny.
Mamy , więc szereg jest zbieżny, bo szereg
Jako szereg harmoniczny rzędu jest zbieżny.
Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe , i szereg jest rozbieżny oraz od pewnego miejsca dla każdego n naturalnego spełniona jest nierówność 0<,, to szereg też jest rozbieżny.
Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny taki, że spełnione są warunki:
1. ciąg jest nierosnący,
2. ,
to szereg jest zbieżny.
Jeżeli dany szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.
Z kryterium Leibniza wynika natomiast, że szereg jest zbieżny ponieważ ciąg jest ciągiem malejącym dążącym do zera.
Więc szereg naprzemienny jest warunkowo zbieżny.
ZADANIA
1.Wykazać, że następujące szeregi są zbieżne oraz wyznaczyć ich sumy:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2.Posługując się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu pokazać, że następujące szeregi są rozbieżne.
beziak