6-MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.doc

MACIERZE I WYZNACZNIKI

v     MACIERZE

• Definicja macierzy:

Niech dane będą dwa zbiory skończone M={1,2,...,m} i N={1,2,...,n}. Macierzą prostokątną wymiaru mxn o wyrazach rzeczywistych nazywamy funkcję przyporządkowującą uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie iM, jN, dokładnie jedną liczbę rzeczywistą aij.

Macierz zapisujemy w postaci tablicy:

gdzie:

poziome rzędy tablicy nazywamy wierszami

pionowe rzędy tablicy nazywamy kolumnami

aij oznacza element macierzy stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie.

Macierz o wymiarze mxn oznaczamy symbolem:

lub [aij]mxn

W przypadku, kiedy można pominąć wymiar macierzy, i nie prowadzi to do nieporozumień, macierze oznaczamy stosując tylko wielkie litery alfabetu, np. A, B, X itp.

• Definicja wymiaru macierzy:

Wymiarem macierzy nazywamy uporządkowaną parę liczb naturalnych mxn, której pierwszy wyraz oznacza liczbę wierszy macierzy, a drugi liczbę kolumn.

• Definicja macierzy zerowej:

Macierz wymiaru mxn, w której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową wymiaru mxn i oznaczamy przez 0mxn lub przez 0, gdy znany jest jej wymiar.

• Definicja macierzy kwadratowej:

Macierz, w której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn, tj. m=n, nazywamy macierzą kwadratową. Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza co kolumny tworzą główną przekątną macierzy.

Przykład macierzy kwadratowej

stopnia 4

• Definicja macierzy kolumnowej:

Macierzą kolumnową (nazywaną również macierzą jednokolumnową lub wektorem kolumnowym) nazywamy macierz o wymiarze mx1.

Przykład macierzy kolumnowej:

• Definicja macierzy wierszowej:

Macierzą wierszową (nazywaną również macierzą jednowierszową lub wektorem wierszowym) nazywamy macierz o wymiarze 1xn.

• Definicja macierzy trójkątnej dolnej:

Macierz kwadratową stopnia n>2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną dolną.

• Definicja macierzy trójkątnej górnej:

Macierz kwadratową stopnia n>2, w której wszystkie elementy stojące pod główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną.

• Definicja macierzy diagonalnej:

Macierz kwadratową stopnia n, w której wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej są równe 0, nazywamy macierzą diagonalną (lub macierzą przekątną), ozn. diag (a11, a22, ..., amn­).

Przykład macierzy diagonalnej:

• Definicja macierzy skalarnej:

Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy stojące na głównej przekątnej są sobie równe, nazywamy macierzą skalarną.

• Definicja macierzy jednostkowej:

Macierz skalarną stopnia n, w której wszystkie elementy stojące na głównej przekątnej są równe 1, nazywamy macierzą jednostkową. Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy przez In lub En, albo – gdy znany jest stopień – przez I lub E.

v    DZIAŁANIA NA MACIERZACH:

• • Definicja równości macierzy:

Macierze A i B są równe, co zapisujemy A=B, wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego wymiaru, tj. A=[aij]mxn i B=[bij]mxn, oraz odpowiednie elementy macierzy są równe, tzn. aij=bij, dla i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.

• Definicja sumy macierzy:

Sumą macierzy A=[aij]mxn i B=[bij]mxn nazywamy macierz C=[cij]mxn, której elementy są określone wzorem:

cij=aij+bij

dla i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n. Piszemy wtedy C=A+B.

UWAGA: Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach!!!

Przykład: Obliczyć sumę macierzy A i B, gdzie:

i       

• Definicja iloczynu macierzy przez liczbę:

Iloczynem macierzy A=[aij]mxn przez liczbę λ, λR, nazywamy macierz B=[bij]mxn, której elementy określone są wzorem:

bij= λaij

dla i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n. Piszemy wtedy B= λA.

Przykład: Obliczyć D=2A, dla λ=-2

UWAGA: Macierz –A, rozumianą jako macierz (-1)∙A, nazywamy macierzą przeciwną do A. Wówczas różnicą macierzy A i B rozumiemy jako sum macierzy A i macierzy przeciwnej do B, tj. A–B=A+(-B).

• FAKT: Własności działań na macierzach:

Niech A, B i C będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru oraz niech α i β będą liczbami rzeczywistymi. Wówczas:

1)     A+B=B+A

2)     A+(B+C)=(A+B)+C

3)     A+0=0+A=A

4)     A+(-A)=0

5)     α(A+B)= αA+αB

6)     (α+ β)A= αA+βA

7)     (αβ)A= α(βA)

8)     1∙A=A

Przykład: Rozwiązać równanie macierzowe 3(A+X)+5(3X+B)=A-B, gdzie

3A+3X+5(3X)+5B=A-B

3A+3X+15X+5B=A-B

3A+18X+5B=A-B/

18X=-2A-6B/

X=

• Definicja iloczynu macierzy:

Niech macierz A=[aij] ma wymiar mxn, a macierz B=[bij] wymiar nxp. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C=[cij] wymiaru mxp, której elementy określone są wzorem:

dla i=1,2,...,m ; j=1,2,...,p. Piszemy wtedy C=AB.

AmxnBnxp=Cmxp

SCHEMAT:

                                                                                    a11                            a12

                                                                                    a21                            a22

Przykład: Obliczyć AB, gdzie

A2x3 B3x3

UWAGA: Element cij iloczynu macierzy A i B otrzymujemy sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów i-tego wiersza i j-tej kolumny macierz B.

UWAGA: Iloczyn macierzy A i B jest określony tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

• FAKT: Własności iloczynu macierzy:

1)     Niech macierz A ma wymiar mxn, a macierze B i C wymiar nxk. Wówczas:

A(B+C)=AB+AC

2)     Niech macierze A i B mają wymiar mxn a macierz C wymiar nxk. Wówczas:

(A+B)=AC+BC

3)     Niech macierz A ma wymiar mxn, a macierz B wymiar nxk oraz niech α będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas:

A(αB)=(αA)B=α(AB)

4)     Niech macierz A ma wymiar mxn, macierz B wymiar nxk, a macierz C wymiar kxl. Wówczas:

(AB)C=A(BC)

5)     Niech macierz A ma wymiar mxn. Wówczas:

AIn=ImA=A

...