01. Granice funkcji wielu zmiennych.pdf

(145 KB) Pobierz
Metody obliczania granic funkcji dwóch zmiennych
METODY OBLICZANIA GRANIC FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
I. Obliczanie granic przy wykorzystaniu definicji Heinego granicy funkcji.
Definicja ( Heinego )
Niech
( X , d ) – przestrzeń metryczna
Y – przestrzeń topologiczna
Y
f
:
X
 ,
Y
g
– element przestrzeni topologicznej
0 ( 0 P jest punktem skupienia dziedziny funkcji f )
Granicą funkcji f w punkcie 0 P jest element g, g
P '
D
lim 0
P
f
(
P
)
, wtedy i tylko wtedy, gdy
spełniony jest warunek
N
P n
n
n
)
n
D
f
,
P
n
P
0 g
:
(
lim
P
n
P
0
lim
f
(
P
)
)
n
Interpretacja geometryczna
f
:
R
2
R
P
o D
'
f
  N
n P - dowolny ciąg, którego wyrazy dążą do 0 P i 0 P
n
P n
  N
f - ciąg wartości funkcji f obliczonych w punktach ...
 
n P
n
P
1 P
, 2
,
z
g
N
n
f '
 
P
n
N
n
f
n P
z
f
( y
x
,
)
  N
n
n P
y
  N
n
P '
n
0 P
D
x
f
Zamiast rozważać ciągi punktów, rozważmy pewne krzywe (drogi) do których mogą należeć
te punkty.
Uwaga
1) Jeśli dla każdej drogi (krzywej) istnieje granica i jest zawsze ta
sama, to funkcja posiada granicę podwójną.
2) Jeśli dla dwóch różnych dróg otrzymamy różne granice, to funkcja
nie posiada granicy podwójnej.
1
f
P
(
z
y
x
10635262.011.png 10635262.012.png 10635262.013.png 10635262.014.png 10635262.001.png 10635262.002.png 10635262.003.png 10635262.004.png
Przykład
Obliczyć granicę
lim
x
(
x
,
y
)
 )
(
0
0
x
y
Założenie: x
y
Rozważmy dwie drogi.
y
2)
1)
x
← (wyrzucamy prostą y = - x )
1)
y
const
y
0
x
0
i
x
0
, tzn. wybieramy drogę 1)
(
x
,
y
)
(
0
wtedy
x x
x
lim
1
1
x
0
0
2)
x
const
x
0
y
0
i
y
0
, tzn. wybieramy drogę 2)
(
x
,
y
)
(
0
wtedy
0
y
0
lim
lim
0
0
y y
y
0
0
Wniosek: dla dwóch różnych dróg granice są różne
~
lim
x
.
(
x
,
y
 )
(
0
0
x
y
Uwaga
Nie ma odpowiednika reguły de L'Hospitala dla funkcji wielu zmiennych.
2
,
lim
)
,
10635262.005.png 10635262.006.png 10635262.007.png
 
II. Obliczanie granicy podwójnej z wykorzystaniem współrzędnych biegunowych
Do obliczenia granicy
lim 0
0 y
f
(
x
,
)
stosujemy współrzędne biegunowe
(x,y)
(
,
)
x , gdzie
r
cos
r .
0
 
[
0
2
)
y
r
sin
Niech 0
0 P .
(
Zauważmy, że jeśli
( 
x , to
,
y
)
(
0
r i jest dowolne, ale może być
zależne od r ,
0
. P 0 (0,0)
  .
( r
)
D f
Wtedy badamy granicę
r
lim
0
f
x
(
r
,
),
y
(
r
,
)
r
lim
0
f
(
r
cos
,
r
sin
)
i jeśli istnieje, to jest
dow
.
dow
.
ona równa granicy wyjściowej.
Badanie granicy funkcji )
f w punkcie
( y
x
,
P
(
x
0 P
,
y
0
)
0
(
można sprowadzić do badania
granicy innej funkcji, tzn. funkcji
f
(
x
0 s
t
,
y
0
)
, w punkcie P 0 (0,0) dla
( 
t ,
,
s
)
(
0
stosując podstawienie
x
x
0
t
y
y
0
s
Wtedy
(
x
,
y
)
s
(
x
0
,
y
0
)
(
t
,
)
(
0
i
(
x
,
y
lim
(
x
y
)
f
(
x
,
y
)
(
t
,
s
lim
)
(
0
,
0
)
f
(
x
0
t
,
y
0
s
)
0
0
Następnie stosując współrzędne biegunowe
t
r
cos
,
s
r
sin
lub podstawienie równoważne
x
x
0
r
cos
, badanie granicy
lim
f
(
x
,
y
)
y
y
r
sin
(
x
,
y
)
(
x
,
y
)
0
0
0
sprowadzamy do zbadania granicy
lim
f
(
x
0
r
cos
,
y
0
r
sin
)
.
r
0
dow
.
3
)
,
10635262.008.png
Przykłady
0
1. Obliczyć granicę
x
2
y
lim
(
x
,
y
(
0
0
)
x
2
y
2

0
Wykorzystujemy podstawienie
x , wtedy obliczenie powyższej granicy
r
cos
y
r
sin
sprowadza się do obliczenia granicy
0
r
3
cos
2
sin
lim
lim
r
cos
2
sin
0
r
0
r
2
r
0
e


dow
.
dow
.
ograniczon
x
2
y
Zatem
lim
0
.
x
,
y
)
y
(
0
0
)
x
2
2
x
2
y
2. Obliczyć granicę
lim y
.
(
x
,
y
(
0
0
)
x
4
2
Wykorzystując podstawienie
x wystarczy zbadać granicę
r
cos
y
r
sin
0
0
dla
sin
const
0
r
3
cos
2
sin
cos
2
sin
lim
lim
r
0
dla
sin
0
r
0
r
4
cos
4
r
2
sin
2
r
0
r
2
cos
2
sin
2
0
dow
.
dow
.
?
dla
sin
0
0
ogr


0
0
Jeśli
sin 
, to powyższa granica przyjmuje postać
0
lim
r
lim
r
0
0
.
r
2
0
r
0
r
0
dow
.
dow
.
y
sin φ = const (do punktu (0,0) dążymy po prostych)
x
4
)
,
(
,
)
,
0
10635262.009.png
Natomiast jeśli
sin 
0
, to wybieramy drogę po krzywej
y  .
x
2
Wtedy
x
4
1
1
lim
lim
0
x x
x
0
x
4
4
0
2
2
Zatem
~
lim
f
(
x
,
y
)
(nie istnieje granica podwójna).
(
x
,
y
)
(
0
,
0
)
x
3
y
3. Obliczyć granicę
lim y
.
(
x
,
y
)
(
0
,
0
x
4
2
Przechodzimy do wpółrzędnych biegunowych
x
r
cos
y
r
sin
cos
3
sin
0
dla
sin
const
0
lim
r
2
0
dla
sin
0
r
4
cos
4
sin
2
r
0
dow
.
?
dla
sin
0
Wybieramy drogę
y  . Wtedy
x
2
x
5
1
lim
lim
x
0
- granica podwójna może istnieć (nie udowodniliśmy, że nie istnieje).
2
x
4
2
x
0
x
0
Wybieramy inną drogę,
y  . Wtedy
x
4
x
7
x
3
lim
lim
0
- nadal nie rozstrzygnęliśmy istnienia granicy podwójnej.
x
0
x
4
x
8
x
0
1
x
4
Skorzystamy z definicji Cauchy'ego granicy funkcji.
Definicja ( Cauchy'ego )
Niech
   
X - przestrzenie metryczne
Y
, Y
d
,
,
:
f
f
X
P '
0 ( 0 P jest punktem skupienia dziedziny).
D
Wtedy
lim
f f
 
P
g
:
0
0
P
D
:
0
d
 
P
,
P
 
 
,
g
P
P
0
(tzn. P jest z sąsiedztwa
punktu 0 P )
5
)
f
P
0
10635262.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin