WM Teoria.doc

1. Cel i zakres wytrzymałości materiałów. Pręt i Jego charakterystyka geometryczna. 

-Przedmiot badań wytrzymałości materiałów.

Mechanika ogólna zajmuje się ruchem i równowagą punktów materialnych i ich układów zakładając że wzajemna odległość dwu dowolnych punktów układu jest stała. W ten sposób ogranicza się mechanikę ogólną do mechaniki ciała stałego sztywnego. Ciało rzeczywiste jest ciałem odkształcalnym i pod wpływem działających nań sił zmienia swoje kształty i rozmiary. Mechanikę ciała sztywnego odkształcalnego przystosowaną do potrzeb techniki nazywa się tradycyjnie wytrzymałością materiałów.

-Momenty statyczne.

-MOMENTY BEZWŁADNOŚCI.

Moment bezwładności Io figury płaskiej względem ustalonego punktu 0, zwanego biegunem, definiuje się jako

gdzie r jest odległością elementu powierzchni o polu dA od punktu 0 (biegunowy mom. bezw.).

Moment bezwł. Il względem prostej l określamy wzorem gdzie r jest odległością elem. powierzchni dA od danej prostej czy osi.

Moment bezwładności biegunowy figury płaskiej względem początku układu prostokątnego równa się sumie momentów bezwładności względem dwu osi układu leżących w w płaszczyźnie figury  Io = Ix + Iy.

Wyrażenie określające moment bezwł. Il można przedstawić w postaci iloczynu Il = Ai2, gdzie A pole figury płaskiej, zaś i wielkość nazwana promieniem bezwładności figury płaskiej  .

-Momenty dewiacji (zboczenia)

W prostokątnym układzie współ. wprowadza się pojęcie momentu zboczenia (dewiacji)

(wartości mogą + lub - ).

Moment bezwł. lub moment zboczenia złożonej figury płaskiej równa się sumie momentów bezwł. lub momentów zboczenia figur składowych.

Moment zboczenia figury płaskiej względem układu osi o początku

przesuniętym względem środka ciężkości figury o a i b jest równy momentowi zboczenia dla układu o osiach równoległych i początku w środku ciężkości, zwiększonemu o iloczyn powierzchni figury płaskiej i obydwu składowych przesunięcia.

Ih = 1/2(Ix + Iy) + 1/2(Ix - Iy)cos2j - Ixysin2j

Ix = 1/2(Ix + Iy) - 1/2(Ix - Iy)cos2j + Ixysin2j

Ixh = 1/2(Ix - Iy)sin2j - Ixycos2j

Wzory te pozwalają wyznaczyć momenty bezwł. i moment zboczenia dla układu obróconego o dowolny kąt.

2.Siły wewnętrzne w pręcie.

-Wektor główny i moment główny.

Wektor główny PW sił wewnętrznych można rozłożyć na składową N o kierunku prostopadłym do przekroju i składową T o kierunku stycznym. Moment główny MW rozkłada się również na kierunek normalny MS i styczny MG. Składową N nazywa się siłą podłużną lub osiową a składową T siłą poprzeczną tnącą.

-Wektor naprężeń.

DPW - wypadkowa obciążenia działającego na przekrój dA

P- wektor naprężenia całkowitego.

-Podstawowe siły wewnętrzne w pręcie.

Moment gnący w dowolnym przekroju pręta jest równy sumie momentów względem środka tego przekroju wszystkich sił działających na część pręta oddzieloną tym przekrojem. Siła podłużna lub poprzeczna  w dowolnym przekroju równa się sumie odnośnych sił składowych obciążeń działających na część pręta oddzieloną tym przekrojem. Moment skręcający występuje jeżeli prosty pręt obciążymy w płaszczyźnie prostopadłej do osi parą sił o momencie K, wówczas siły wewnętrzne w pręcie zredukują się do momentu MS = K o kierunku zgodnym z osią pręta.

Rozciąganie lub ściskanie-występuje wyłącznie siła osiowa N, ścinanie-występuje wyłącznie siła poprzeczna T, zginanie-występuje wyłącznie moment gnący MG, skręcanie-występuje wyłącznie moment skręcający MS

3.Rozciąganie i ściskanie pręta.

-Wykres rozciągania.

-Stan naprężeń i odkształceń w pręcie rozciąganym.

Wytrzymałość na rozciąganie Rm = Fm/S0 . Granica plastyczności Re = Fe /S0 . Granica proporcjonalności RH , wydłużenie A = (LU- L0)/L0 *100%, przewężenie Z =  (S0 - SU)/S0 * 100%

-Wytrzymałość na rozciąganie i ściskanie.

Naprężenia odpowiadające maksymalnej wartości siły Fm nazywa się wytrzymałością na rozciąganie Rm = Fm/S0 (S0 - przekrój początkowy próbki, Fm - max. siła działająca na próbkę).

-Równanie różniczkowe przemieszczeń dla pręta rozciąganego.

Wydłużenie jakie przybiera jednostka długości pręta nazywamy wydłużeniem jednostkowym lub wydłużeniem względnym e - e = l /l.

Wydłużenie względne e jest równe eX = du/dx.

Wydłużenie poprzeczne eY = eZ = (d’-d)/d

W przypadku rozciągania d >d’ a więc e’<0. Wydłużenie całego pręta

-Odkształcenia i naprężenia wywołane temperaturą.

1)Średni wsp. rozszerzalności liniowej:

   a1,2 =(1/lo)[(l2 - l1)/(t2 - t1)]

   lo -dł.w temp. 0oC; t2,t1 -temp.; l2,l1 -dł.prętów

   w poszczególnych temp.,

   Dl = l2 - l1, Dt = t2 - t1, a1,2 =(1/lo)( Dl /Dt)

2)Wsp.rozszerzalności liniowej w temp. t:

    dt = (1/lo)lim(Dl /Dt) = (1/lo)(dl /dt) [1/K]

    zakł. dt =a, a=12×10-6 [1/K] -dla stali

    l2 - l1 = alo(t2 - t1)

-Wpływ ciężaru własnego.

Wpływ ciężaru na stan naprężenia jest zależny od wymiarów konstrukcji. W budowie maszyn jest on często pomijany natomist w konstrukcjach budowlanych, dźwigowych, mostowych jest czasem dominujący i jego uwzględnienie jest konieczne. Dobrym wskaźnikiem przydatności materiału pod względem wytrzymałości do lekkiej konstrukcji jest jego długość zerwania. Długość pręta przy którym max. naprężenie wywołane wyłącznie własnym ciężarem osiągnie wartość równą wytrzymałości danego materiału Rm nazywamy długością zerwania lr .

Obliczając pręt o stałym przekroju z uwzględnieniem jego ciężaru trzeba dobrać rozmiar przekroju A z uwagi na przekrój w którym występuje największe naprężenie tak aby był spełniony warunek sMAX=sDOP .

-Układy prętowe statycznie niewyznaczalne.

a)Warunki równowagi:

wyznaczamy warunki równowagi - na tej podstawie mamy jedno równanie do wyznaczenia dwu wielkości więc zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne.

b)Warunki geometryczne:

dzięki nim uzyskujemy dodatkowe równanie otrzymane przy uwzględnieniu geometrycznych zależności wynikających z odkształceń.

c)Warunki fizyczne:

zagadnienie rozwiązujemy w zakresie odkształceń sprężystych. Z prawa Hooke’a wynika że l=Nl/EA. Na podstawie równań a, b i c rozwiązujemy zadanie.

4.Pręt skręcany.

-Stan naprężeń i odkształceń w prętach skręcanych o przekroju kołowym.

1)Związki geometryczne:

   Zakładamy płaskość przekroju i że przemieszczenia są małe g = r(dr/dx), g -odkształcenie poprzeczne

2)Związki fizyczne:

   g = t /G, G -moduł sprężystości poprzecznej (Kirchoffa), t /G = r(dr/dx)

3)Warunek równowagi:

,,

t = (MS/I0 )*r   - wzór ten pozwala wyznaczyć naprężenie w skręcanym pręcie.

-Prawo Hooke’a dla prętów skręcanych.

Warunki fizyczne określa określa prawo Hooke’a.

występują w przekroju naprężenia styczne mające wartości proporcjonalne do promienia r i skierowane są do nich prostopadle.

-Wytrzymałość na skręcanie.

Warunek wytrzymałości: sred£sdop

W celu wyznaczenia sred należy posłużyć się jedną z hipotez wytężenia, sred = t*31/2 a stąd t £tdop

r = r, t = tmax  ® tmax = Msr /Io

   Wo = Io /r -wskażnik wytrz. na skręcanie

   tmax = Ms /Wo, tmax = Ms /Wo £ tdop

-Równania różniczkowe przemieszczeń kątowych.

dj /dx = Ms /GIo ®dj = (Ms /Gio)dx ®

®

Kąt skręcania: j = Msl/GIo

Warunek sztywności: j = Msl /Gio<= jdop

jo = (180o/P)(Msl /GIo)

5.Pręt zginany.

-Stan naprężenia i odkształcenia pręta zginanego.

Naprężenia i odkształcenia w pręcie równomiernie zginanym.

T - siła poprzeczna

Mg - moment gnący

Warstwa obojętna składa się z włókien, które nie zmieniają swojej długości.

1.Zakładamy płaskość przekroju

2.Zakładamy że w tej belce wystąpi warstwa obojetna i powierzchnia obojętna jest prostopadła do działania momentu gnącego.

3.Kierunek wektora momentu gnącego jest zgodny z kierunkiem osi obojętnej.

4.W przekrojach poprzecznych występują tylko naprężenia normalne.

1.Związki geometryczne

2.Związki fizyczne

3.Warunki równowagi

-Wytrzymałość na zgina...