grupy.pdf

Rozdzia 1

Grupa i podgrupa

Deﬁnicja 1.1. Niech X bdzie niepustym zbiorem. Kad funkcj okrelon na iloczy-

nie kartezjaskim X X = { ( a, b ): a, b X} o wartociach w zbiorze X , nazywamy

dziaaniem dwuargumentowym okrelonym w tym zbiorze. Jeeli f jest dziaaniem

okrelonym w zbiorze X i x, y X , to bdziemy pisa xfy zamiast f ( x, y ). Taki za-

pis jest bardziej naturalny, poniewa do oznaczenia dziaa uywamy na ogó symbole

tradycyjne, inne ni literowe, np.”+”(plus), ” · ” (kropka), ” ”, ” ”.

Deﬁnicja 1.2. Niech G bdzie niepustym zbiorem i “ ” dwuargumentowym dziaaniem

okrelonym w tym zbiorze. Uporzdkowan par ( G, ) nazywamy grup , jeli spenione

s nastpujce aksjomaty:

1. dziaanie jest czne: x,y,zG ( x y ) z = x ( y z ) ,

2. dziaanie ma element neutralny: eG xG e x = x e = x,

3. kady element x G ma element odwrotny: xG yG x y = y x = e,

Jeeli ponadto:

4. dziaanie jest przemienne: x,yG x y = y x,

to ( G, ) nazywamy grup przemienn lub abelow .

Nazwa grupa abelowa pochodzi od nazwiska norweskiego matematyka Nielsa Henrika

Abela (1800–1828), który jako pierwszy prowadzi systematyczne badania wykorzystu-

jce wasnoci grup przemiennych.

Najczciej uywanymi symbolami dla oznaczenia dziaania w grupach s: sym-

bol “ · ” (kropka) oraz symbol “+”, które tradycyjnie bdziemy nazywa odpowiednio

mnoeniem i dodawaniem. Zalenie od oznaczenia dziaania, grup bdziemy nazywa

multiplikatywn (od aciskiego multiplicare — mnoy ) lub addytywn (od aciskiego

addere — dodawa ). Na ogó bdziemy uywa te dwa symbole. Czasami jednak dla

podkrelenia, e nie chodzi nam o zwyke mnoenie bd dodawanie liczb, dziaanie

w grupie multiplikatywnej bdziemy oznacza symbolem “ ” lub “ ”, natomiast dzia-

anie w grupie addytywnej — symbolem “ ” itp.

Rozdzia I

1 . Ze wzgldu na czno mnoenia, w iloczynie

n jednakowych czynników x · x · · · · · x nawiasy mona rozmieci dowolnie, a zatem

bez obaw o nieporozumienie taki iloczyn oznaczymy symbolem x n . Prawdziwe s take

znane z matematyki elementarnej reguy: x m · x n = x m + n , ( x m ) n = x mn .

W grupie addytywnej przyjmujemy analogiczne oznaczenia: element neutralny ozna-

czymy symbolem 0 lub 0 G , element odwrotny do elementu x oznaczymy symbolem x

i bdziemy nazywa elementem przeciwnym, sum n jednakowych skadników x + x +

· · · + x — symbolem nx.

Jeeli bdziemy pisa niech G bdzie grup, to bdziemy mieli na myli grup multy-

plikatywn z dziaaniem oznaczonym kropk, któr — tak jak przy mnoeniu wyrae

algebraicznych — czsto bdziemy pomija.

Stwierdzenie 1.1. Niech G bdzie grup.

a) W grupie G istnieje dokadnie jeden element neutralny.

b) Dla dowolnego elementu grupy G istnieje dokadnie jeden element do niego odwrotny.

c) Dla dowolnych a, x, y G, jeli ax = ay lub xa = ya, to x = y.

d) Jeli a G, to elementem odwrotnym do elementu a

1 jest element a, tzn.

1 =

e) Jeli a, b G, to elementem odwrotnym do elementu ab jest b

1 a

1 , tzn. ( ab ) 1 =

1 a

1 .

Dowód. a) Istnienie elementu neutralnego w grupie wynika z drugiego aksjomatu (De-

ﬁnicja 1.2). Niech e i f bd elementami neutralnymi w grupie G . Wtedy e = ef = f ,

przy czym pierwsza równo wynika z tego, e elementem neutralnym jest f, a druga

z tego, e takim elementem jest e.

b) Niech x i y bd elementami odwrotnymi do elementu a grupy G i e niech bdzie

elementem neutralnym. Wtedy x = xe = x ( ay ) = ( xa ) y = ey = y.

c) Dla dowodu tej implikacji wystarczy pomnoy równo ax = ay ( xa = ya ) lewo-

stronnie (prawostronnie) przez element a

1 . Otrzymamy wówczas a

1 ( ax )= a

1 ( ay )

i z cznoci dziaania

1 a

x =

1 a

y, czyli x = y.

d) Element odwrotny do elementu a

to taki element grupy, który w iloczynie

z elementem a

1 daje element neutralny. Takim elementem jest element a.

e) Dowód wynika bezporednio z równoci

( ab )

1 a

= a

1 = aea

1 = e.

W grupie multiplikatywnej element neutralny bdziemy oznacza symbolem e lub

symbolem 1 , lub te — dla zaznaczenia o jak grup nam chodzi — symbolem e G ,e H ,

1 G , 1 H itp. Element odwrotny do elementu x ( tzn. element y speniajcy warunek

x · y =1) oznaczymy symbolem x

Grupa i podgrupa

Stwierdzenie 1.2. Jeeli zbiór G wraz z dziaaniem “” jest grup, to dla dowolnych

a, b G istniej jednoznacznie okrelone elementy x, y G takie, e

a x = b

y a = b.

(1.1)

Odwrotnie, jeli w niepustym zbiorze G jest okrelone takie dziaanie czne “”, e

dla dowolnych a, b G istniej jednoznacznie okrelone rozwizania równa (1.1), to

( G, ) jest grup.

1 b ) taki, e a x = b.

Jest to jedyny element speniajcy ten warunek; jeli bowiem a x = b, to mnoc

lewostronnie t równo przez a

1 b

= b tzn. istnieje x G (równy a

1 otrzymujemy a

1 ( a x )= a

1 b, tzn. x =

1 b. Analogicznie pokazujemy, e y = ba

1 jest jedynym elementem speniajcym

warunek y a = b.

Zaómy teraz, e dla dowolnych a, b G istniej jednoznacznie okrelone elementy

x, y G takie, e ax = b i y a = b. W szczególnoci, dla ustalonego a, a = b, mamy

jednoznacznie okrelone elementy e 1 i e 2 takie, e a e 1 = a i e 2 a = a. Pokaemy,

e e 1 = e 2 . Rzeczywicie, z równoci a e 2 =( a e 1 ) e 2 = a ( e 1 e 2 ) wynika

e 2 = e 1 e 2 i podobnie, z równoci e 1 a = e 1 ( e 2 a ) = ( e 1 e 2 ) a otrzymujemy

e 1 = e 1 e 2 . Zatem e 1 = e 2 = e. Poniewa element e zosta wyznaczony przez pewien

ustalony element a, trzeba jeszcze pokaza, e dla dowolnego g G ten element spenia

warunek eg = ge = g. W tym celu zauwamy, e jednoznaczno rozwiza równa

(1.1) jest równowana temu, e funkcje a i a okrelone na zbiorze G wzorami:

a ( x )= a x, a ( x )= x a

s wzajemnie jednoznaczne. Jeli wic x przebiega wszystkie elementy zbioru G, to

elementy g = a x i h = x a take przebiegaj wszystkie elementy tego zbioru

i jednoczenie e g = e ( a x ) = ( e a ) x = a x = g i h e =( x a ) e =

x ( a e )= x a = h. Dowiedlimy tym samym istnienia elementu neutralnego

dziaania.

Istnienie elementu odwrotnego dla dowolnego elementu a G wynika teraz z ist-

nienia rozwiza równa a x = e i x a = e. Na koniec trzeba jeszcze zauway, e

jeli a x 1 = e i x 2 a = e, to x 1 = x 2 . Dowód tej równoci mona przeprowadzi

dokadnie tak samo, jak dowód stwierdzenia 1.1 b).

Deﬁnicja 1.3. Niech G bdzie grup. Niepusty podzbiór H zbioru G nazywamy

podgrup grupy G, jeli:

1. dziaanie jest zamknite w zbiorze H, tzn.

x,yG x, y H xy H ;

Dowód. Zaómy najpierw, e ( G, ) jest grup i a, b G s dowolnymi elementami.

Wówczas a

Rozdzia I

2. operacja brania elementu odwrotnego jest zamknita w zbiorze H, tzn.

xG x H x

1 H.

Oba powysze warunki mona zastpi jednym:

x,yG x, y H xy

1 H.

Nietrudno pokaza, e H jest podgrup grupy G, jeli H wraz z dziaaniem z grupy

G ograniczonym do H jest grup. Zupenie analogicznie, jak w dowodzie stwierdzenia

1.1 a) mona pokaza, e element neutralny grupy jest jednoczenie elementem neu-

tralnym dowolnej podgrupy i wobec tego, w danej grupie nie ma podgrup rozcznych.

Jasne jest take, e podzbiór jednoelementowy {e} oraz cay zbiór G s podgrupami

grupy G. Podgrup skadajc si tylko z jednego elementu nazywamy podgrup try-

wialn . Podgrup rón od {e} i od G bdziemy nazywa podgrup waciw . Zapis

H G oznacza bdzie, e H jest podgrup grupy G.

Stwierdzenie 1.3. Jeeli H jest skoczonym podzbiorem grupy G, w którym dzia-

anie jest zamknite, to H jest podgrup grupy G. Innymi sowy, jeeli H jest zbiorem

skoczonym i jest speniony warunek 1 deﬁnicji 1.3, to H G.

Dowód. Dla dowodu wystarczy pokaza, e przy zaoeniach stwierdzenia jest speniony

równie warunek 2 deﬁnicji podgrupy. Niech wic x bdzie dowolnym elementem zbioru

H. Wtedy, na mocy zaoenia, wszystkie wyrazy nieskoczonego cigu ( x, x 2 ,x 3 , . . . )

nale do zbioru H. Poniewa H jest zbiorem skoczonym, wic istniej liczby naturalne

n, m, ( n > m ) , takie e x n = x m . Std x nm = e = xx nm 1 , czyli x

1 = x nm 1

Deﬁnicja 1.4. Niech G bdzie grup. Rzdem grupy G nazywamy liczb jej ele-

mentów, jeli jest ona grup skoczon, lub w przeciwnym przypadku. Rzd grupy

G bdziemy oznacza symbolem |G|.

Przykad 1.1. Addytywne grupy liczbowe. Tak bdziemy nazywa grupy, których

elementami s pewne liczby zespolone, a dziaaniem — zwyke dodawanie liczb. Naj-

bardziej typowymi przykadami takich grup s: addytywne grupy liczb cakowitych

(Z , +) , wymiernych (Q , +) , rzeczywistych (R , +) i zespolonych (C , +) . Oczywiste s

zalenoci Z Q R C .

Przykad 1.2. Multiplikatywne grupy liczbowe. Elementami takich grup s,

podobnie jak w poprzednim przykadzie, pewne liczby zespolone, natomiast dziaaniem

— zwyke mnoenie liczb. Wród nich najbardziej typowymi przykadami s:

( { 1 , 1 } , · ) , (Q

, · ) , (R

, · ) , (C

, · ) , ( C n , · ) , ( C , · ) ,

Grupa i podgrupa

gdzie Q = Q { 0 }, R = R { 0 } i C = C { 0 } , natomiast C n jest zbiorem wszystkich

zespolonych pierwiastków stopnia n z 1 , tzn.

C n =

cos 2 k

+ i sin 2 k

k =0 , 1 , . . . , n 1

n =1 C n . Z punktu widzenia klasyﬁkacji grup abelowych wanym

przykadem s grupy

C p de =

C p n ,

n =1

gdzie p jest ustalon liczb pierwsz. Jest jasne, e dla dowolnego n zachodzi równo

|C n | = n. Dwa ostatnie przykady mogyby sugerowa, e mnogociowa suma podgrup

danej grupy jest take jej podgrup. To jednak, w ogólnym przypadku, nie jest prawd

— patrz Zadanie 3.1.

Przykad 1.3. Addytywna grupa klas reszt modulo m. Jest to grupa, której

elementami s klasy reszt modulo m znane z elementarnej teorii liczb, z naturalnym

dziaaniem indukowanym przez dodawanie w zbiorze liczb cakowitych. Dla uprosz-

czenia grup t mona traktowa jako zbiór Z m = { 0 , 1 , . . . , m 1 } z dziaaniem

zdeﬁniowanym w nastpujcy sposób: dla x, y Z m ,xy z deﬁnicji jest reszt z dzie-

lenia sumy liczb x i y przez m. Z samego okrelenia wynika, e | Z m | = m.

Istnieje pewna niedogodno takiego zapisu elementów grupy Z m . Moe on suge-

rowa, e dla m < n, grupa Z m jest podgrup grupy Z n , co oczywicie nie jest prawd,

jako e dziaania w obu grupach istotnie si róni. Dla uniknicia nieporozumie

czasami elementy grupy Z m oznacza bdziemy symbolami 0 mod m , 1 mod m , 2 mod m , itd.

Podobny zabieg bdziemy czasem stosowa dla elementów grupy podanej w nastpnym

przykadzie.

Przykad 1.4. Multiplikatywna grupa klas reszt modulo m. Jest to grupa, któr

— podobnie jak w poprzednim przykadzie — mona dla uproszczenia traktowa jako

zbiór liczb naturalnych mniejszych od m i wzgldnie pierwszych z m

m = {k N :1 k m, NWD ( k, m ) = 1 }

z dziaaniem zdeﬁniowanym w sposób nastpujcy: dla x, y Z m ,xy z deﬁnicji jest

reszt z dzielenia iloczynu liczb x i y przez m. Funkcja, która kadej liczbie naturalnej

m przypisuje liczb | Z

p n | = p n p n 1 . Rzeczywicie, w zbiorze Z p n { 0 } =

{ 1 , 2 , . . . , p n 1 } tylko liczby postaci kp, gdzie k { 1 , 2 , . . . , p n 1 1 } nie s wzgldnie

pierwsze z p . Poniewa k przyjmuje p n 1 1 rónych wartoci, wic

| Z p n | =( p n 1)

p n 1 1

= p n p n 1 .

i wreszcie C =

| nazywa si funkcj Eulera i zwykle jest oznaczana symbolem

. Jeli p jest liczb pierwsz, to | Z

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: