WYKORZYSTANIE WARTO¨CI PIENI˝DZA W CZASIE [TVM] DO WYCENY AKTYWËW FINANSOWYCH.doc

1

Wykorzystanie wartości pieniądza w czasie [TVM] do wyceny aktywów finansowych

·             Procent składany, efektywna stopa procentowa, FV wartość przyszła

·             Dyskonto, PV wartość obecna

·             NPV

·             Wewnętrzna stopa zwrotu, IRR

·             Rentowność papierów dyskontowych a stopa dyskonta

·             Wycena instrumentów rynku kapitałowego

·             Charakterystyka obligacji

·             Kurs obligacji

·             Wrażliwość kursów papierów o stałym oprocentowaniu i zero kuponowych na zmiany stopy procentowej

·             Duracja

·             Rentowność obligacji

·             YTM obligacji o stałym oprocentowaniu i zero kuponowych

Procent składany

Koncepcja procentu składanego wykorzystywana jest w transakcjach finansowych, które mają strukturę czasową, wydatki i /lub wpływy są rozłożone na więcej niż jeden okres. Kluczowym punktem koncepcji procentu składanego jest uwzględnianie, iż nie tylko kapitał ale i procent daje  procent, jest reinwestowany.

Procent składany wykorzystuje się z  uwzględnieniem naliczeń od kapitału i sumy procentów po każdym okresie aby odpowiedzieć na pytanie jaka jest "przyszła wartość"[FV] danej dzisiaj kwoty PV podlegającej powiększaniu z okresu na okres procentem składanym. Ogólnie:

Mając dana kwotę PV i zakładając, że roczna odsetkowa stopa procentowa wynosi r mamy po upływie roku:

FV1=PV+r*PV=PV(1+r)

Po dwóch okresach:

FV2=PV+r*PV+r*PV(1+r)=PV(1+r) +r*PV(1+r)=PV(1+r)(1+r)=PV(1+r)^2.

[Symbolem ^ oznaczamy potęgowanie, * mnożenie, / lub : dzielenie.]

Po n okresach:

FVn=PV(1+r)^n

Na przykład, jaka jest za 10 lat przyszła wartość FV kwoty PV=1.000 zł oprocentowanej  12 % rocznie  ?

FV=PV*(1+r)^n;  gdzie:

r=odsetkowa stopa procentowa dla danego okresu [to jest stopa procentowa:100%]; n =liczba okresów naliczania procentu.

FV=1000(1+12%/100%)^10=1000*(1.12)^10=1000*3.105=3105zł

Nawet niewielkie zmiany wysokości procentu  przy długich okresach powodują istotne różnice w wyniku: 1000 zł oprocentowane na 12% p.a. po 25 okresach daje:  1000*1.12^25=1000*17=17.000 zł a 13% rocznie dałoby  kwotę 1000*21.23=21.230 zł. Nieco ponad 8% wzrost stopy procentowej [z 12 do 13%] daje około 25%  [21230:17000] wzrost wyniku po 25 okresach.

Efektywna stopa procentowa

Często odsetki naliczane są częściej niż raz rocznie, na przykład półrocznie, kwartalnie miesięcznie lub codziennie, stosując jako podstawę tego naliczania nominalna stopę roczną. Jeśli odsetki naliczane są m razy rocznie, to dla wyliczenia wartości FV stosuje się wzór:

FV=PV(1+r/m)^m

Jeśli zamiast  naliczać procentem składanym 12 % rocznie, tak jak w przykładzie powyżej, naliczamy 12% p.a. ale w ujęciu kwartalnym to zamiast 3105 zł otrzymujemy:

1000*[1+(0.12:4)]^10*4=3262;

W przypadku 12% p.a. odsetki  naliczane miesięcznie= 1000*[1+(0.12:12)]10*12=3300 zł.

Ogólnie:

Efektywna roczna stopa procentowa=

{[1+(r: liczba podokresów)]^liczba podokresów}-1

Na przykład :

jeśli r=16% pa; odsetki naliczane kwartalnie, to

efektywna roczna stopa procentowa={[(1+(0.16:4)]^4}-1=0.1698, czyli 16.98%.

Jeśli odsetki naliczane byłyby  miesięcznie, to efektywna roczna stopa procentowa r=[1+(0.16:12)]^12-1 =0.1722, czyli 17.22%

Dyskonto

Jeśli zamiast pytania jaka będzie przyszła wartość kwoty, która dzisiaj jest znana pytamy jaka jest "obecna wartość" [PV] kwoty, która jest znana na określoną datę w przyszłości, to odwołujemy się do procesu dyskontowania. Dyskontowanie jest odwrotnością procentu składanego:

FV=PV*(1+r)^n

Dzielimy obie strony przez (1+r)^n

PV=FV :(1+r)^n

PV=FV* 1:(1+r)^n. Stopa procentowa  r staje się wtedy stopą dyskontową a wielkość 1:(1+r)^n będąca mianownikiem, to współczynnik dyskonta który dla r>0 przybiera wartości <1.

Stopę dyskonta okresla się także pojęciem "koszt kapitału" lub inaczej minimalna stopą zwrotu wymaganą przez inwestora.

Na przykład :  mamy otrzymać [lub wydać] za  rok 1000, za dwa lata 1500 i za trzy lata  2000 zł. Jaka jest obecna wartość sumy tych wpływów [lub wydatków] jeśli stopa dyskonta r=12% , czyli jest to "koszt kapitału" lub inaczej minimalna stopa zwrotu oczekiwana przez inwestora?

PV=1000:(1+0.12)^1+1500:(1+0.12)^2+2000:(1+0.12)^3=3521 zł.

Zapłata więc za te trzy przyszłe przychody rozłożone w czasie kwoty 3521 zł dzisiaj daje stopę zwrotu 12 % rocznie.

W przypadku gdy przychody lub wydatki są rozłożone w czasie ale stałe w każdym okresie dla wyliczenia ich obecnej wartości  PV nie ma potrzeby dyskontowania każdej z kwot osobno.

Jeśli uzyskiwana lub płacona kwota jest stała w czasie i płatna w nieskończoność to jej wartość obecna wynosi

PV=Stała kwota : r. Na przykład, stale utrzymywane w rachunku wyników odsetki od kredytu refinansowanego z okresu na okres, przy stopie podatku dochodowego 28% rocznie dają oszczędność podatkową równą rocznie 0.5mln zł*0.28= 140000 zł, PV tej kwoty jeśli założymy r=15% wynosi:

PV=140000:0.15=933333,33 zł.

Jeśli uzyskiwana lub płacona kwota jest stała w czasie , płatna w nieskończoność i rosnąca z okresu na okres według stałej stopy to jej wartość obecna równa się;

PV=stała kwota:(r-g), gdzie r to stopa dyskonta a g to stała stopa wzrostu. Jednym z zastosowań tego sposobu wyliczania PV jest ustalanie na tej podstawie oczekiwanej stopy dyskonta r nazywanej inaczej kosztem kapitału czyli kosztem funduszy własnych lub pożądaną stopą zwrotu z funduszy własnych, tak zwany model Gordona w określaniu kosztów funduszy własnych. Na przykład, znając cenę rynkową akcji , załóżmy 400 zł[to jest wielkość PV], wielkość dywidendy, załóżmy 20 zł [ stała kwota] i dynamikę wzrostu dywidendy, załóżmy 2%, [ czyli g] możemy wyliczyć:

Koszt kapitału=r=(stała kwota:PV) + g = (20:400) + 0.02= 0.05+0.02=0.07 czyli 7%.

Jeśli stała kwota wydatku lub wpływu wynosi A to obecna wartość takiego strumienia wynosi:

PV=A* 1/r*[1-1/(1+r)^n]

Na przykład jeśli A=10000 zł i jest płatne przez 10 lat a stopa dyskonta równa się 12%, to:

PV=10000 zł*1:0.12*[1-1/(1+0.12)^10]=10000zł*8.33*(1-1:3.1)=

10000 zł*8.33*(1-0.322)=10000 zł*8.33*0.677=10000zł*5.64=56400 zł

Obecna wartość dziesięciu wpływów rocznie po 10000 zł każdy wynosi więc 56400 zł.

Tę metodę porównywania wartości przyszłych i wartości obecnej wykorzystuje się powszechnie przy ustalaniu stałej kwoty spłat zaciąganej pożyczki lub kredytu. Jeśli kredyt oprocentowany na określony procent rocznie spłaca się w każdym terminie płatności raty kapitałowo-odsetkowej przez cały okres kredytowania stałą kwotą będącą suma płatności kapitałowych i odsetkowych, to taki sposób spłacania określa się jako "pożyczka amortyzowana" i dla wyliczenia stałej w całym okresie raty odsetkowo -kapitałowej wykorzystuje się tę samą co powyżej metodę:

Stała rata=kwota pożyczki:1/r*[1-1/(1+r)^n]

Na przykład kwota pożyczki 5 mln USD, oprocentowanie roczne 6,5%, płatne kwartalnie , pożyczka na 10 lat .

Stąd, r=0.065:4=0.01625; n=10*4=40

Stała rata=5mln USD:{(1:0.01625)*[1-1:(1.01625)^40]}=

5mln USD:61.54*[1-(1:1.9)]=5mln USD:61.54*(1-0.526)=

5mln USD:29.15=171526.58 USD

Czyli stała rata kredytowa wynosi 171526.58 zł

Czasami powstaje potrzeba ustalenia jaką stałą kwotę  należy wpłacać co okres aby po pewnej liczbie okresów zebrała się przy danej stopie zwrotu pewna pożądana kwota. Na przykład ile corocznie wpłacać aby przy stopie zwrotu 12% po 10 latach zebrana została kwota FV=52500 zł?  Wielkość tę wylicza się przez podzielenie FV przez współczynnik:

[(1+r)^n-1]:r

Czyli podstawiając za r=12% , n=10 lat otrzymujemy:

[(1+0.12)^10-1]:0.12=(3.1-1):0.12=17.5

Stąd, poszukiwana roczna kwota wpłat aby przy stopie zwrotu 12 % uzyskać po 10 latach kwotę 52500 zl wynosi:

52500:17.5=3000zł

Tak jak w przypadku procentu skladanego i naliczania odsetek w okresach krótszych niż rok występuje pojęcie efektywnej rocznej stopy procentowej ,  w przypadku dyskontowania częściej niż raz w roku występuje pojęcie efektywnej rocznej stopy dyskontowej.

Jeśli w przykladzie powyżej wpłaty byłyby miesięczne to konieczna ich wysokość w związku z 120 równymi wpłatami wyniesie:

r=0.12:12=0.01; n=10*12=120

[(1+0.01)^120-1]:0.01=(3.3-1):0.01=230

Czyli poszukiwana kwota miesięcznych wpłat wynosi:

52500:230=228,26 zł.

Przy wysokiej stopie dyskonta r i znacznej liczbie okresów (n),  PV szybko zbliża się do zera  : dla r=15% i n=5 lat PV kwoty 1 mln zł=0.5mln zł a dla n=100,  PV=85 groszy.

Gdy dyskontowane przyszłe wartości są kombinacją wpływów i wydatków to ich sumaryczną wartość obecną określa się jako "wartość obecną netto" NPV, to jest sumę liczb ze znakiem minus i znakiem plus:

Na przykład: r=15%

PV=3784 zł

PV=2881 zł

Co jest równoważne:

i daje NPV=PV wpływów minus PV wydatków 

NPV=3784-2881=903 zł

Reguła NPV

Znając strukturę czasową przyszłych wydatków i wpływów można dokonywać wyboru najlepszego wariantu  maksymalizującego wpływy lub minimalizującego wydatki kierując się regułą NPV, która oznacza że przy przyjętej stopie dyskonta  NPV powinno być większe od zera i najlepszy finansowo jest projekt o najwyższym NPV, czyli największej nadwyżce  zdyskontowanych wpływów nad zdyskontowanymi wydatkami.

Wpływ stopy dyskonta na wielkość NPV

Przy danym rozkładzie wydatków i wpływów w czasie NPV jest tym niższe im wyższa jest zastosowana stopa dyskonta. W przykładzie powyżej, NPV dla różnych stóp dyskonta kształtuje się następująco:

IRR -wewnętrzna stopa zwrotu

Stopa dyskonta przy której NPV=0 ma szczególną interpretację. Oznacza ona, że w tym momencie PV wydatków =PV wpływów. W naszym przykładzie wartości obecne wydatków i wpływów zrównują się przy stopie dyskonta równej 36.9% i ta stopa jest wewnętrzną stopą procentową IRR.

Taka stopa dyskonta przy której NPV=0 nazywa się wewnętrzną stopą zwrotu [IRR], stopą zwrotu DCF lub  stopą zwrotu YTM.

Stopę dyskonta przy której NPV=0 interpretuje się ją jako maksymalną stopę procentową ,  którą inwestor może zapłacić za zobowiązania które powstają w związku z realizowanym projektem, jeśli  będzie je spłacał według reguł kredytu w rachunku bieżącym z przychodów, które daje projekt.

IRR zmienia się wraz ze zmianą struktury czasowej strumienia wpływów i wydatków . Oddalanie wydatków i przybliżanie wpływów w czasie zwiększa IRR a przybliżanie wydatków i oddalanie wpływów w czasie zmniejsza IRR. Wewnętrzna stopa zwrotu IRR jest miarą absolutną, gdyż jej wysokość wynika wyłącznie ze struktury czasowej oraz wartości wpływów i wydatków a nie zależy od kosztów pieniądza. IRR można natomiast porównywać z ceną pieniądza czyli na przykład oprocentowaniem kredytu lub osiąganą stopą rentowności.

Wyliczenie wartości IRR, zwykle jako stopy rocznej, następuje w wyniku podstawiania metodą prób i błędów stopy dyskonta strumienia wpływów i wydatków tak aby otrzymać ich sumę równą NPV=0. Jeśli po podstawieniu stopy dyskonta wynik jest dodatni to znaczy, że wybraliśmy zbyt niską stopę dyskonta. Jeśli wynik to jest NPV jest ujemne  to znaczy, że wybraliśmy zbyt wysoką stopę dyskonta.

Wykorzystanie wartości pieniądza w czasie do wyceny instrumentów rynku pieniężnego

Rynek pieniężny obejmuje instrumenty finansowe, których termin zapadalności jest krótszy niż rok, liczony jako 365 dni. Czyli instrumenty pierwotnie wymagalne w okresie 364 dni [52 tygodni*7] lub krócej należą do rynku pieniężnego. Podstawowe instrumenty dłużne na tym rynku są sprzedawane bez oprocentowania jako papiery dyskontowe. Oznacza to, że w momencie ich emisji i w okresie do momentu wymagalności są sprzedawane zawsze poniżej ich wartości nominalnej, czyli z dyskontem a w dniu wymagalności wykupywane przez emitenta zawsze po wartości nominalnej.

Obliczanie rentowności papierów dyskontowych o różnej charakterystyce 

Stopa dyskonta zastosowana przy  kupnie/ sprzedaży i stopa rentowności, którą daje  zakup w okresie do terminu wykupu , pozwalają porównywać efektywność inwestycji w papiery dyskontowe o:

§         różnym nominale,

§         różnym dyskoncie i

§         różnych okresach do czasu wykupu,

uwzględniając oczywiście stopień ryzyka który im towarzyszy.

Na przykład:

papier komercyjny 4 tygodniowy o wartości nominalnej 500.000zł, sprzedawany za 493.000 zł daje stopę rentowności zakładając, że rok liczy 360 dni:

{[500.000-493.000]:493.000} *360:28= [7000 : 493.000 ] *12.857 = =0.18255=18.255%

bon  o nominale 10.000 zł i terminie wykupu za 217 dni sprzedawany z dyskontem po kursie 8975 zł, daje stopę rentowności:{[10.000-8975}:8975}* 360:217=0.1142*1.6589=0.18945=18.945%.

Wyliczenie dyskonta zapewniającego pożądaną stopę rentowności

Jeśli instrumenty rynku pieniężnego o podobnej klasie ryzyka dają niezależnie od ich nominałów i okresu do zapadalności, na przykład rentowność 17.555% i chcemy uplasować papier komercyjny na atrakcyjniejszych dla inwestorów warunkach powiedzmy zapewnić rentowność 18%, to konieczne do zaoferowania dyskonto wyliczamy następująco:

Nominał:[1+pożądana stopa rentowności *okres do wykupu:liczba dni w roku].

Na przykład, papier komercyjny 13 tygodniowy o nominale 1000 zł powinien mieć cenę jeśli założymy rok 360 dni:

1000:[1+0.18*91:360]=956,48 zł co daje rentowność: 43,52 : 956,48 * 3.956 = 0.18  = 18%.

Za ile sprzedać krótkoterminowy papier dłużny o nominale 100.000 zł emitowany na 4 tygodnie jeśli rok liczy 52 tygodnie a roczne koszty nie mogą przekroczyć 21.5%.

100%:[1+(21.5%:100%)*(4:52)]=100%:[1+(0.215*0.0769)]=100%:1.0165=

98.376%

Papier dłużny powinien być sprzedawany za nie mniej niż 98.376% jego ceny czyli za

100.000*0.98376=98376,78 zł

Za ile kupić krótkoterminowy papier dłużny o nominale 10.000 zł do wykupu 167 dni , rok liczy 366 dni jeśli akceptujemy rentowność nie niższą niż 4.5 pkt procentowego ponad inflację równą 10.3%?

100%:[1+(14.8%:100%)*(167:366)]=100%:[1+(0.148*0.456)]=100%:1.0675=

93.676%

Papier dłużny można kupić za najwyżej 93.676% jego ceny nominalnej czyli za 9367,7 zł.

...