przestrzen_wektorowa.pdf
(
362 KB
)
Pobierz
PRZESTRZEÑ WEKTOROWA \(LINIOWA\)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
Def. 1
(X, K,
⊕
,
⊗
)
X
≠
∅
, K - ciało
⊕
: X
×
X
→
X (
⊕
to działanie wewnętrzne w zbiorze X)
⊗
: K
×
X
→
X (
⊗
to działanie zewnętrzne w zbiorze X)
Strukturę (X, K,
⊕
,
⊗
) nazywamy przestrzenią wektorową :
⇔
1)
Struktura (X,
⊕
) jest grupą abelową
2)
x,y X α K: α (x y) (α x) (α y)
∀∈∀∈ ⊗⊕=⊗⊕⊗
3)
α,
β
∈
K
∀
x
∈
X
α(:
⋅
β)
⊗
x
=
α
⊗
(β
⊗
x)
∧
(α
+
β)
⊗
x
=
(α
⊗
x)
⊕
(β
⊗
x)
4)
∀
1
∈
X
⊗
x
=
x
Elementy zbioru X nazywamy wektorami, a elementy ciała K – skalarami.
Przyjmujemy umo
w
ę:
-x
wektor
-X
przestrzeń
wektorowa
Przykład 1
(
R
3
,
R
,
⊕
,
⊗
)
Definiujemy działania:
R
3
∋
(x
1
, y
1
, z
1
)
⊕
(x
2
, y
2
, z
2
) := (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
, z
1
+ z
2
)
R
∋
α
⊗
(x, y, z) := (
α
x,
α
y,
α
z)
Sprawdzamy czy (
R
3
, ,
⊕
,
⊗
) jest przestrzenią wektorową.
R
Czy (
R
3
,
⊕
) jest grupą abelową?
[(x
1
, y
1
, z
1
)
⊕
(x
2
, y
2
, z
2
)]
⊕
(x
3
, y
3
, z
3
) = (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
, z
1
+ z
2
)
⊕
(x
3
, y
3
, z
3
) =(x
1
+ (x
2
+ x
3
), y
1
+ (y
2
+y
3
), z
1
+ (z
2
+z
3
)) = (x
1
, y
1
, z
1
)
⊕
[(x
2
, y
2
, z
2
)
⊕
(x
3
, y
3
, z
3
)]
wniosek: działanie
⊕
jest łączne
Z przemienności dodawania wynika prze
m
ienność działania
⊕
.
Elementem neutralnym działania
⊕
jest
0
=(0, 0, 0)
Każdy element (x, y, z) posiada element przeciwny równy (-x, -y, -z)
bo (x, y, z)
⊕
(-x, -y, -z) = (0, 0, 0)
∧
(-x, -y, -z)
⊕
(x, y, z) = (0, 0, 0)
Więc struktura (
R
3
,
⊕
) jest grupą abelową. Pozostałe warunki łatwo
sprawdzić.
Wniosek
: (
R
3
, ,
⊕
,
⊗
) – jest przestrzenią wektorową.
R
Przyjmujemy umowę:
Zamiast
⊕
piszemy +, a zamiast
⊗
piszemy „
⋅
” i przestrzeń wektorową
zapisujemy: (X, K, +,
⋅
)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 10
Część 4 - Przestrzeń wektorowa
∀
x
Def. 2
Element ne
u
tralny działania + nazywamy wektorem zerowym i
oznaczamy:
0
Przykład 2
X
≠
∅
F(X, ) = {f: f: X
→
R
} -- zb. odwzorowań
R
(F(X,
R
),
R
, +,
⋅
)
Definiujemy działania:
+ : F(X, )
×
F(X,
R
)
→
F(X, )
R
R
R
f + g = h :
⇔
∀
x
∈
X
:
(f
+
g)(x)
=
f(x)
+
g(x)
=
h(x)
α
⋅
f = g :
⇔
∀
x
∈
X (
α
⋅
f)(x) =
α
⋅
f(x)
W tym pr
zy
padku
w
ektorami są odwzorowania.
F(X, )
∋
R
0
:
∀
x
∈
X
0
(x)
=
0
(Wektorem zerowym jest odwzorowanie!)
Łatwo zauważyć, że spełnione są odpowiednie warunki i struktura
(F(X,
R
),
R
, +,
⋅
) jest przestrzenią wektorową.
Def. 3
Z: (X, K, +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
U
≠
∅
, U
⊂
X
Strukturę (U, K, +,
⋅
) nazywamy podprzestrzenią wektorową przestrzeni X
:
⇔
1)
∀
y
∈
U
(:
+
y
∈
U
2)
∀
∈
K
∀
x
∈
U
:
(α
⋅
x
∈
U
Przykład 3
(R
3
, R, +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa (patrz: Przykład 1)
a).
U := {(x, y, z)
∈
R
3
: x + y + z = 0}
Sprawdzamy, czy (U, , +,
⋅
) jest podprzestrzenią przestrzeni
R
R
3
.
U
≠
∅
ponieważ np. (1, 0, 1)
∈
U
U
∋
x
= (x
1
, y
1
, z
1
)
⇒
x
1
+ y
1
+ z
1
= 0
U
∋
y
= (x
2
, y
2
, z
2
)
⇒
x
2
+ y
2
+ z
2
= 0
Pytamy, czy
y
x +∈
U (pierwszy warunek podprzestrzeni)
x +
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
, z
1
+ z
2
)
x
1
+ x
2
+ y
1
+ y
2
+ z
1
+z
2
= (x
1
+ y
1
+ z
1
) + (x
2
+ y
2
+ z
2
) = 0 + 0
Te
ra
z pytamy, czy
x
α⋅∈
U (drugi warunek podprzestrzeni)
α⋅
=
α⋅
(x, y, z) = (
α
x,
α
y,
α
z)
α
x +
α
y +
α
z =
α
(x + y +z) =
α⋅
0 = 0
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 10
Część 4 - Przestrzeń wektorowa
f, g
∈
F(X, )
x
α
y
x
Wniosek
: ponieważ spełnione są obydwa powyższe warunki to (U,
R
,+,
⋅
)
jest podprzestrzenią przestrzeni
R
3
b).
V := {(x, y, z)
∈
R
3
: x + y + z = 1}
Sprawdzamy, czy struktura (V, R, +,
⋅
) jest podprzestrzenią przestrzeni
R
3
.
V
≠
∅
ponieważ np. (1, -1, 1)
∈
V
V
∋
x
= (x
1
, y
1
, z
1
)
⇒
x
1
+ y
1
+ z
1
= 1
V
∋
y
= (x
2
, y
2
, z
2
)
⇒
x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
Pytamy, czy
y
x +∈
U (pierwszy warunek podprzestrzeni)
x +
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
, z
1
+ z
2
)
x
1
+x
2
+ y
1
+y
2
+ z
1
+z
2
= (x
1
+ y
1
+ z
1
) + (x
2
+ y
2
+ z
2
) = 1 + 1 = 2
≠
1
y
Wniosek
: Ponieważ powyższy warunek nie jest spełniony to (V, R, +, ) nie
jest podprzestrzenią przestrzeni
R
3
.
Twierdzenie 1
Każda podprzestrzeń przestrzeni wektorowej jest przestrzenią wektorową.
Z: (X, K, +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa,
U
≠
∅
∧
U
⊂
X
(U, K, +,
⋅
) – podprzestrzeń wektorowa przestrzeni X
T: (U, K, +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
Własności działań w przestrzeni wektorowej.
1)
∀
x
∈
X
x:
⋅
0
=
0
2)
∀
α =
∈
K
α:
⋅
0
0
3)
∀
α
∈
K
∀
x
∈
X
-:
(α
⋅
x
=
(
−
α)
⋅
x
=
α
⋅
(
−
x
4)
∀
α
∈
K
∀
x
∈
X
α:
⋅
x
=
0
⇔
α
=
0
∨
x
=
0
5)
∀
α
≠
0
∀
x
y
∈
X
α:
⋅
x
=
α
⋅
y
⇒
x
=
y
6)
∀
α,
β
∈
K
∀
x
≠
0
α:
⋅
x
=
β
⋅
x
⇒
α
=
β
Twierdzenie 2
(Warunek konieczny i wystarczający na podprzestrzeń).
Z: (X, K, +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
U
≠
∅
∧
U
⊂
X
T: (U, K, +,
⋅
) jest podprzestrzenią przestrzeni X
⇔
U
α,
β
∈
K
∀
x
y
∈
U
:
(α
⋅
x
+
β
⋅
y
∈
Twierdzenie 3
Z: (X, K, +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 10
Część 4 - Przestrzeń wektorowa
∀
U
≠
∅
∧
U
⊂
X
T: (U, K, +,
⋅
) jest podprzestrzenią przestrzeni X
⇔
∀
α
1
,
α
2
,...,
α
n
∈
K
∀
x
1
,
x
2
,...,
x
n
∈
U
:
(α
1
⋅
x
1
+
α
2
⋅
x
2
+
...
+
α
n
⋅
x
)
∈
U
Def. 4
Z: (X, K, +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
K
1
,
x
2
,...,
x
n
∈
X
∧
α
1
,
α
2
,...,
α
n
∈
=
Mówimy, że wektor
x
jest kombinacją liniową wektorów
α
1
⋅
x
1
+
α
2
⋅
x
2
+
...
+
α
n
⋅
x
n
x
1
,
x
2
,...,
x
n
,α
- nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej.
21
α
α
,...,
n
Def. 5
(X, K, +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
X
1
,
x
2
,...,
x
n
∈
- wektory z przestrzeni X
n
Wektory
x
,
x
,...,
x
są liniowo zależne
:
⇔
∃
α
⋅
x
+
α
⋅
x
+
...
+
α
⋅
x
=
0
∧
Σ
α
2
i
>
0
1
2
n
1
1
2
2
n
n
i
=
Def. 6
(X, K, +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
X
1
,
x
2
,...,
x
n
∈
Wektory
x
1
,
x
2
,...,
x
n
są liniowo niezależne :
⇔
nie są liniowo zależne
(:
⇔
α
1
⋅
x
1
+
α
2
⋅
x
2
+
...
+
α
n
⋅
x
n
=
0
⇒
α
1
,
α
2
,...,
α
n
=
0
)
Przykład 4
(
R
3
, , +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
R
a).
u
=
(0,1,1)
v
=
(1,0,0)
w
=
(1,1,1)
Sprawdzamy, czy wektory
w
u
,
v
są liniowo zależne/niezależne
⋅
α
(0,1,1) +
β
(1,0,0) +
γ
(1,1,1) = (0,0,0)
(0,
α
,
α
) + (
β
,0,0) + (
γ
,
γ
,
γ
) = (0,0,0)
(
β
+
γ
,
α
+
γ
,
α
+
γ
) = (0,0,0)
Otrzymujemy układ równań:
α
u
+
β
⋅
v
+
γ
⋅
w
=
0
β
+
γ
=
0
α
+
γ
=
0
α
+
γ
=
0
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
α
=
-t
β
=
-
t
t
∈
R
γ
=
t
Czyli
∃α
,
β
,
γ
:
α≠
0 v
β≠
0 v
γ≠
0 :
α
⋅
u
+
β
⋅
v
+
γ
⋅
w
=
0
Np. dla t=2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 10
Część 4 - Przestrzeń wektorowa
n
x
x
x
1
x
Pytamy kiedy
α
=
-2
β
=
-
2
γ
=
2
Wniosek
: Wektory
w
u
,
v
są liniowo zależne.
b).
u
=
(3,2,-1)
v
=
(1,-2,1)
w
=
(1,1,1)
⋅
α
(3,2,-1) +
β
(1,-2,1) +
γ
(1,1,1) = (0,0,0)
(3
α
+
β
+
γ
, 2
α
-2
β
+
γ
, -
α
+
β
+
γ
) = (0,0,0)
Otrzymujemy układ równań:
α
u
+
β
⋅
v
+
γ
⋅
w
=
0
-
α
+
β
+
γ
=
0
2α
-
2β
+
γ
=
0
3α
+
β
+
γ
=
0
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
α
=
0
β
=
0
γ
=
0
Wniosek
: Wektory
w
u
,
v
są liniowo niezależne.
Twierdzenie 4
Z: (X, K, + ,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
X
,
x
2
,...,
x
n
x
to współczynniki tej
kombinacji liniowej są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością do
kolejności)
1
,
x
2
,...,
x
n
Czyli
Jeżeli:
x
=
α
1
⋅
x
1
+
α
2
⋅
x
2
+
...
+
α
n
⋅
x
n
∧
x
=
β
1
⋅
x
1
+
β
2
⋅
x
2
+
...
+
β
n
⋅
x
n
to:
α
1
=
β
1
∧α
2
=
β
2
∧
...
∧α
n
=
β
n
Twierdzenie 5
Z: (X, K, +,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
X
,
x
2
,...,
x
n
x
są liniowo zależne
⇔
przynajmniej jeden z nich jest
kombinacją liniową pozostałych (
⇔
1
,
x
2
,...,
x
n
∃
i
:
x
i
=
α
1
x
1
+
...
+
α
i
x
i
-
+
α
i
+
x
+
1
+
...
+
α
n
x
n
).
Wnioski:
1)
Jeżeli wektory są liniowo niezależne to żaden z nich nie jest
kombinacją liniową pozostałych,
2)
Zespół wektorów:
x
1
,
x
2
,...,
0
,...,
x
n
jest liniowo zależny.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 10
Część 4 - Przestrzeń wektorowa
Pytamy kiedy
1
∈
- liniowo niezależne
T: Jeżeli wektor
x
jest kombinacją wektorów
x
1
∈
T: Wektory
x
-
1
i
Plik z chomika:
elaroma
Inne pliki z tego folderu:
Sterowniki PLC - Andrzej Pieczyński.pdf
(12383 KB)
Programowanie streowników PLC oraz wizualizacja procesu sterowania(1).pdf
(611 KB)
Sieci_LAN__MAN_i_WAN_-_protoko__322_y_komunikacyjne.pdf
(31964 KB)
[Cewe, Nahorska, Pancer] Tablice Matematyczne.rar
(16580 KB)
Łanowy, Przybylak, Szlęk - Równania różniczkowe.pdf
(12733 KB)
Inne foldery tego chomika:
• Zagadki • Zadania
1
Asterix
Boże Narodzenie
BSiSK
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin