Opracowanie_zagadnien_z_analizy_EiT2010_wersja_doc.doc

1.Funkcja – określenie i pojęcia z nią związane: sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y. X-zbrór argumentów Y –zbiór wartości. Zbiór Y nazywamy przeciw dziedzina. Dziedzina-zbiór wszystkich wartości zmiennej x dla których funkcja jest określona. Obrazem zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję;

2.Rodzaje funkcji (rzeczywista, liczbowa i ich rodzaje, w tym funkcje monotoniczne i przedziały monotoniczności ):

·         funkcja Entier- jest to największa liczba całkowita nie większa od danej liczby

·         funkcja określona w sposób parametryczny-określa się zależność X a Y

·         funkcja tożsamościowa-– funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego.

·         Funkcja stała-jeżeli jej obraz jest 1 elementowy

·         Różnowartościowa-(iniekcja)- to funkcja, która dla dowolnych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości.

·         Funkcja „na” (suriekcja) – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny.

·         Bijekcja- Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) – funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i "na". Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja przyporządkowująca każdemu elementowi dziedziny dokładnie jeden element obrazu) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

·         Funkcja rzeczywista-funkcja której zbiór wartości zawiera się w zbiorze liczb R

·         Funkcja potęgowa f(x)=xa (a R\{0})

·         Funkcja wymierna- nazywamy iloraz dwóch wielomianów

3.Iloczyn kartezjański zbiorów i przestrzeń n-wymiarowa. Definicje i  pojęcia z tym związane:

·         Iloczynem kartezjańskim nazywamy rodzinę wszystkich funkcji f takich, że Df=T oraz f(t)

·         Iloczyn kartezjański nazywamy przestrzenią n-wymiarową, a nazywamy uzupełnioną przestrzenią n wymiarową.

4.Złożenie funkcji, funkcja odwrotna i jej właściwości, obcięcie funkcji:

·         Jeżeli to obcięciem funkcji f do zbioru A, nazywamy funkcję g określoną na zbiorze A, taką że g(x)=f(x) dla każdego x (Obcięcie funkcji to zawężenie dziedziny).

·         Złożenie funkcji- niech f: gdzie X Y Z R. Złożeniem funkcji f i g  nazywamy funkcje  określoną wzorem dla x X

·         Funkcją odwrotną do danej funkcji f nazywamy funkcję g taką, że jest identycznością na Dg oraz jest identycznością na Df.

o       Funkcja f posiada funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcją różnowartościową.

o       Jeżeli f:mają funkcje odwrotną to:

5.Funkcja n-zmiennych. Określenie i jej rodzaje. Pojęcia związane z funkcją n-zmiennych, w tym ekstremum funkcji.

Funkcję rzeczywistą f taką, że Df nazywamy funkcją n-zmiennych.

·         Funkcję n-zmiennych nazywamy okresową jeżeli istnieje takie, że zachodzi równość gdzie n.

·         Funkcję n-zmiennych nazywamy wypukłą jeśli dla każdego x,y i dla każdego zachodzi

·         Funkcję n-zmiennych nazywamy wklęsłą jeśli dla każdego x,y i dla każdego zachodzi

·         Funkcję n-zmiennych nazywamy nieparzystą jeśli dla każdego x f(x)=-f(-x)

·         Funkcję n-zmiennych nazywamy parzystą jeśli dla każdego x f(x)=f(-x)

6.Funkcja wektorowa i jej własności. .Jej związek z funkcją liczbowa i funkcja n-zmiennych.

Jeżeli spełniony jest warunek, że przeciwdziedzina funkcji f to funkcję taką nazywamy wektorową. Często funkcję wektorową oznaczamy jako . Każdą funkcję wektorową można przedstawić w postaci: . Składniki zawarte w nawiasie klamrowym to składowe funkcji wektorowej.

Jeżeli to mówimy o funkcji wektorowej jednej zmiennej.

Jeżeli to mówimy o funkcji wektorowej n-zmiennych.

7. Wykres i sposoby sporządzania wykresów (przy danym wykresie).Sieczna.

Wykresem funkcji f nazywamy zbiór wszystkich takich par i oznaczmy jako Graf(f)

Prosta, która przechodzi przez dwa punkty wykresu nazywa się sieczną.

Odcinek leżący na siecznej łączący punkty wykresu nazywa się cięciwą.

8.Funkcja wypukła i jej właściwości.

Funkcja leży nad cięciwą, jeżeli dla każdego argumentu z przedziału wartość funkcji f(x) jest większa niż punkt cięciwy o odciętej x.

Funkcję nazywamy wypukłą, jeżeli dla każdej cięciwy leży ona ponad cięciwą.

Właściwości:

·         Jeśli jest wypukła w przedziale , to jest również wypukła w dowolnym mniejszym przedziale zawartym w

·         Funkcja jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła) w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja jest wklęsła (odpowiednio: ściśle wklęsła) w tym przedziale.

·         Jeśli jest stałą dodatnią, to funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła.

·         Jeśli jest dowolną stałą, to funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła.

·         Suma funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą.

9. Ciąg – określenie i jego rodzaje.

Ciągiem nazywamy funkcję określoną dla N taką, że:

,oznaczamy jako (an) .

Rodzaje ciągów:

·         Jeżeli to ciąg nazywamy liczbowym.

·         Jeżeli to mówimy, że jest to ciąg punktów w przestrzeni n-wymiarowej.

·         Ciąg (an) nazywamy okresowym, jeżeli istnieje takie (am) dla , że

·         Ciąg an jest rosnący 

·         Ciąg an jest malejący 

·         Ciąg an jest niemalejący 

·         Ciąg an jest nierosnący 

10. Sposoby określania ciągu i określenie podciągu.

Sposoby określania ciągu:

·         Wzorem

·         Kilkoma wzorami

·         Rekurencyjnie-podajemy wartości pewnej liczby początkowych wyrazów i sposób otrzymywania następnych wyrazów w zależności od poprzednich

Ciąg (bn) nazywać będziemy podciągiem ciągu (an), jeśli istnieje rosnący ciąg taki, że jego złożenie z ciągiem (an) jest ciągiem (bn).

11. Granica ciągu liczbowego.

Granicą ciągu liczbowego (an) jest . Jeśli dla każdego ε>0 istnieje takie, że jeżeli n>m to wyraz

Granicę oznaczamy jako .

12. Punkt skupienia ciągu i pojęcia z tym związane:

Punktem skupienia ciągu (an) nazywamy każdą granicę jego podciągu.

Czyli jest punktem skupienia ciągu (an) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε>0 zbiór wskaźników takich, że jest nieskończony.

13. Twierdzenie Weistrassa wraz z wnioskami:

Każdy ciąg liczbowy ma co najmniej jeden punkt skupienia zawarty w przedziale                [inf an, sup an].

Wnioski:

·         Każdy ciąg liczbowy ograniczony ma punkt skupienia będący liczbą rzeczywistą

·         Każdy ciąg słabo monotoniczny jest zbieżny, jeśli jest ograniczony ma granicę skończoną

·         Jeżeli λn jest ciągiem punktów skupienia ciągu (an) i ten ciąg λn ma punkt skupienia λ0 to λ0 jest również punktem skupienia ciągu (an).

·         Dla dowolnego ε>0 mamy zawierające nieskończenie wiele wyrazów ciągu λn zatem dla ε1=ε--λn) mamy

·         Istnieje największy i najmniejszy punkt ciągu liczbowego odpowiednio oraz

14. Wzory dla obliczania ciągów liczbowych

15. Twierdzenie o trzech ciągach i jego zastosowanie:

Załóżmy, że oraz dla każdego mamy, że zachodzi nierówność

wtedy .

16. Obliczanie granic różnych typów ciągów i funkcji (w tym zasada relacji funkcji wykładniczej i potęgowej, ciągi typu ).

Materiał na ćwiczeniach

17. Definicja Heinego i Cauchyego granicy funkcji jednej zmiennej

Definicja Heinego:

Niech mówimy, że λ jest granicą funkcji f w punkcie , jeśli dla każdego ciągu zawartego w dziedzinie funkcji z wyłączeniem x0 takiego, że to ciąg f(xn)λ.

...