6.pdf
(
93 KB
)
Pobierz
729609163 UNPDF
6Podprzestrzenieliniowe
Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałem
F
.
Definicja6.1
Podprzestrzeni¡liniow¡
przestrzeniliniowej
V
nazywamyta-
kijejniepustypodzbiór
U
V
,»e
(VS)
8
u
1
,u
2
2
U
8
a
1
,a
2
2
F
a
1
·
u
1
+
a
2
·
u
2
2
U.
Stwierdzenie6.2
Niepustypodzbiór
U
V
jestpodprzestrzeni¡liniow¡
przestrzeniliniowej
V
wtedyitylkowtedy,gdy
(VS1)
8
u
1
,u
2
2
U
u
1
+
u
2
2
U
(VS2)
8
u
2
U
8
a
2
F
a
·
u
2
U
Dowód:
)
)(VS1)wynikazpodstawienia
a
1
=
a
2
=1iaksjomatu
(V8),za±(VS2)zpodstawienia
u
2
=
istwierdzenia5.4.1.
(
)Dla
u
1
,u
2
2
U
oraz
a
1
,a
2
2
F
mamynapodstawie(VS2),»e
a
1
·
u
1
,a
2
·
u
2
2
U
.Warunek(VS1)gwarantuje,»esumadowolnychelementó
w
zezbioru
U
nale»ydo
U
,czylitak»e
a
1
·
u
1
+
a
2
·
u
2
2
U
.
Stwierdzenie6.3
Je»eli
U
jestpodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeniliniowej
V
,toka»dakombinacjaliniowaelementówzezbioru
U
nale»ydo
U
.
Dowód:
Windukcjiwzgl¦demliczbyniezerowychskalarówkombinacji
warunek(VS2)dajekrokpierwszy,akrokindukcyjnywynikazzastosowania
(VS2)oraz(VS1)dorówno±ci
a
1
·
v
1
+
...
+
a
n
·
v
n
+
a
n
+1
·
v
n
+1
=(
a
1
·
v
1
+
...
+
a
n
·
v
n
)+
a
n
+1
·
v
n
+1
.
Stwierdzenie6.4
Je»eli
U
jestpodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeniliniowej
V
,to
1.
2
U
2.
8
u
2
U
−
u
2
U
Dowód:
1.
U
jestzbioremniepustym,wi¦cistnieje
u
2
U
.Zwarunku(VS2)i
stwierdzenia5.4.1wynika,»e
U
3
0
·
u
=
.
2.Dla
u
2
U
zwarunku(VS2)istwierdzenia5.4.2wynika,»e
U
3
(
−
1)
·
u
=
−
u
.
1
Stwierdzenie6.2gwarantujewewn¦trzno±¢dodawaniawektorówwpod-
przestrzeniliniowej
U
orazto,»emno»eniewektoraprzezskalardziałaz
F
×
U
w
U
.Doł¡czeniestwierdzenie6.4pozwalastwierdzi¢,»e
U
,zdziała-
niamipochodz¡cymiz
V
obci¦tymido
U
,stanowiprzestrze«liniow¡.
Przykład6.5
0
Przestrze«trywialna
{
}
icałaprzestrze«
V
s¡podprze-
strzeniamiliniowymiprzestrzeni
V
.
1
Dla
n,k
2
N
,
k<n
,zbiór
8
>
<
9
>
=
F
k
×{
n
−
k
}
=
>
:
(
x
1
,...,x
k
,
0
,.
..
,
0
|{z}
n
−
k
);
x
1
,...,x
k
2
F
>
;
stanowipodprzestrze«liniow¡przestrzeniliniowej
F
n
.
2
Niech
a
1
,...,a
n
2
F
.Zbiór
{
(
x
1
,...,x
n
)
2
F
n
;
a
1
x
1
+
...a
n
x
n
=0
}
R
jestpodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeni
C
R
,je»eliliczbyrzeczywiste
traktujemyjakoparyodrugimelemencie0.
4
Dlaprzedziału
I
R
zbiór
C
1
(
I
)funkcjinaIposiadaj¡cychci¡gł¡
pierwsz¡pochodn¡jestpodprzestrzeni¡liniow¡przestrzenifunkcjici¡głych
C
(
I
).
Stwierdzenie6.6
Je»eli(
v
i
)
i
2
I
jestukłademwektorówzprzestrzeni
V
,to
lin((
v
i
)
i
2
I
)jestpodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeni
V
.
Podprzestrze«lin((
v
i
)
i
2
I
)jestnajmniejsz¡(wsensierelacjiinkluzji)pod-
przestrzeni¡liniow¡przestrzeni
V
zawieraj¡c¡wszystkiewektory
v
i
,
i
2
I
.
Dowód:
Warunek(VS2)jestoczywisty:niezerowewspółczynnikiwilo-
czyniekombinacjiliniowejprzezskalarznajduj¡si¦natychsamychmiej-
scach,cowkombinacjiwyj±ciowej.
Warunek(VS1)wynikazesko«czono±cisumydwóchzbiorówsko«czo-
nych(s¡nimiindeksyniezerowychwspółczynnikówwdwóchkombinacjach
liniowychukładu(
v
i
)).
Je»elipodprzestrze«liniowa
U
przestrzeni
V
zawierawszystkiewekto
ry
v
i
,
i
2
I
,tozestwierdzenia6.3wynika,»elin((
v
i
)
i
2
I
)
U
.
Wniosek6.7
Kombinacjaliniowawektorówb¦d¡cychkombinacjamilinio-
wymiukładu(
v
i
)
i
2
I
jesttak»ekombinacj¡liniow¡układu(
v
i
)
i
2
I
.
2
(zbiórrozwi¡za«
równanialiniowegojednorodnegoa
1
x
1
+
...
+
a
n
x
n
=0)
stanowipodprzestrze«przestrzeni
F
n
.
3
Stwierdzenie6.8
Je»eli
V
1
,...,V
n
s¡podprzestrzeniamiliniowymiprze-
strzeni
V
,to
V
1
\
...
\
V
n
jesttak»epodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeni
V
.
Wniosek6.9
Niech
m,n
2
N
oraz
I
=
{
1
,...,m
}×{
1
,...,n
}
.Rozwa»my
układ(
a
ij
)
(
i,j
)
2
I
skalarówciałaz
F
.Zbiórrozwi¡za«jednorodnegoukładu
równa«liniowychowspółczynnikach(
a
ij
),toznaczyukładu
8
>
<
>
:
a
11
x
1
+
...
+
a
1
n
x
n
=0
...
a
m
1
x
1
+
...
+
a
mn
x
n
=0
jestpodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeni
F
n
.
Dowód:
Wynikazestwierdzenia6.8orazprzykładu6.5.2.
Definicja6.10
Niech
V
1
,...,V
n
b¦d¡podprzestrzeniamiliniowymiprze-
strzeni
V
.Zbiór
V
1
+
...
+
V
n
=
{
v
1
+
...
+
v
n
;
v
1
2
V
1
,...,v
n
2
V
n
}
nazywamy
sum¡algebraiczn¡podprzestrzeniV
1
,...,V
n
.
Stwierdzenie6.11
Je»eli
V
1
,...,V
n
s¡podprzestrzeniamiliniowymiprze-
strzeni
V
,to
V
1
+
...
+
V
n
jesttak»epodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeni
V
.
Dowód:
Je»eli
w,w
0
2
V
1
+
...
+
V
n
,toistniej¡takie
v
1
,v
0
1
2
V
1
,...,v
n
,v
0
n
2
V
n
,»e
w
=
v
1
+
...
+
v
n
,
w
0
=
v
0
1
+
...
+
v
0
n
.Wówczasnamocy(V1)i(V4)
mamy
w
+
w
0
=(
v
1
+
v
0
1
)+
...
(
v
n
+
v
0
n
)
2
V
1
+
...
+
V
n
,
poniewa»
V
1
,...,V
n
s¡podprzestrzeniamiliniowymi.
Ponadtodla
a
2
F
zachodzi
a
·
(
v
1
+
...
+
v
n
)=(
a
·
v
1
)+
...
+(
a
·
v
n
)
2
V
1
+
...
+
V
n
.
Definicja6.12
Niech
V
1
,...,V
n
b¦d¡podprzestrzeniamiliniowymiprze-
strzeni
V
.Mówimy,»eprzestrze«
V
jest
sum¡prost¡
podprzestrzeni
V
1
,...,V
n
,
cozapisujemy
V
=
V
1
...
V
n
,je»eli
(DS1)
V
=
V
1
+
...
+
V
n
(DS2)
8
j
=1
,...,n
V
j
\
n
X
V
i
=
V
j
\
(
V
1
+
...
+
V
j
−
1
+
V
j
+1
+
...
+
V
n
)=
{
}
i
=1
,i
6
=
j
Przykład6.13
1
Dla
v
1
,...v
n
2
V
prawdziwajestrówno±¢lin(
v
1
)+
...
+
lin(
v
n
)=lin(
v
1
,...,v
n
).
3
Przestrze«lin(
v
1
,...,v
n
)niejestnaogółsum¡prost¡podprzestrzeni
lin(
v
1
)
,...,
lin(
v
n
),naprzykładje»eli
v
2
V
\{
}
,tolin(
v
)
\
lin(
v
)=lin(
v
)
podczas,gdylin(
v,v
)=lin(
v
).
2
F
2
=
F
F
,
F
n
=
F
.
.
.
F
| {z }
n
,
F
k
×{
n
−
k
}
{
k
}×
F
n
−
k
F
n
=
.
3
C
R
=
R
i
R
.
4
V
1
×
V
2
=(
V
1
×{
2
}
)
(
{
1
}×
V
2
).
4
Plik z chomika:
BYSTRYYY_88
Inne pliki z tego folderu:
19.pdf
(101 KB)
18.pdf
(105 KB)
17.pdf
(101 KB)
16.pdf
(93 KB)
15.pdf
(91 KB)
Inne foldery tego chomika:
Automatyka
Certyfikacja i Akredytacja
Elektrotechnika
Grafika
Grafika_aCad
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin