calka_krzywoliniowa.pdf

(86 KB) Pobierz
(Microsoft Word - ca\263ka krzywoliniowa.doc)
CAþKA KRZYWOLINIOWA
Zad.1
Ð
(
x
2
+
y
2
) dl
A
( 1
; ( )
B
4
4
L
Ê
1
=
a
4
+
b
¼
Ê
a
=
1
¼
y =
x
4
=
a
+
b
b
=
0
y
' =
1
4
(
)
4
126
2
Ð
x
2
+
x
2
1
+
1
dx
=
2
2
Ð
x
2
dx
=
3
1
1
Zad.2
Ð
(
2
x
-
y
)
dl
A
( )
2
2
; (
B
-
2
4
)
L
Ê
2
=
2
a
2
+
b
¼
Ë
a
=
-
1
2
¼
y
=
-
1
x
+
3
4
=
-
a
+
b
2
Ì
b
=
3
y
' -
=
1
2
2
Ä
1
Ô
Ä
1
Ô
2
5
2
Ä
5
Ô
5
Ä
5
Ô
2
Ð
Æ
2
x
+
x
-
3
Ö
1
+
Æ
Ö
dx
=
Ð
Æ
x
-
3
Ö
dx
=
Æ
x
2
-
3
x
Ö
=
-
6
5
2
2
2
2
2
4
-
2
-
2
-
2
Zad.3
Ð L
( )
y
dl
y
2
=
4
x
O
( )
0
; ( )
P
1
2
Ä -
1
Ô
2
1
( )
y
'
2
=
Å
Æ
Õ
Ö
=
x
x
1
1
+
x
1
1
+
x
=
t
2
4
3
2
4
( 1
Ð
2
x
dx
=
Ð
2
1
+
x
dx
=
=
2
Ð
t
dx
=
t
2
=
8
-
x
dx
=
dt
3
3
1
0
0
1
Zad.4
Ð L
( )
y
dl
y =
x
3
A
( 1
; ( )
B
2
( ) ( ) 4
y
'
2
=
3
x
2
2
=
9
x
1
+
9
x
4
=
t
2
(
)
2
1
145
1
1
145
10
Ð
x
3
1
+
9
x
4
dx
=
1
=
Ð
t
2
dt
=
t
3
=
145
3
-
10
3
x
3
dx
=
tdt
18
54
54
1
18
10
Grzegorz Mrzygłocki, WILi , sem. III, gr.2
1
Ê
35153546.026.png 35153546.027.png 35153546.028.png 35153546.029.png
Zad.5
Ð Ö
Å
Æ
x
4
Ô
dl
y
=
1
1
£ x
£
2
y
x
L
Ä -
1
Ô
2
1
( )
y
'
2
=
Æ
Ö
=
x
2
x
4
x
4
+
1
=
t
2
2
x
4
+
1
2
1
17
1
17
1
(
)
Ð
x
5
dx
=
Ð
x
3
x
4
+
1
dx
=
=
Ð
t
2
dt
=
t
3
=
17
17
-
2
2
1
x
4
x
3
dx
=
tdt
2
6
2
6
1
1
2
2
Zad.6
Ð
2
y
cos
( ) dl
x
y sin
=
( )
x
0
£ x
£
p
2
L
( )
y
' =
2
cos
2
( )
x
p
( )
( ) ( )
2
2
1
(
1
2
1
+
cos
x
=
t
2
2
1
( ) ( )
( )
2
Ð
sin
x
cos
x
1
+
cos
2
x
dx
=
=
-
2
Ð
t
2
dt
=
-
t
3
=
2
2
-
cos
x
sin
x
dx
=
-
tdt
3
2
3
0
2
Zad.7
Ð
1
+
9
x
dl
y =
x
x
0
£ x
£
4
4
L
Ä
3
Ô
2
9
( )
y
'
2
=
Æ
x
Ö
=
x
2
4
4
Ä
9
Ô
Ä
9
Ô
4
Ä +
9
Ô
Ä
9
Ô
4
Ð
Å
Æ
1
+
x
Õ
Ö
Å
Æ
1
+
x
Õ
Ö
dx
=
Ð
Æ
1
x
Ö
dx
=
Æ
x
+
x
2
Ö
=
4
+
18
=
22
4
4
4
8
0
0
0
Zad.8
Ð
(
x
+
y
)
dl
O
( )
0
; ( )
A
1
; ( 0
B
L
Ê
l
1
:
y
=
-
x
+
1
0
£
x
£
1
Í
Ë
l
:
x
=
0
y
=
t
0
£
t
£
1
2
Í
Í
l
:
y
=
0
x
=
t
0
£
t
£
1
Ì
3
(
)
1
(
)
1
Ð
x
-
y
dl
=
Ð
x
-
x
+
1
1
+
1
dx
=
2
Ð
dx
=
2
l
0
0
1
(
)
1
1
Ð
x
-
y
dl
=
Ð
t
0
+
1
dt
=
2
l
0
2
1
1
Ð
(
x
-
y
)
dl
=
Ð
t
1
+
0
dt
=
2
l
0
3
Ð L
(
x
+
y
)
dl
=
2
+
1
+
1
=
1
+
2
2
2
Grzegorz Mrzygłocki, WILi , sem. III, gr.2
2
Ä
Í
35153546.001.png 35153546.002.png 35153546.003.png 35153546.004.png 35153546.005.png 35153546.006.png
Zad.9
Ð
6
xy
2
dl
x
=
1
cos
( )
t
y
=
1
sin
( )
t
0
£ t
£
p
3
3
4
L
Ç -
1
×
2
1
( )
x
'
2
=
É
sin
( )
t
Ù
=
sin
2
( )
t
3
9
Ç
1
×
2
1
( )
y
'
2
=
cos
( )
t
=
cos
2
( )
t
É
Ù
3
9
p
p
( )
( )
2
5
4
1
1
1
2
4
sin
t
=
u
2
2
2
2
2
( )
( )
( ) ( )
2
2
6
Ð
cos
t
sin
2
t
dt
=
Ð
cos
t
sin
2
t
dt
=
=
Ð
u
2
du
=
u
3
2
=
=
3
9
9
27
cos
t
dt
=
du
27
81
648
162
0
0
0
0
Zad.11
Ð +
L
xz
2
dl
x = ;
t
y = ;
t
2
z =
2 t
3
0
£ t
£
1
1
y
3
( ) 1
x
'
2
=
( )
y =
'
2
4
t
2
( )
z =
'
2
4
t
4
2
1
t
4
2
1
t
4
(
)
2
1
2
2
Ð
1
+
4
t
2
+
4
t
4
dt
=
Ð
1
+
2
t
2
dt
=
Ð
t
4
dt
=
3
1
+
2
t
2
3
1
+
2
t
2
3
15
0
0
0
Zad.12
Ð L
( )
xy
dl
x = ;
e
t
y
= ;
e
-
t
z
=
2
t
0
£ t
£
1
2
' =
( )
x
e
2
t
y
'
2
=
e
-
2
t
( ) 2
z
'
2
=
1
1
1
( )
e
2
t
2
+
2
e
2
t
+
1
1
( )
( )
e
2
t
+
1
2
Ð
e
t
×
e
-
t
×
2
+
e
2
t
+
e
-
2
t
dt
=
Ð
e
2
t
+
2
+
e
-
2
t
dt
=
Ð
dt
=
Ð
dt
=
e
2
t
t
2
e
0
0
0
0
1
e
2
t
+
1
1
(
) (
) (
1
)
= Ð Ð
dt
=
e
t
+
e
-
t
dt
=
e
t
-
e
-
t
=
e
-
1
-
e
-
1
+
1
=
e
-
e
-
1
e
t
0
0
0
Zad.13
Ð
x
(
y
+
z
)
dl
x cos
=
( )
t
y sin
=
( )
t
z
=
3
t
0
£ t
£
2
4
L
( )
x
' =
2
sin
2
( )
t
( )
y
' =
2
cos
2
( )
t
( )
z
'
2
=
9
16
Grzegorz Mrzygłocki, WILi , sem. III, gr.2
3
( )
35153546.007.png 35153546.008.png 35153546.009.png 35153546.010.png 35153546.011.png 35153546.012.png 35153546.013.png
 
2
p
Ç
Ä
3
Ô
×
Ä
9
Ô
5
2
p
Ä
3
Ô
sin
( )
( )
t
=
u
Ð
cos
( ) ( )
t
Æ
sin
t
+
t
Ö
Å
Æ
1
+
Õ
Ö
dt
=
Ð
Æ
cos
( ) ( )
t
sin
t
+
t
cos
( )
t
Ö
dt
=
=
É
Ù
4
16
4
4
cos
t
dt
=
du
0
0
5
0
( )
15
2
p
( )
p
=
t
q
'
=
cos
( )
t
15
Ç
(
( )
)
2
p
( )
×
15
( ) 0
2
0
p
2
0
p
Ð
Ð
Ð
u
du
+
t
cos
t
dt
=
=
t
×
sin
t
-
sin
t
dt
=
cos
t
=
É
Ù
4
16
( )
16
16
p
'
=
1
q
=
sin
t
0
0
0
Zad.14
Ð L
( )
z
dl
x cos
=
t
( )
t
y sin
=
t
( )
t
z =
t
0
£ t
£
1
( )
x
'
2
=
(
cos
( )
t
-
t
sin
( )
t
)
2
=
cos
2
( )
t
-
2
t
cos
( ) ( )
t
sin
t
+
t
2
sin
2
( )
t
( )
y
'
2
=
(
sin
( )
t
+
t
cos
( )
t
)
2
=
sin
2
( )
t
+
2
t
cos
( ) ( )
t
sin
t
+
t
2
cos
2
( )
t
( ) 1
z
'
2
=
1
1
t
2
+
2
=
u
2
3
1
3
2
1
(
)
Ð
t
1
+
t
2
+
1
dt
=
Ð
t
t
2
+
2
dt
=
=
Ð
u
2
du
=
u
3
=
3
3
-
2
2
tdt
=
udu
3
3
0
0
2
Zad.15
L
=
Ð
dl
y ln
=
( )
x
2
£ x
£
5
L
2 1
( )
y =
'
x
2
( )
1
( )
u
=
x
2
+
1
v
'
=
ln
x
5
5
1
5
2
Ä +
x
2
1
Ô
5
dx
( )
Å
Æ
Õ
Ö
L
=
Ð
1
+
dx
=
Ð
ln
x
x
2
+
1
dx
=
=
-
Ð
=
x
1
x
2
x
u
'
=
v
=
x
2
+
1
2
2
2
2
x
x
2
+
1
=
26
-
5
-
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
5
=
26
-
5
-
ln
(
5
+
26
) ( )
+
ln
2
+
5
=
26
-
5
+
ln
Å
Æ
2
+
5
Õ
Ö
5
2
5
2
5
2
5
+
26
2
Zad.16
L
=
Ð
dl
x
=
7
cos
( )
t
y
=
7
sin
( )
t
0
£ t
£
3
p
4
L
( )
x
' =
2
49
sin
2
( )
t
( )
y
' =
2
49
cos
2
( )
t
3
p
4
3
p
4
21
p
L
=
Ð
49
dt
=
7
Ð
dt
=
4
0
0
Zad.17
r
( )
g
=
1 +
cos
g
0
£
g£
p
L
:
Ê
x
=
(
1
+
cos
g
)
cos
g
(
)
y
=
1
+
cos
g
sin
g
Grzegorz Mrzygłocki, WILi , sem. III, gr.2
4
Ä
Ô
35153546.014.png 35153546.015.png 35153546.016.png 35153546.017.png 35153546.018.png 35153546.019.png
x
'
=
-
sin
g
cos
g
-
(
1
+
cos
g
)
sin
g
y
'
=
-
sin
2
g
+
(
1
+
cos
g
) g
cos
( )
x
'
2
=
sin
2
g
cos
2
g
+
2
sin
2
g
cos
g
(
1
+
cos
g
) (
+
1
+
cos
g
)
2
sin
2
g
( )
y
'
2
=
sin
4
g
-
2
(
1
+
cos
g
)
sin
2
g
cos
g
+
(
1
+
cos
g
)
2
cos
2
g
r
'
( )
g
=
-
sin
g
[ ]
( ) ( )
x
'
2
+
y
'
2
=
[ ]
r
'
( )
g
2
+
r
2
( )
g
( ) ( )
x
'
2
+ y
'
2
=
sin
2
g
+
(
1
+
cos
2
g
)
2
=
sin
2
g
+
1
+
2
cos
g
+
cos
2
g
=
2
(
1
+
cos
g
p
p
Ä
g
Ô
p
Ä
g
Ô
g
p
( )
(
)
L
=
Ð Ð
f
x
,
y
dl
=
2
1
+
cos
g
d
g
=
2
Ð
2
cos
2
Æ
Ö
d
g
=
2
Ð
cos
Æ
Ö
d
g
=
4
sin
=
4
2
2
2
L
0
0
0
0
Zad.18
( )
g
=
3
sin
3
Æ
1
g
Ö
3
Í
Ë
x
=
3
sin
3
Æ
1
g
Ö
cos
( )
g
3
L
:
1
Ä
Ô
Í
Ì
y
=
3
sin
3
Æ
g
Ö
sin
( )
g
Í
3
x
'
=
3
sin
2
Æ
1
g
Ö
cos
Æ
1
g
Ö
cos
( )
g
-
3
sin
3
Æ
1
g
Ö
sin
( g
3
3
3
y
'
=
3
sin
2
Æ
1
g
Ö
cos
Æ
1
g
Ö
sin
( )
g
+
3
sin
3
Æ
1
g
Ö
cos
( g
3
3
3
x
'
2
+
y
'
2
=
r
'
2
( ) ( g
g
+
r
2
r
'
( )
g
=
3
sin
2
Æ
1
g
Ö
cos
Æ
1
g
Ö
3
3
Ç
Ä
1
Ô
Ä
1
Ô
×
2
Ç
Ä
1
Ô
×
2
Ä
1
Ô
Ç
Ä
1
Ô
Ä
1
Ô
×
x
'
2
+
y
'
2
=
3
sin
2
Æ
g
Ö
cos
Æ
g
Ö
+
3
sin
3
Æ
g
Ö
=
9
sin
4
Æ
g
Ö
cos
2
Æ
g
Ö
+
sin
2
Æ
g
Ö
=
É
Ù
É
Ù
É
Ù
3
3
3
3
3
3
=
9
sin
4
Æ
1
g
Ö
=
3
sin
2
Æ
1
g
Ö
3
3
( )
3
p
Ä
1
Ô
1
g
=
a
p
( )
*
=
9
L
=
Ð
f
x
,
y
dl
=
3
Ð
sin
2
Æ
g
Ö
d
g
3
=
9
Ð
sin
2
a
d
a
p
3
2
d
g
=
3
a
L
0
0
p
( )
p
( ) ( )
u
=
sin
( )
a
v
'
=
sin
( )
a
[
( ) ( )
]
p
( )
Ð
Ð
p
Ð
*
)
sin
2
a
d
a
=
sin
a
sin
a
d
a
=
=
-
sin
a
cos
a
+
cos
2
a
d
a
=
0
( )
( )
u
'
=
cos
a
v
=
-
cos
a
0
0
0
p
(
( )
)
p
( )
p
( )
p
=
0
+
Ð
1
-
sin
2
a
d
a
=
p
-
Ð
sin
2
a
d
a
¼
Ð
sin
2
a
d
a
=
2
0
0
0
Grzegorz Mrzygłocki, WILi , sem. III, gr.2
5
r
Ä
Ô
Ä
Ô
Ê
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
35153546.020.png 35153546.021.png 35153546.022.png 35153546.023.png 35153546.024.png 35153546.025.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin