szereg taylora- odpowiedzi.pdf

(85 KB) Pobierz
35155934 UNPDF
SzeregTaylora:odpowiedzi,rozwi¡zania,wskazówki
Zadanie1
Wka»dymprzykładzienale»ytakprzekształci¢funkcj¦,abydałosi¦skorzysta¢zjednegozpodanychna
wykładzierozwini¦¢pewnychfunkcjielementarnychwszeregMaclaurina.
1.1 D = R , x 0 =0, f ( x )= x 3 e − x = x 3 1 P
n =0
( − x ) n
n ! =
P
( − 1) n
n =0
1 P
(3( x − 1)) n
n ! =
e 3 3 n
n ! ( x − 1) n
n =0
1 P
x 2 2 n +1 =
1 P
1.3 D = R , x 0 =0, f ( x )= x sin x 2 = x
( − 1) n
(2 n +1)!
(2 n +1)!2 n +1 x 2 n +2
( − 1) n
n =0
n =0
P
2 x − 2 2 n +1 =
1
1.4 D = R , x 0 = 2 , f ( x )=sin2 x = − sin(2 x − )= − sin2( x − 2 )= −
( − 1) n
(2 n +1)!
n =0
x − 2 2 n +1
1.5 D = R , x 0 =0, f ( x )= x 3 cos3 x 3 = x 3 1 P
n =0
( − 1) n +1 2 2 n +1
(2 n +1)!
n =0
3 x 3 2 n =
P
1
( − 1) n
(2 n )!
(2 n )! 3 2 n x 6 n +3
n =0
1 P
1 P
1.6 D = R , x 0 =0, f ( x )=cosh( x )= 1 2 ( e x + e − x )= 1 2
x n +( − x ) n
n ! =
(1+( − 1) n )
2 n ! x n
n =0
n =0
1 P
1 P
1.7 D = R , x 0 =0, f ( x )=cos 2 x = 1 2 + 1 2 cos2 x = 1 2 + 1 2
( − 1) n
(2 n )! (2 x ) 2 n = 1 2 +
( − 1) n 2 2 n − 1
(2 n )! x 2 n
n =0
n =0
1.8 D =( − 1 , 1), x 0 =0,korzystamyzrozwini¦cia(1+ x ) p =1+ px + p ( p − 1)
2! x 2 + p ( p − 1)( p − 2)
3! x 3 + ... .Wtedy
3 p 1+ x =(1+ x ) 1 3 =1+ 1 3 x +
2! x 2 +
1
3 ( 1 3 − 1)( 1 3 − 2)
3! x 3 + ... =1+ 1 3 x − 2
3 2 · 2! x 2 + 2 · 5
3 3 · 3 ! x 3 − 2 · 5 · 8
3 4 · 4! x 4 + ...
1.9 D =( − 1 , 1), x 0 =0, 4 p
1
4 ( 1 4 − 1)
1
4 ( 1 3 − 1)( 1 4 − 2)
1 − x 4 =(1 − x 4 ) 1 4 =1+ 1 4 ( − x 4 )+
2! ( − x 4 ) 2 +
3! ( − x 4 ) 3 + ... =
4 3 · 3! x 12 − ...
1.10 D =( − 4 , 4), x 0 =0, f ( x )= x
4 2 · 2! x 8 − 3 · 7
1 P
( − 1) n x 4 n =1 − 1 −
1 P
x +4 =1 − 1
1+ x 4 =1 −
( − 1) n
4 n x n =
n =0
n =1
P
1
( − 1) n +1
4 n x n
n =1
1 P
1.11 D =( − 2 , 0), x 0 = − 1, f ( x )= 1 x = − 1
1 − ( x +1) = −
( x +1) n
n =0
1.12 D =( − 2 , 6), x 0 =2, f ( x )= 1
x 2 +5 x +6 = 1
x +2 − 1
x +3 = 1
( x − 2)+4 − 1
( x − 2)+5 = 1 4 · 1
− 1 5 · 1
=
1+ x − 2
4
1+ x − 2
5
1 P
( − 1) n x − 2
n − 1 5
1 P
( − 1) n x − 2
n =
1 P
( − 1) n 1
5 n +1 ( x − 2) n
1
4
4 n +1 − 1
4
5
n =0
n =0
n =0
P
1
1.13 D =( − 3 , − 1), x 0 = − 2, f ( x )= 3 x − 5
x 2 − 2 x − 3 = 2
x +1 + 1
x − 3 = − 2
1 − ( x +2) − 1 5 · 1
= − 2
( x +2) n −
1 − x +2
5
n =0
1 P
x +2
5
n =
1 P
− 2 − 1
5 n +1 ( x +2) n
1
5
n =0
n =0
P
( − 1) n x +2
2
2 n =
1.14 D =( − 4 , 0), x 0 = − 2, f ( x )= 1
x 2 +4 x +8 = 1
( x +2) 2 +4 = 1 4 · 1
2 ) 2 = 1 4
1+ ( x +2
n =0
1 P
4 n +1 ( x +2) 2 n
n =0
1 P
n +1 x 2 n +2
1.16 D =( − 1 , 1), x 0 =0, f ( x )=ln( x 2 − 3 x +2)=ln( x − 1)+ln( x − 2).Wtedy f 0 ( x )= 1
( − 1) n
n =0
x − 1 + 1
x − 2 .
P
P
x 2 n ,natomiast f ( x ) −
1
1
Post¦puj¡c,jakwzadaniachpoprzednich,otrzymujemy f 0 ( x )= −
x n − 1 2
n =0
n =0
x R
P
1
P
P
f 0 ( t ) dt ,czyli f ( x )=ln2 −
n +1 x n +1 − 1
1
n +1 x n +1 =ln2+
1
( n +1)2 n +1 x n +1
f (0)=
2 n +1
0
n =0
n =0
n =0
P
1
1.17 D =(0 , 2], x 0 =1, f ( x )=ln x =ln(1+( x − 1))
( − 1) n
n +1 ( x − 1) n +1
n =0
x R
x R
P
P
1.18 D =( − 1 , 1), x 0 =0, f ( x )= x arctg x = x
1+ t 2 dt = x
1
( − 1) n t 2 n dt = x
2 n +1 x 2 n +1 =
0
0
n =0
n =0
P
1
2 n +1 x 2 n +2
1.19 D =( − 1 , 1), x 0 =0, f ( x )=arcsin x .Wtedy f 0 ( x )= 1
( − 1) n
n =0
2 p 1 − x 2 =(1 − x 2 ) − 1 2 =1+ − 1 2 ( − x 2 )+
− 1 2 ( − 1 2 − 1)
2! ( − x 2 ) 2 + − 1 2 ( − 1 2 − 1)( − 1 2 − 2)
3! ( − x 2 ) 3 + ... =1+ 1 2 x 2 + 3
2 2 · 2! x 4 + 3 · 5
2 3 · 3! x 6 + ... .Zatem f ( x ) − f (0)=
x R
f 0 ( t ) dt ,czyli f ( x )=0+ x + 1 · 3
2 · 3 2 x 3 + 3 · 5
2 2 · 2! · 5 2 x 5 + 3 · 5 · 7
2 3 · 3! · 7 2 x 7 + ...
0
1
1
n ! x n +3
1.2 D = R , x 0 =1, f ( x )= e 3 x = e 3( x − 1)+3 = e 3 e 3( x − 1) = e 3 1 P
n =0
1 P
( − 1) n
1
3 ( 1 3 − 1)
1 − 1 4 x 4 − 3
1
( − 1) n
1.15 D =( − 1 , 1], x 0 =0, f ( x )=ln(1+ x 2 )=
1
1
− 1 − 2 n +1
1
1
( − 1) n
35155934.020.png 35155934.021.png 35155934.022.png 35155934.023.png 35155934.001.png 35155934.002.png 35155934.003.png 35155934.004.png 35155934.005.png 35155934.006.png
Zadanie2
Zrozwini¦ciafunkcji f wszeregTaylora f ( x )=
1 P
f ( k ) ( x 0 )
k ! ( x − x 0 ) k ,zatemwyra»enieprzy k -tejpot¦dze
k =0
( x − x 0 )jestrówne f ( k ) ( x 0 )
k ! .
P
1
P
n ! x 4 n +1 .Wtedy4 n +1=41dla n =10.Wszeregutymprzy
x 41 = x 4 · 10+1 mamywi¦c 1 10! ,zatem f (41) (0)
( x 4 ) n
n ! =
1
n =0
n =0
1 P
41! = 1 10! ,st¡d f (41) (0)= 41!
1 P
10! ,natomiast f (42) (0)=0.
( − 1) n
( − 1) n
4.2 f ( x )=sin x 3 =
(2 n +1)! ( x 3 ) 2 n +1 =
(2 n +1)! x 6 n +3 .Wtedy6 n +3=63dla n =10.Wsze-
n =0
n =0
regutymprzy x 63 = x 6 · 10+3 mamywi¦c ( − 1) 10
21! ,zatem f (63) (0)
63! = ( − 1) 10
21! ,st¡d f (63) (0)= 63!
21! ,natomiast
f (64) (0)=0.
2.3 f ( x )= x
x − 4 =1+ 4
x − 4 =1+ 1
4 − 1 =1 − 1
P
x 4 n =1 − 1 −
P
4 n x n = −
P
4 n x n .
1 − x 4 =1 −
x
n =0
n =1
n =1
Wtedy n =37.Wszeregutymprzy x 37 mamywi¦c − 1 4 37 ,zatem f (37) (0)
37! = − 1
4 37 ,st¡d f (37) (0)= − 37!
4 37
2.4 f ( x )= 2
1+ x = 2
2+( x − 1) = 1
=
1 P
( − 1) n x − 1
2
n =
1 P
( − 1) n
2 n ( x − 1) n .Wtedy n =42.W
1+ x − 1
2
n =0
n =1
szeregutymprzy x 42 mamy ( − 1) 42
1 P
2 42 ,zatem f (42) (1)
42! = 1 2 42 ,st¡d f (42) (1)= 42!
2 42
2.5 f ( x )=ln(1+ x 2 )=
( − 1) n
n +1 x 2 n +2 .Wtedy2 n +2=50dla n =24.Wszeregutymprzy x 50 = x 2 · 24+2
n =0
25
2.6 Korzystamyzrozwini¦ciafunkcjiarctg x uzyskanegowzadaniu1.18,tj.arctg x =
25 ,zatem f (50) (0)
50! = ( − 1) 24
25 ,st¡d f (50) (0)= 50!
1 P
2 n +1 x 2 n +1 .
n =0
1 P
Wtedy f ( x )=arctg x 2 =
2 n +1 x 4 n +2 oraz4 n +2=46dla n =11.Wszeregutymprzy x 46 = x 4 · 11+2
n =0
mamywi¦c ( − 1) 11
23 ,zatem f (46) (0)
46! = ( − 1) 11
23 ,st¡d f (46) (0)= − 46!
23
Zadanie3
3.1 (por.zad.1.18)
0 , 5
arctg x 3 dx =
0 , 5
1 P
2 n +1 x 6 n +3 dx =
1 P
(2 n +1)(6 n +4) x 6 n +4
( − 1) n
0 =
0
0
n =0
n =0
1 P
(2 n +1)(6 n +4)2 6 n +4 1 64 − 1
( − 1) n
30 · 2 10 + 1
90 · 2 16
n =0
1 x +1+ x 2! + x 2
3! + ... dx ln x + x + x 2
1
1 R
1 R
P
1
1 R
3.2
x dx =
1
x
n ! dx =
= ... (obliczenia)
4
0 , 1
0 , 1
0 , 1
n =0
0 , 1
( − 1) n a n zachodzinierówno±¢ | S − S n | a n +1 ,tzn.bł¡dprzybli»enia
jestniewi¦kszyni»pierwszyodrzuconywyraz.
1 P
n =0
4.1
1 R
e − x 2 dx =
1 R
P
( − x 2 ) n
n ! dx = ... =
P
1
n !(2 n +1) ,czyli a n = 1
( − 1) n
n !(2 n +1) .Najmniejsze n takie,»e
0
0
n =0
n =0
5! · 11 0 , 00076,wi¦c a 5 jestpierwszymzodrzuconychwyrazów,a
przybli»eniemcałkiz»¡dan¡dokładno±ci¡jestsuma
4 P
( − 1) n
n !(2 n +1) = ... (obliczenia)
n =0
R
3
R
1 P
( − 1) n
R
3
1 P
( − 1) n
R
1 P
( − 1) n
4.2
cos x
x dx =
1
x
(2 n )! x 2 n dx =
x (1+
(2 n )! x 2 n ) dx =
( 1 x +
(2 n )! x 2 n − 1 dx =
6
6
n =0
6
n =1
6
n =1
ln x +
(2 n )!(2 n ) x 2 n 3
6
3 2 n − 6 2 n .Szacujemy a n = ( 3 ) 2 n − ( 6 ) 2 n
(2 n )!(2 n ) .
Najmniejsze n takie,»e a n < 0 , 001to n =3,tj. a 3 0 , 0003,wi¦c a 3 jestpierwszymzodrzuconych
wyrazów,aprzybli»eniemcałkiz»¡dan¡dokładno±ci¡jestsumaln2+ ( 3 ) 2 − ( 6 ) 2
P
( − 1) n
= ... =ln2+
P
( − 1) n
(2 n )!(2 n )
n =1
n =1
2! · 2 + ( 3 ) 4 − ( 6 ) 4
4! · 4 = ...
(obliczenia)
1 R
1 R
1 P
1 P
(2 n +1) 2 x 2 n +1 1 0 , 5 =
1 P
(2 n +1) 2 1 − 1
2 2 n +1 .Szacujemy a n =
4.3
arctg x
x dx =
2 n +1 x 2 n dx =
( − 1) n
( − 1) n
0 , 5
0 , 5
n =0
n =0
n =0
(2 n +1) 2 .Najmniejsze n takie,»e a n < 0 , 001to n =15,tj. a 15 0 , 00092,wi¦c a 15 jestpierwszymz
14 P
(2 n +1) 2 1 − 1
2 2 n +1 = ... (obliczenia)
odrzuconychwyrazów,aprzybli»eniemcałkijestsuma
( − 1) n
n =0
2
1
4.1 f ( x )= xe x 4 = x
1
1
1
1
1
mamywi¦c ( − 1) 24
( − 1) n
( − 1) n
R
R
( − 1) n
0 , 5
e x
x n
Zadanie4
Wszeregachnaprzemiennych
1
a n < 0 , 001to n =5,tj. a 5 = 1
3
3
1
1
1
( − 1) n
1 − 1
2 2 n +1
35155934.007.png 35155934.008.png 35155934.009.png 35155934.010.png 35155934.011.png 35155934.012.png 35155934.013.png 35155934.014.png 35155934.015.png 35155934.016.png 35155934.017.png
0 , 3
ln(1+ x )
0 , 3
1 P
( − 1) n
0 , 3
1 P
( − 1) n
1 P
( − 1) n
( n +1) 2
3 10 n +1 − 1 10 n +1
4.4
x dx =
1
x
n +1 x n +1 dx =
( n +1) x n dx = ... =
.
0 , 1
0 , 1
n =0
0 , 1
n =0
n =0
( n +1) 2 · 10 n +1 .Najmniejsze n takie,»e a n < 0 , 001to n =3,tj. a 3 =0 , 0005,wi¦c
a 3 jestpierwszymzodrzuconychwyrazów,aprzybli»eniemcałkijestsuma 3 − 1
0 , 2+0 , 02+0 , 002(8)=0 , 222(8)
10 + 3 2 − 1
2 2 · 10 2 + 3 2 − 1
3 2 · 10 3 =
Wzadaniu 4.5 oraz 4.6 post¦pujesi¦analogicznie,wobuwystarczysumadwóchpierwszychwyra-
zówrozwini¦cia,tj.0 , 5 − 1 8 · (0 , 5) 4 oraz0 , 5 − 1
3! · 6 .
Zadanie5 Długo±¢wyra»asi¦tucałk¡ | L | =
0 , 5
(1+ x 5 ) 0 , 5 dx ,któr¡liczymyanalogicznie,jakwzadaniu
0
4.Pooszacowaniuokazujesi¦,»ewystarcz¡dwawyrazyrozwini¦cia,tzn. | L | 0 , 5+ 1
2 7 · 6 =0 , 5013021.
3
R
R
R
Szacujemy a n = 3 n +1 − 1
R
35155934.018.png 35155934.019.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin