ściaga macierze.docx

8. Macierze i wyznaczniki

·    Definicja macierzy prostokątnej wymiaru mxn, rodzaje macierzy.

Niech {1,2,…m} i {1,2,…n}

D= {1,2,…m} × {1,2,…n} = {(i,j):              i=1,2,…m; j=1,2…n}

X-zbiór liczb rzeczywistych (lub zespolonych, zbiór wielomianów…)

Każdemu elementowi zbioru X przyporządkowujemy jedną parę

Odwzorowanie A przyporządkowujące A:              (i,j)→aij,   aij ϵX              i=1,2,…m              j=1,2,…n

nazywamy macierzą ze zbioru „m na n”

Jeśli m=n to macierz nazywamy macierzą kwadratową

Jeśli m≠n to macierz nazywamy macierzą prostokątną

A[aij]m→n=a1,1a1,2…a1,na2,1...a2,2…a2,n...am,1am,2…am,n

Inne rodzaje macierzy:             

-kolumnowa (zredukowana do 1 kolumny, wektor kolumnowy), macierz o wymiarze m×1

A=a1,1a2,1...am,1

-wierszowa (zredukowana do 1 wiersza, wektor wierszowy), macierz o wymiarze 1×n A=a1,1a1,2…a1,n

-zerowa, o wymiarze m×n złożona z samych zer:     aij=0   i=1,…m    j=1,…n

-kwadratowa stopnia n    (m=n)

A=a1,1a1,2…a1,na2,1...a2,2…a2,n...am,1am,2…am,n

główna przekątna

-diagonalna- poza przekątna  ma same zera

A=a1,10…00...a2,2…0...00…am,n

-jednostkowa stopnia n              a1,1=a2,2=a3,3=…=am,n=1

a wszystkie inne wyrazy są zerami

-transponowana              A=[aij]mxn                                         

              AT=[aij]Tmxn=[aij]nxm

              AT=A

-symetryczna              aij=aji              i=1,…m              j=1,…n

Np.: A=145426563

-trójkątna górna: deta11....0a22..00annnxn=a11∙a22…∙ann

Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów stojących na jego głównej przekątnej.

·        Działania na macierzach: dodawanie macierzy, mnożenie macierzy przez stałą, mnożenie macierzy – warunki wykonalności działań.

A=[aij]mxn              B=[bij]mxn

-dodawanie              C=A+B    def    C=[aij+bij]mxn

-mnożenie              αϵC (dowolna liczba zespolona)

α∙A=D      def      D=[α∙aij]mxn

α=(-1)            -A=[aij∙(-1)]mxn

-odejmowanie              B+(-A)=B-A     def  [bij-aij]

Własności działań na macierzach:

1)A+B=B+A

2)A+(B+C)=(A+B)+C

3)0-macierz zerowa tego samego stopnia co macierz A   A+0=A    

(0-element neutralny)

4)(-A) obraz przeciwny do macierzy A              A+(-A)=0

Mnożenie macierzy A przez macierz B:

A=[aij]mxn              B=[bij]nxp

A∙B=C        def     C[cip]mxp

Cip=ai1b1k+ ai2b2k+ ai3b3k… ainbnk=j=inajbjk                    i=1,2,…m;              k=1,2,…p

Mnożenie nie jest przemienne              A∙B≠B∙A

A=31-201-13x2              B=201-12x2              A∙B=7-1-4011

B∙A -jest niemożliwe

A-macierz kwadratowa stopnia n

I- macierz jednostkowa stopnia n

1) A∙I = I∙A = A

2) A∙0 = 0

3) A∙(B∙C) = (A∙B)∙C                      jest łączne

4) A(B+C) = A∙B+A∙C              (A+B)C = A∙C+B∙C

rozdzielność mnożenia względem dodawania

5) (A+B)T = AT+BT

6) (α∙A)T = α∙AT              ,αϵC

7) (A∙B)T = BT∙AT

8) A∙A…∙A = An              ,(An)T = (AT)n

·    Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej.

Wyznaczniki można wyliczyć tylko z macierzy kwadratowych

Def. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A=[aij]nxn nazywamy funkcję, która każdej macierzy (zespolonej) A przypisuje liczbę rzeczywistą det A określoną wzorem:

1) n=1              A=[an],              det A=an

2) n≥2, to  det A=a11∙detA11 – a12∙detA12 + a13∙detA13 +…+(-1)1+na1n∙detA1n

A1j powstaje z macierzy A przez wykreślenie pierwszego wiersza i j-tej kolumny

Niech   A=a11a12a21a22                            det A=a11a12a21a22

det A=a11∙detA11 – a12∙detA12 = a11∙det[a22] – a12∙det[a21] = a11∙a22 – a12∙a21

·    Obliczanie wyznaczników metodą Sarrusa i metodą Laplace’a.

Wyznaczniki 3x3 można liczyć metodą Sarussa

I sposób:





              -

a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11a12a21a22a31a32

              +

...