logika_sciaga2.doc

Logika  formalna

Przedmiotem są formy (schematy) niezawodnych rozumowań. Logika formalna to teoria wynikania. Wynikanie między zdaniami

Z: Każdy student jest inteligentny

Z1: Niektórzy inteligentni ludzie są studentami

Ze zdania Z1 wynika zdanie Z wtedy i tylko wtedy gdy (<=>) Z1 jest prawdziwe to i Z musi być prawdziwe

p,q – to wyrażenia

Stałe logiczne (wyrażenia kt. nazywamy funktorami)muszą być ściśle określone i jednoznaczne;p,q,r,s-to zmienne logiczne(podstawiamy treść zdania)

kwantyfikatory – funktory, które określają ilość (dla każdego, dla niektórych)

nawiasy – porządkują sens zdania

Logikę dzielimy na :

teorię zdań i teorię kwantyfikatorów

Rachunek kwantyfikatorów nazywany jest RACHUNKIEM NAZW

Prawda – zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy stan rzeczy stwierdzony przez to zdanie zachodzi w rzeczywistości. Gdy ten stan nie zachodzi zdanie jest fałszywe. Prawda polega na zgodności zdania z tym, co zdanie stwierdza

Zdanie musi być orzekające. Musi wyraźnie stwierdzać pewien stan rzeczy

Prawda i fałsz to logiczne wartości zdania

Prawda – 1

Fałsz – 0

Logika, która opiera się na założeniu, że zdanie w sensie logicznym posiada jedną z wartości logicznych (1,0)nazywa się logiką dwuwartościową (klasyczną)

Logika wielowartościowa – Jan Łukasiewicz – wprowadził wartość ½(połowiczną)

Zdanie jest złożone, gdy zawiera funktor zdaniotwórczy od argumentów zdaniowych

Funktory zdaniotwórcze:

-)Nieprawda  że, i, albo, lub, jeżeli to, wtedy i tylko wtedy

-)argument zdaniowy (to co stoi przy funktorze)              

Wartość logiczna zdania złożonego przy użyciu funktorów możliwe że ,wie że nie zależy jedynie od wartości logicznej zdania, ale również od jego treści

Wyróżniamy spójniki prawdziwościowe i nieprawdziwościowe

F. prawdziwościowy –określa wartość logiczną zdania jedynie na podstawie jednego argumentu

F. nieprawdziwościowy –wartość logiczna złożonych przy ich użyciu zdań nie zależy od wartości logicznej argumentów, lecz od ich treści, ”możliwe że, wie że”

p-funktor

q-argument

ki zdanie jest złożone wtedy i tylko wtedy gdy zawiera funktor zdaniotwórczy od argumentów zdaniowych. Możemy wyróżnić dwa funktory zdaniotwórcze:

- od argumentu zdaniowego – wiąże jedno zdanie proste,

- od argumentów zdaniowych – wiąże dwa zdania proste.

To co stoi przy funktorze to argument zdaniowy.

Wartość logiczna zdania złożonego przy użyciu funktorów „możliwe, że” i „wie, że” nie zależy jedynie od wartości logicznej zdania składowego czyli argumentu ale take od jego treści. Z tego względu wyróżniamy:

a) spójniki prawdziwościowe,

b) spójniki nieprawdziwościowe.

Spójniki prawdziwościowe to inaczej spójniki ekstensjonalne – jest to funktor, który określa wartość logiczną zdania jedynie na podstawie jego argumentu. „Nieprawda, że”, „i”, „lub”.

Spójniki nieprawdziwościowe to inaczej funktory intensjonalne – jest to funktor , którego wartość logiczna nie zależy od wartości logicznej argumentów lecz od ich treści. „możliwe, że”, „wie, że”.

10. Pojęcie tautologii, sprawdzanie formuł metodą matrycową

Słownik języka rachunku zdań:

-zmienne zdaniowe p,q,r,s

-stałe zdaniowe ~,^,v, →, ↔

-nawiasy

Dowolne zdania języka potocznego lub naukowego można przedstawić schematycznie za pomocą odpowiedniej formuły języka zdań

(p ^ q) → r

Zbiór formuł klasycznego rachunku zdań dzielimy na:

1.Schematy tautologiczne (tautologia)

2.Schematy nietautologiczne

Ad. 1

Schematy tautologiczne są to schematy zdań wyłącznie prawdziwych, czyli takie formuły, które tworzą zdania prawdziwe przy wszelkich możliwych podstawieniach zdań (prawdziwych bądź fałszywych) za występujące w nich zmienne zdaniowe.

Ad. 2

W schematach nietautologicznych wyróżniamy tzw. kontrtautologie. Jest to schemat zdań wyłącznie fałszywych. Pozostałą podgrupę w schemacie zdań nietautologicznych stanowią formuły, które nie są ani tautologiami ani kontrtautologiami czyli takie, które przy pełnych podstawieniach za zmienne przybiorą postać prawdy przy innych zaś wartość fałszu.

Nie wnikając w treść (intencjonalność zdania)potrafimy za pomocą pewnych schematów stosując METODĘ MATRYCOWĄ(zerojedynkową)sprawdzić prawdziwość zdania.

p v ~p    prawo wyłączonego środka lub inaczej prawo logicznego rachunku zdań jest to tautologia,kt.zawsze daje prawdę

1°               p = 1              2°              p=0

              1 v ~ 1              0 v ~ 0

              1 v 0              0 v 1

                 1                  1

~ (p ^ ~ p) prawo sprzeczności  czy niesprzeczności cokolwiek podstawimy za p zawsze otrzymamy prawdę

1°              p=1              2°              p=0

              ~ (1 ^ ~ 1)              ~ (0 ^ ~ 0)

              ~ (1 ^ 0)              ~ (0 ^ 1)

              ~ 0              ~ 0

                 1                 1

Prawo wyłączonego środka mówi nam, że z dwóch zdań sprzecznych przynajmniej jedno musi być prawdziwe. Prawo sprzeczności mówi, że dwa zdania sprzeczne nie mogą być zarazem prawdziwe, czyli że z dwóch zdań sprzecznych przynajmniej jedno musi być fałszywe. Prawa te stanowią fundamenty logiki klasycznej, zasadę dwuwartościowości logiki klasycznej, która stwierdza, że z dwóch zdań sprzecznych dokładnie jedno musi być prawdziwe i dokładnie jedno fałszywe.

(p→q) ↔ (~q → ~p) (prawo transpozycji)

1°    p = 1, q = 1                            2°    p = 1, q = 0

(1→1) ↔ (~1 → ~1)                            (1→0) ↔ (~0 → ~1)

1 ↔ (0 → 0)                                     0 ↔ (1 → 0)

1 ↔ 1                                                   0 ↔ 0

    1                                                        1

3°  p = 0, q = 1                            4°    p = 0, q = 0

(0→1) ↔ (~1 → ~0)                            (0→0) ↔ (~0 → ~0)

                  1↔ (0 → 1)                                     1 ↔ (1→ 1)

                  1 ↔ 1                                      1↔ 1

                              1                            1 

Zgodnie z definicją formuła jest tautologią jeśli przy wszelkich możliwych układach wartości jej zmiennych przybiera wartość prawdy.

(p→q) ↔ (~p → ~q) - kontrtautologia

1°  p = 1, q = 1              ...