29. Dyfrakcja.pdf

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 29

29. Dyfrakcja

Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu się

promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny).

Wyjaśnienie dyfrakcji w oparciu o zasadę Huyghensa - Fresnel (przełom XVIII i XIX

w). (W jego czasach wierzono, że fale świetlne są falami mechanicznymi w przenikają-

cym wszechświat eterze . Dopiero Maxwell pokazał, że fale świetlne są falami elektro-

magnetycznymi, a Einstein odrzucił postulat konieczności istnienia eteru).

Rysunek (a) pokazuje ogólnie na czym polega dyfrakcja.

Fala ze źródła S pada na szczelinę B i przechodzące przez otwór pada na ekran C . Natę-

żenie w punkcie P można obliczyć dodając do siebie wszystkie zaburzenia falowe (tj.

wektory E ). Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i fazy ponieważ:

• elementarne źródła Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych odległościach od

punktu P .

• światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami.

Taka sytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe)

pojawia się gdy źródło fal S i ekran ( C ), na którym powstaje obraz znajdują się w skoń-

czonej odległości od ekranu ze szczeliną ( B ). Taki przypadek nosi nazwę dyfrakcji

Fresnela . Obliczenia natężeń światła są w tej sytuacji trudne.

Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran C odsuniemy na bardzo duże odległości od

otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy dyfrakcją Fraunhofera . Czoła

fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak to wi-

dać na rysunku (b).

z ba rd zo

odległęgo

źródła

do bardzo

odległego

ekranu

29-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można zrealizować w laboratorium za

pomocą dwu soczewek (rysunek c).

Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległa, a druga skupia w punkcie P

fale płaskie opuszczające otwór. Wszystkie promienie oświetlające punkt P opuszczają

otwór równolegle do linii przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki). Warunki

dyfrakcji Fraunhofera były z założenia spełnione w doświadczeniu Younga.

W dalszej części wykładu będziemy zajmować się tylko dyfrakcją Fraunhofera.

29.1 Pojedynczaszczelina

Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości a .

Rozpatrzmy punkt środkowy P 0 ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego

punktu te same drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą

ilość długości fal (soczewki cienkie). Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fa-

zie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie.

Dlatego w środkowym punkcie P 0 będzie maksimum.

P 0

Rozpatrzmy teraz inny punkt P 1 na ekranie (rysunek poniżej). Promienie docierające do

P 1 wychodzą ze szczeliny pod kątem θ. Jeden promień ma początek u góry szczeliny, a

drugi w jej środku. (Promień xP 1 przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchy-

lany).

29-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

P 1

b ’

P 0

λ /2

Jeżeli wybierzemy punkt P 1 tak, żeby różnica dróg bb ’ wynosiła λ/2 to promienie zgod-

ne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P 1 fazy przeciwne i wygaszą się. Podob-

nie każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z

odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości a /2 poniżej. Punkt P 1

będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisujący to

minimum ma następującą postać

sin

czyli

a sinθ = λ

Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny była równa λ wtedy pierwsze minimum pojawiłoby

się dla θ = 90° czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę rozszerza-

nia szczeliny środkowe maksimum staje się węższe. (Podobnie było dla interferencji

Younga w miarę zmiany odległości między szczelinami punktowymi). Podobne rozwa-

żania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie

dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci

a sinθ = m λ, m = 1, 2, 3,...... (minimum)

(29.1)

Mniej więcej w połowie między każdą para sąsiednich minimów występują oczywiście

maksima natężenia.

29.2 Pojedyncza szczelina, rozważania jakościowe

Teraz chcemy znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym obszarze dyfrakcyj-

nym w funkcji kąta θ. Teraz zrobimy to jakościowo.

Wyobraźmy sobie, że szczelinę o szerokości a dzielimy na N pasków o małej szeroko-

ści ∆ x . Każdy pasek jest źródłem fal kulistych Huyghensa, które wytwarzają na ekranie

określone zaburzenie falowe.

29-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

∆ x sin θ

P 0

Różnica dróg między sąsiednimi paskami wynosi ∆ x sinθ stąd różnica faz ∆ϕ pomiędzy

falami pochodzącymi z sąsiednich pasków wynosi

∆

ϕ sin

∆

czyli

∆

sin

• Zakładamy, że paski są tak wąskie, że wszystkie punkty na danym pasku mają tę sa-

mą drogę optyczną do punktu P (całe światło ma tę samą fazę).

• Dla małych kątów θ amplitudy ∆ E 0 zaburzeń falowych w punkcie P pochodzące od

różnych pasków przyjmujemy za jednakowe.

Zatem w punkcie P dodaje się N wektorów (pól elektrycznych E ) o tej samej amplitu-

dzie ∆ E 0 , tej samej częstości i tej samej różnicy faz ∆ϕ między kolejnymi wektorami.

Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P , tzn. dla różnych ką-

tów θ, tzn. dla różnych ∆ϕ.

Poniżej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku różnych

miejsc na ekranie.

• Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum środkowego (∆ϕ=0°).

• Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum

środkowego (∆ϕ=5°).

• Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (∆ϕ=30°).

• Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza środkowym)

(∆ϕ=42°).

29-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

E θ = E M

E θ = 0

EE θ

E θ

Zwróćmy uwagę, że długość łuku jest zawsze równa E M ale amplituda E θ jest różna.

Wektory na rysunku odpowiadają amplitudom (a nie natężeniom). Żeby otrzymać natę-

żenia trzeba je podnieść do kwadratu. W przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego

natężenia kolejnych maksimów nie są jednakowe .

29.3 Pojedyncza szczelina, rozważania ilościowe

Na rysunku poniżej jest przedstawiona konstrukcja służąca do obliczenia natężenia

światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej

na poprzednim rysunku (b).

E θ

E m

Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele małych pasków o szerokości d x to

łuk strzałek będzie łukiem koła o promieniu R . Długość łuku wynosi E m czyli równa jest

amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek).

Kąt ϕ w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w

łuku tzn. ϕ jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeli-

ny.

29-5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: