aksjomat.pdf

AKSJOMAT (gr. ˆ x • wma[aksíoma]—godno±¢,powa»anie,warto±¢)—zało»e-

nie,czylibazowezdanieniedowodzonewjakiej±nauce,azwł.wteoriide-

dukcyjnej.

Terminua.nieu»ywanowci¡guwiekówjednoznacznie.Arystotelesista-

ro»ytnimatematycyrozumieligonajcz¦±ciejjakoogólnezało»eniebezpo±rednio

oczywisteiniedowodliwe,wspólnedlawielunauk.W±redniowieczuiczasach

nowo»ytnychtermintenmiałnaogółsensarystotelesowski.DopieroodXIXw.,

azwł.uwspółczesnychlogikówimatematyków,a.tozdaniewyra¹niewymie-

nionejakonaczelnaprzesłankaiprzyj¦tewsystemiededukcyjnymbezdowodu.

Niebierzesi¦przytympoduwag¦,czyzdanietojestoczywiste,czyte»nie.

Nazwaa.przysługujejakiemu±zdaniunieabsolutnie,leczzewzgl¦duna

jegorol¦wokre±lonymsystemie.Wteoriimnogo±ciprzyj¦łysi¦specyﬁczne

nazwya.,jaka.ekstensywno±ci(dwazbioryzło»oneztychsamychelementów

s¡identyczne),a.niesko«czono±ci(istniejeprzynajmniejjedenzbiórmaj¡cynie-

sko«czeniewieleelementów),a.wyboru(istniejefunkcja,któraka»dejmnogo±ci

posiadaj¡cejwogóleelementy,przyporz¡dkujejedenztychelementów).

Ogóła.jakiej±teorii,wystarczaj¡cydoudowodnieniawszystkichjejtez,

nazywasi¦układema.alboaksjomatyk¡.Niesko«czeniewielea.mo»nazapisa¢

jakoschemata.Naukazbudowanatak,»eka»daspecyﬁcznajejtezajest

alboa.,albodajesi¦udowodni¢woparciuoukłada.tejnaukiizało»e«

przyj¦tychzinnychteorii,tworzysystemaksjomatyczny(teori¦aksjomatyczn¡).

Post¦powaniezmierzaj¡cedouj¦ciajakiej±naukiwtakisystemzwiesi¦

aksjomatyzacj¡,metodaza±budowaniatakichsystemównosimianometody

aksjomatycznej.

Za.wi¡»esi¦dwojakaproblematyka:metodologicznaignozeologiczna;

pierwszadotyczyrolia.wnauce,druga—sposobuiwarto±ciichpoznania.

Zagadnieniefunkcjonowaniaa.wyst¡piłoju»uArystotelesa.Uwa»ałon,

»ewwiedzyapodyktycznejtrzebaodró»ni¢zało»eniawspólnewielunaukom

(a.)odzało»e«specyﬁcznychdlaposzczególnychdyscyplin.Pierwszes¡oczy-

wistyminajogólniejszymipewnikamiobycie,niebywaj¡nigdywyra¹niefor-

mułowane,ales¡faktycznieu»ywaneiznanedobrzeka»demu,ktocokolwiek

poznaje.Przykłademjestzasadaniesprzeczno±ci,zasadawył¡czonego±rodka

itp.Zało»eniaspecyﬁczneposzczególnejnaukis¡podstawowymiokre±lenia-

mijejprzedmiotuidziel¡si¦nadeﬁnicjeoraztwierdzenianaczelne.Podob-

niebyłouEuklidesa,którywymieniatrojakiezało»enia:deﬁnicje(wyja±nienia

iokre±leniaterminów),postulaty(oczywistezało»eniakoniecznedlakonstruk-

cjiﬁgurgeometrycznych;cz¦±ciowoodpowiadaj¡specyﬁcznymtwierdzeniom

naczelnymArystotelesa)ia.(wsensiearystotelesowskim).Noweuj¦cierolia.

wsystemiededukcyjnymukształtowałosi¦dopieronaprzełomieXIXiXXw.

Odró»niasi¦trzystadianaukapriorycznych:przedaksjomatyczne,aksjomatycz-

neisformalizowane.Pierwsz¡posta¢deﬁnicjicharakteryzujeto,»edopuszczal-

nes¡wniej,jakoprzesłanki,wszelkietezyogólneoczywiste,czylitzw.pew-

niki.Drugiszczebeldedukcjistanowisystemaksjomatyczny,wktórymbazowe

przesłankis¡wyra¹niewymienione.Trzeciestadiumosi¡gasystemdedukcyjny

przezformalizacj¦.Zało»enia(postulaty)staj¡si¦nietylkonaczelnymiprze-

słankami,lecztak»edeﬁnicjamiaksjomatycznymi(konstytuuj¡sensterminów

specyﬁcznychformalizowanejteorii).Niebior¡cpoduwag¦wpostulatachpo-

zasystemowegosensuempirycznego,dlaunikn¦ciadowolno±cistawiasi¦im

aksjomat PEF—©CopyrightbyPolskieTowarzystwoTomaszazAkwinu 1

nast¦puj¡cewarunki:niesprzeczno±¢,kategoryczno±¢,niezale»no±¢,zupełno±¢

irozstrzygalno±¢.Okazałosi¦jednak,»edwóchostatnichniemo»espełni¢»ad-

nabogatszateoriasformalizowana.

Rozumiej¡ca.jakozało»eniesystemudedukcyjnegospełniaj¡cejedynie

okre±lonewarunkiformalne,niemapotrzebyzastanawia¢si¦nadsposobem

jegopoznaniai¹ródłemjegoprawdziwo±ci.Inaczejwygl¡daproblema.jako

najogólniejszychzało»e«wszelkichdedukcji,ainaczejjakospecyﬁcznychzało-

»e«wnaukachformalnychlubrealnych.Ogólnietrzebaodró»ni¢wtejsprawie

dwiezasadniczegrupystanowisk:aprioryzmiempiryzm.Pierwszyuwa»a,»e

a.jestzupełnieniezale»nyoddo±wiadczenia(prawdywieczneR.Descartes’a,

prawdywrodzoneG.W.Leibniza).Wmniejostrejpostaciwyst¦pujeaprioryzm

uI.Kanta(a.wmatematycejestzdaniemsyntetycznymapriori)iuE.Husser-

la(a.jestwynikiembezpo±redniegoogl¡duistotyrzeczy).Natomiastempiry-

±cigłosz¡,»ea.jestindukcyjnymuogólnieniemjednostkowychzda«do±wiad-

czalnych(F.Bacon,J.S.Mill).Wodniesieniudonaukapriorycznychgłosisi¦

równie»,»ea.jestproduktemsumynieu±wiadomionychdo±wiadcze«iwnio-

skowa«(H.L.vonHelmholtz);wynikiemnieindywidualnego,leczzbiorowe-

godo±wiadczeniagatunkuludzkiegowjegorozwojuhistorycznym(H.Spen-

cer);zdaniemanalitycznym,którewyłuszczatylkosensu»ytychwnimtermi-

nów.Do±wiadczenieniemo»etegorodzajuzdaniaaniobali¢,anipotwierdzi¢.

Wnaukachrealnycha.jestpewnegorodzajuhipotez¡,któr¡ostatecznieroz-

strzygado±wiadczenie.Uzupełnieniemtegostanowiskajestkonwencjonalizm,

którydodaje,»edo±wiadczeniesprawdzaalboobalaa.pouprzednimumow-

nymzaostrzeniusensuterminów(H.Poincaré).Arystotelespróbowałuzasadni¢

prawdziwo±¢a.metod¡dialektyczn¡iswoi±cieindukcyjn¡.T¦drug¡rozwin¡ł

±w.Tomasz.A.poznawanyjestbezpo±redniopozrozumieniuterminówgene-

tyczniewywodz¡cychsi¦zdo±wiadczenia.Intelektujmujebezpo±redniopewne

koniecznezwi¡zkizachodz¡cemi¦dzytymiterminami.

StanisławKami«ski

Bibliograﬁa: T.Kotarbi«ski, Elementyteoriipoznania,logikiformalnejimetodologiinauk ,Lw

1929,Wwa1959 2 ;J.Salamucha, Poj¦ciededukcjiuArystotelesai±w.TomaszazAkwinu.Studium

historyczno-krytyczne ,Wwa1930,przedrukw:ten»e, Wiedzaiwiara ,Lb1997,229–329;P.Choj-

nacki, Aksjomatyzacjaiformalizowaniededukcjiizastosowaniedoontologii ,CollectaneaTheologica

24(1953),5–29;R.Blanche, L’axiomatique ,P1955;K.Ajdukiewicz, TheAxiomaticSystemsfromthe

MetodologicalPointofView ,SL9(1960),205–216;A.Grzegorczyk, Uzasadnianieaksjomatówteorii

matematycznych ,SL13(1962),197–201; Historiamatematykiodczasównajdawniejszychdopocz¡t-

kuXIXstulecia ,Wwa1975;S.Kami«ski, KoncepcjanaukiuArystotelesa ,ZNauk16(1980)z.1,

11–17; Filozoﬁamatematyki.Antologiatekstówklasycznych ,Pz1986,1994 2 ;R.Murawski, Filozoﬁa

matematyki.Zarysdziejów ,Wwa1995.

StanisławKami«ski,PawełGarbacz

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: