29
B WYKŁAD 13
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
W przestrzeni wektorowej wprowadzamy odległość między dwoma elementami oraz tej przestrzeni jako liczbę
Otoczeniem punktu o promieniu nazywać będziemy zbiór wszystkich punktów takich że
Analogicznie jak w przestrzeni R określamy sąsiedztwo punktu oraz punkt skupienia zbioru.
Niech A będzie pewnym podzbiorem przestrzeni . Jeżeli każdemu punktowi przyporządkujemy w sposób jednoznaczny pewną liczbę rzeczywistą, to mówimy, że na zbiorze A została określona funkcja f zmiennych i zapisujemy ją w postaci
Zbiór A nazywamy wówczas dziedziną funkcji f, zaś zbiór otrzymanych wówczas liczb z zbiorem wartości funkcji f. Jeżeli funkcję f określamy wzorem, nie podając jej dziedziny, to uznajemy, że dziedziną jest zbiór wszystkich punktów , dla których wzór określający funkcję ma sens.
Pomijamy definicje granicy i ciągłości funkcji wielu zmiennych.
Warstwicą funkcji dwóch zmiennych, odpowiadającą wartości c nazywamy zbiór
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu po zmiennej nazywamy granicę
Funkcję f nazywać będziemy różniczkowalną na zbiorze A, jeżeli posiada na tym zbiorze wszystkie pochodne cząstkowe , ciągłe na A.
Pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji f w punkcie P nazywamy każdą pochodną cząstkową pochodnej cząstkowej
Funkcję f nazywać będziemy funkcją dwukrotnie różniczkowalną na A, jeżeli posiada wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu , ciągłe na A.
Mówimy, że funkcja wielu zmiennych osiąga minimum lokalne (maksimum lokalne) w punkcie , jeżeli istnieje otoczenie U punktu , takie że dla każdego punktu spełniona jest nierówność
Tw.1 (warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja , określona w pewnym otoczeniu punktu i posiadająca w tym punkcie wszystkie pochodne cząstkowe, osiąga w tym punkcie ekstremum lokalne, to wszystkie pochodne cząstkowe w tym punkcie są równe 0, tzn.
Punkt P, w którym wszystkie pochodne cząstkowe są równe 0, nazywa się punktem stacjonarnym funkcji f.
Hesjanem dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f nazywamy macierz utworzoną ze wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu tej funkcji postaci:
Przy założeniu ciągłości pochodnych cząstkowych drugiego rzędu pochodne liczone względem tych samych zmiennych, ale w innej kolejności (tzw. pochodne mieszane) są równe
Jest to tzw. twierdzenie Schwarza. Otrzymujemy więc, że wówczas hesjan jest macierzą symetryczną.
Oznaczmy
(są to wyznaczniki odcinane z hesjanu wzdłuż głównej przekątnej)
Tw.2 (warunek dostateczny istnienia ekstremum) Niech punkt będzie punktem stacjonarnym funkcji , mającej ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym otoczeniu tego punktu.
Jeżeli dla i=1,2,…,n spełnione są nierówności , to w punkcie funkcja osiąga minimum lokalne
Jeżeli dla i=1,2,…,n spełnione są nierówności , to w punkcie funkcja osiąga maksimum lokalne
Tw. 3 Załóżmy, że funkcja f ma w otoczeniu punktu ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego.
1. Jeżeli f osiąga w punkcie to w punkcie minimum lokalne, to dla i=1,2,…,n spełnione są nierówności .
2. Jeżeli f osiąga w punkcie to w punkcie maksimum lokalne, to dla i=1,2,…,n spełnione są nierówności
3. Jeżeli w punkcie nie jest spełniony żaden z warunków 1 i 2, to funkcja f nie osiąga w punkcie ekstremum.
Uwaga. W punktach, w których nie jest spełniony warunek dostateczny istnienia ekstremum, ale spełniony jest któryś z warunków 1 lub 2, należy zbadać istnienie ekstremum na innej drodze (np. korzystając z definicji ekstremum)
W szczególności, jeżeli lub , to wynikają stąd twierdzenia:
Tw.4 () Jeżeli funkcja , posiadająca ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu , spełnia następujące warunki:
1.
2.
to funkcja f osiąga w punkcie minimum. Jeżeli natomiast funkcja f spełnia warunki:
to osiąga w punkcie maksimum.
Jeżeli , to funkcja f nie osiąga w punkcie ekstremum.
Tw.5 () Jeżeli funkcja , posiadająca ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu , spełnia następujące warunki:
to funkcja f osiąga w punkcie minimum.
Jeżeli f spełnia warunki:
Jeżeli w szczególności , to funkcja f nie osiąga w punkcie ekstremum.
d.omi