Optymalizacja matematyczna w zarządzaniu Badania Operacyjne.pdf
(
2766 KB
)
Pobierz
Optymalizacja matematyczna w zarządzaniu. Badania operacyjne.
1.
Wstęp.
Z problemem poszukiwania optymalnego rozwiązania spotykamy się w licznych
dziedzinach współczesnej nauki, techniki i ekonomii. Optymalizacja procesów
technologicznych, oraz efekty działalności gospodarczo-społecznej zmuszają nas do
wnikliwej analizy powstałych sytuacji decyzyjnych polegających na rozpatrzeniu wszystkich
możliwych strategii działania i skutków wynikających z ich realizacji. Sama intuicja,
rozsądek i bogate doświadczenie nie wystarczają do podejmowania racjonalnych decyzji.
Pomocne mogą być naukowe metody podejmowania decyzji oparte na optymalizacji
matematycznej, których podstawowym pojęciem jest model decyzyjny będący mniej lub
bardziej dokładnym obrazem analizowanej sytuacji decyzyjnej [1]. Najczęściej warunki w
jakich należy realizować proces decyzyjny nie pozwalają na wybór dowolnej decyzji. Decyzję
zgodną z warunkami ograniczającymi nazywać będziemy
decyzją dopuszczalną.
Nie każda
decyzja dopuszczalna jest równie dobra. W świetle celów, jakie chcemy osiągnąć, jedne
decyzje mogą być lepsze, a inne gorsze. Wynika stąd problem wyboru decyzji najlepszej,
zwanej
decyzją optymalną
. Wybór decyzji optymalnej wymaga przyjęcia określonego
kryterium, według którego oceniamy decyzje jako lepsze i gorsze. Kryterium to nazywamy
kryterium wyboru.
Opis określonej sytuacji decyzyjnej nazywamy
zagadnieniem
decyzyjnym.
Zapis problemu decyzyjnego w języku matematycznym to formułowanie
modelu
matematycznego
. Model matematyczny zagadnienia decyzyjnego nazywamy
zadaniem
decyzyjnym
. Warunki ograniczające najczęściej opisywane są za pomocą układów równań lub
nierówności. W zapisie tych warunków występują pewne wielkości dane, zwane
parametrami
, oraz wielkości, które należy ustalić, zwane
zmiennymi decyzyjnymi
.
Oprócz
warunków ograniczających w zadaniu decyzyjnym mogą także występować warunki
dotyczące znaku zmiennych ( np. warunek nieujemności ) lub typu zmiennych ( np. warunek
ich ciągłości, całkowitoliczbowości lub binarności ).
Decyzje dopuszczalne utożsamiać będziemy z takim układem wartości zmiennych
spełniających układ równań i nierówności, które spełniają wszystkie warunki ograniczające
opisujące badaną sytuację. Rolę kryterium wyboru pełni pewna funkcja zmiennych
decyzyjnych mierząca cel, jaki chcemy osiągnąć. Funkcję tę nazywa się
funkcją celu.
Wybór decyzji optymalnej polega na ustaleniu takiej decyzji dopuszczalnej, przy której
funkcja celu osiąga wartość najkorzystniejszą, tzn. w zależności od badanej sytuacji wartość
maksymalną lub minimalną.
Jeżeli oznaczymy przez:
-
zbiór decyzji dopuszczalnych,
-
dowolną decyzję dopuszczalną,
:
- funkcję celu określoną na zbiorze
i przyjmująca wartości w zbiorze liczb
rzeczywistych,
to zadanie decyzyjne można zapisać następująco:
należy znaleźć taką decyzję dopuszczalną,
taką, że
1
(
)
(
)
()
- jeżeli zależy nam na maksymalizacji funkcji celu, oraz
(
)
(
)
()
- jeżeli zależy nam na minimalizacji funkcji celu.
Często zagadnienia tego typu zapisuje się w postaci:
(
)
dla (1.3)
lub
(
)
dla (1.4)
Opisanie sytuacji decyzyjnej w postaci modelu matematycznego ma na celu sprowadzenie
zagadnienia podejmowania decyzji do rozwiązania pewnego zadania matematycznego. Aby
rozwiązanie to umożliwiło prawidłowy wybór decyzji, trzeba je tak sformułować, aby jak
najlepiej opisywało daną sytuację decyzyjną. Budując model matematyczny można wyróżnić
następujące etapy:
1.
zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych – należy ustalić jakie wielkości mają być
wyznaczone i odpowiednio je
oznaczyć
,
2.
ustalenie parametrów zadania - polega to na zebraniu wszystkich wielkości
charakteryzujących dane zagadnienie decyzyjne, np. parametry technologiczne procesu,
wskaźniki techniczno-ekonomiczne, wielkości limitów, normy jakościowe, ceny, koszty
i zyski jednostkowe związane z określoną działalnością, lub procesem technologicznym,
3.
określenie postaci warunków ograniczających i warunków brzegowych – polega na
sformułowaniu układu równań i nierówności, jakie muszą spełniać zmienne decyzyjne.
Warunki brzegowe
to warunki nakładane na zmienne decyzyjne, np. że dana zmienna nie
może być ujemna.
4.
określenie funkcji celu i kryterium optymalizacji (
czy
) - należy sformułować cel
jaki chcemy osiągnąć w postaci funkcji zmiennych określającej stopień osiągnięcia celu,
oraz ustalenie jej wartości optymalnych w zbiorze decyzji dopuszczalnych przy
uwzględnieniu także warunków brzegowych.
Takie opisane zagadnienia decyzyjnego nazywa się zagadnieniem optymalizacji
matematycznej z ograniczeniami lub inaczej zagadnieniem programowania matematycznego.
Przez termin programowanie matematycznege rozumie się sposób przedstawienia
zagadnienia decyzyjnego jako zadania optymalizacji matematycznej. Programowanie
matematyczne oznacza ustalenie takiego planu (programu), który pozwala osiągnąć dany cel
w sposób najbardziej efektywny. Metody optymalizacji są dziedziną matematyki stosowanej,
która znalazła szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu zagadnienień decyzyjnych w technice,
w ekonomi jak i w zarządzaniu. W technice niemal każde zagadnienie projektowania,
planowania czy prowadzenia procesu technologicznego może być sprowadzone do
2
określenia najmniejszej (
minimalnej
) lub największej (
maksymalnej
) wartości pewnej
wielkości.
Wielkość, której wartości minimalnej lub maksymalnej poszukujemy, nosi kilka
równorzędnych nazw: kryterium optymalizacji, wskaźnik jakości, lub wartość funkcji celu.
W szerokim zakresie znaczenia tego pojęcia
optymalizacja
– jest to zatem metodyka
postępowania w celu osiągnięcia w określonych warunkach najlepszego efektu (rezultatu)
działania. Tak rozumiana optymalizacja jest nieodłączną cechą procesów spotykanych w
przyrodzie (minimalizacja energii), oraz każdej działalności człowieka. Jednakże
postępowanie takie otrzymało ścisłe podstawy naukowe dopiero wówczas, gdy zagadnienia
decyzyjne opisano matematycznie. Dzięki rozwojowi technik obliczeniowych
wykorzystujących maszyny liczące badania optymalizacyjne stały się ekonomicznie
uzasadnione, a zakres rozwiązywanych zagadnień stale się poszerza.
Włączenie do arkusza kalkulacyjnego Excel skutecznych procedur obliczeniowych (moduł
Solver) oraz prostota jego obsługi stworzyło szerokie możliwości dokonywania obliczeń
optymalizacyjnych. Na uwagę zasługuje również pakiet obliczeniowy Matlab z modułem do
obliczeń optymalizacyjnych Optimalization Toolbox.
Obszar zastosowań optymalizacji matematycznej rozszerza się w sposób lawinowy i sprzyja
temu rozpowszechnienie komputerów oraz rozwój oprogramowania. Zastosowania
optymalizacji matematycznej dawno przekroczyło progi pracowni naukowych oraz uczelni.
W praktyce, we wdrażaniu
matematycznych metod optymalizacji
ważną rolę odgrywa
modelowanie matematyczne, którego zadaniem jest opis rzeczywistości w języku matematyki
i logiki formalnej. Uniwersalizm tego języka sprawia, że taki sam model może opisywać
systemy różniące się w sposób zasadniczy między sobą lub dotyczące zupełnie różnych
dziedzin. W dalszej części będziemy zajmować się takimi zadaniami optymalizacji,
którym odpowiada ściśle określona postać matematyczna (model matematyczny).
Przykład 1.1.
(Zagadnienie alokacji środków produkcji)
Firma
X
w ramach umowy kooperacyjnej dostarcza firmie
Y
trzy detale A,B i C. Do
produkcji detali potrzebna jest maszyna M oraz dwa surowce: S1 i S2. W tablicy podano
wydajność maszyny [szt/h] i jej maksymalny czas pracy [h]. Oprócz tego w tablicy
zamieszczono dane dotyczące jednostkowego zużycia surowców
S1
i
S2
stosowanych do
produkcji detali [kg/szt], ich zasoby [t], oraz dane dotyczące struktury dostaw do firmy
Y
[szt].
Wydajność
maszyny
M,
szt./h
Zużycie
S1,
kg/szt.
Zużycie
S2,
kg/szt.
Min
dostawa do
firmy
Y, szt.
Max
dostawa do
firmy
Y, szt.
Detal
A
4
5
2
500
-
B
5
5
3
500
1000
C
2
3
4
1500
2000
Zasoby:
1000 h
10 t
20 t
-
-
3
Jednostkowy koszt surowców
S1 i S2
wynosi odpowiednio 5 i 10 zł/kg. Jedna godzina pracy
maszyny kosztuje 40 zł. Ceny zbytu detali wynoszą odpowiednio:
A
- 70 zł/szt,
B
- 80 zł/szt i
C
- 85 zł/szt. Istnieje możliwość nabycia przez firmę
X
detali
B
i
C
od innych producentów.
Jednostkowe koszty zakupu wynoszą odpowiednio: detal
B
- 70 zł/szt, detal
C
- 70 zł/szt.
Jaka powinna być polityka gospodarcza firmy
X
, aby osiągnęła ona maksymalny zysk?
Rozwiązanie
Zmienne
decyzyjne:
- wielkość produkcji detali A, B, C, szt.,
- wielkość zakupu detali B, C, szt.,
Warunki ograniczające:
,dopuszczalny czas pracy maszyny M,
,
,zasoby surowca S1,
,
,zasoby surowca S2,
,
,warunki wynikające ze struktury dostaw,
Warunki brzegowe:
,
,
Funkcja celu:
(
) (
)(
)
gdzie:
(
)
- sumaryczny zysk,
,
(
)
- wartość sprzedaży,
,
(
)
- koszt produkcji,
,
(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)(
)
+
+70
Przykład 1.2.
(Zagadnienie optymalnego wyboru asortymentu produkcji)
Firma wytwarzająca trzy rodzaje okien wykorzystuje dwa surowce: szkło i drewno. Zysk jaki
osiąga z produkcji 1 typu okien to 20 zł/szt., zysk z 2 typu to 50zł/szt., a z trzeciego typu to
40zł/szt. Jednostkowe zużycie surowców niezbędnych do produkcji oraz ich zapasy
przedstawia tablica:
4
Zyżycie, jdn/szt.
Limity sur.
Surowce
Typ 1
Typ 2
Typ 3
jdn
Drewno
10
6
4
2400
S
zkło
3
4
12
1800
Opracować plan produkcji zakładu mając na uwadze maksymalizację zysku, oraz
uwzględniając strukturę zużycia surowców do produkcji tak, aby ilość drewna zużytego na
produkcję okien Typu 1 nie przekroczyła 25% ogólnej ilości zużytego drewna, oraz ilość
szkła zużytego na produkcję okien Typu 3 nie przekroczyła 30% ogólnej ilości zużytego
szkła.
Rozwiązanie:
1.
Zmienne decyzyjne:
- wielkość produkcji okien typu 1, 2 i 3,
2.
Parametry zadania
a./ dane zawarte w tablicy 1 dotyczące jednostkowego zużycia surowców (drewno
i szkło,
),
b./ dopuszczalne limity zużycia surowców, (jdn., tablica 1)
c./ struktura zużycia surowców:
- ilość zużytego drewna na produkcję okien Typu 1 nie powinna przekroczyć 25%
ogólnej ilości zużytego drewna,
- ilość zużytego szkła na produkcję okien Typu 3 nie powinna przekroczyć 30%
ogólnej ilości zużytego szkła,
d./ zyski jednostkowe z produkcji okien,
3.
Określenie postaci warunków ograniczających i warunków brzegowych:
,
(warunek dot. limitu zużycia drewna)
,
(warunek dot. limitu zużycia szkła)
(
)
,
(struktura zużycia drewna)
(
)
,
(struktura zyżycia szkła)
- liczba wyprodukowanych okien nie może być ujemna,
- zmienne decyzyjne należą do zbioru liczb całkowitych
4.
Określenie funkcji celu i kryterium optymalizacji:
5.
(
)
(maksymalizacja sumarycznego zysku
z produkcji okien )
Przykład 1.3 (
Zagadnienie. optymalnego składu mieszanin
)
Odlewnia przyjęła zamówienie na produkcję 500 t stopu zawierającego:
Do realizacji zamówienia odlewnia może zakupić 4 gatunki złomu:
Średni skład chemiczny oraz ceny poszczególnych gat. złomu zamieszczono w
tablicy:
5
Plik z chomika:
Puchaczo_o
Inne pliki z tego folderu:
Optymalizacja matematyczna w zarządzaniu Badania Operacyjne.pdf
(2766 KB)
Defekty struktur krystalicznych.pdf
(205 KB)
Wprowadzenie_do_Badan_Operacyjnych_z_Komputerem-T.Trzaskalik.pdf
(94812 KB)
algorytm transportowy, metoda simplex.doc
(58 KB)
badania.doc
(50 KB)
Inne foldery tego chomika:
BAT dla żelaza i stali
cynkowanie
Dobrzański metaloznawstwo
LUTOWANIE
pdf
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin