14.pdf
(
91 KB
)
Pobierz
729610093 UNPDF
14Przestrze«afiniczna
Definicja14.1
Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałem
F
.
Prze-
strzeni¡afiniczn¡
oprzestrzeniwektorówswobodnych
V
nazywamyukład
(
E,V,
−!
),gdzie
E
jestzbioremniepustym,a
−!
:
E
×
E
!
V
jestfunkcj¡
tak¡,»e
(A1)
8
p
2
E
8
v
2
V
9
!
q
2
E
−!
pq
=
v
(A2)
8
p,q,r
2
E
−!
pq
+
−!
qr
=
−!
pr
Elementyzbioru
E
nazywamy
punktami
,aelementyzbioru
Vwektorami
(
swobodnymi
).
Stwierdzenie14.2
Wprzestrzeniafinicznej(
E,V,
−!
)dlapunktów
p,q
2
E
spełniones¡warunki
1.
−!
pq
=
wtedyitylkowtedy,gdy
p
=
q
;
2.
−!
qp
=
−
−!
pq.
Dowód:
1.Bior¡cw(A2)
p
=
q
=
r
otrzymujemy,»e
−!
pp
=
.Naodwrót,je»eli
−!
pq
=
,towrazz
−!
pp
=
tonamocy(A1)otrzymujemy
q
=
p
.
2.Z(A2)i1.wynika,»e
=
−!
pp
=
−!
pq
+
−!
qp
,czyli
−!
qp
=
−
−!
pq
.
Przykład14.3
Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡idla
p,q
2
V
−!
pq
=
q
−
p
.Wówczastrójka(
V,V,
−!
)jestprzestrzeni¡afiniczn¡.B¦dziemyoznacza¢
j¡przez
E
(
V
),awprzypadku
V
=R
n
—poprostuE
n
.
Definicja14.4
Sum¡punktup
2
Eiwektorav
2
V
nazywamyjedynytaki
punkt
q
2
E
,»e
−!
pq
=
v
.Piszemywówczas
q
=
p
+
v
imówimy,»ewektor
v
został
zaczepiony
wpunkcie
p
.
Je»eli
U
V
,to
p
+
U
jestzbioremwszystkichsumpostaci
p
+
u
,gdzie
u
2
U
.
Stwierdzenie14.5
Dladowolnych
p,q
2
E
oraz
u,v
2
V
spełniones¡
nast¦puj¡cewarunki:
1.
−−−−−−−−!
2.Je»eli
p
+
v
=
q
+
v
,to
p
=
q
.
3.Je»eli
p
+
u
=
p
+
v
,to
u
=
v
.
4.(
p
+
u
)+
v
=
p
+(
u
+
v
).
1
p
+
u,p
+
v
=
v
−
u
.
Dowód:
1.Niech
p
+
u
=
q
i
p
+
v
=
r
.Wówczas
−!
pq
=
u
i
−!
pr
=
v
.St¡d
−−−−−−−−!
p
+
u,p
+
v
=
−!
qr
=
−!
qp
+
−!
pr
=
v
−
u.
2.Je»eli
r
=
p
+
v
=
q
+
v
,to
v
=
−!
pr
=
−!
qr
.St¡d
−!
pq
=
−!
pr
−
−!
qr
=
.
3.Wynikaz1.
4.Niech
p
+
u
=
q
i
q
+
v
=
r
.Wówczas
−!
pr
=
−!
pq
+
−!
qr
=
u
+
v
.
takich,»e
P
i
2
I
a
i
=1,nazywamypunkt
p
2
E
,którydladowolnego
q
2
E
spełniawarunek
−!
qp
=
X
i
2
I
a
i
−!
qp
i
.
Piszemywówczas
p
=
X
i
2
I
a
i
p
i
.
Zbiórwszystkich±rodkówci¦»ko±ciukładupunktów
P
=(
p
i
)
i
2
I
oznaczamy
przezaf(
P
).
Przykład14.7
Jedynym±rodkiemci¦»ko±ciukładujednopunktowego(
p
0
)
jestpunkt
p
0
.
rodkiemodcinkap
0
p
1
nazywamypunkt
1
2
p
0
+
1
2
p
1
.
rodkiemci¦»ko±citrójk¡tap
0
p
1
p
2
(odpowiednio
±rodkiemci¦»ko±ciczwo-
ro±cianup
0
p
1
p
2
p
3
)jestpunkt
1
3
p
0
+
1
3
p
1
+
1
3
p
2
(odpowiednio
1
4
p
0
+
1
4
p
1
+
1
Stwierdzenie14.8
Punkt
p
jest±rodkiemci¦»ko±ciukładupunktów(
p
i
)
i
2
I
zprzestrzeni
E
owagachodpowiednio(
a
i
)
i
2
I
zciałaF,prawiewszystkich
równych0itakich,»e
P
i
2
I
a
i
=1wtedyitylkowtedy,gdyistniejepunkt
q
2
E
spełniaj¡cywarunek
−!
qp
=
X
i
2
I
a
i
−!
qp
i
.
Dowód:
Cz¦±¢”wtedy”wynikazdefinicji.Załó»my,»eistniejepunkt
q
2
E
taki,»e
−!
qp
=
X
i
2
I
a
i
−!
qp
i
.
2
Definicja14.6
rodkiemci¦»ko±ci
układupunktów(
p
i
)
i
2
I
zprzestrzeni
E
owagachodpowiednio(
a
i
)
i
2
I
zciałaF,prawiewszystkichrównych0i
4
p
2
+
1
4
p
3
).
Niech
r
2
E
.Wówczaszzało»eniao
q
,warunków(V8)oraz(A2)otrzymu-
jemy
X
!
−!
rq
+
X
i
2
I
−!
rp
=
−!
rq
+
−!
qp
=
a
i
a
i
−!
qp
i
=
X
i
2
I
a
i
(
−!
rq
+
−!
qp
i
)=
X
i
2
I
i
2
I
a
i
−!
rp
i
.
Definicja14.9
Układpunktów(
p
i
)
i
2
I
zprzestrzeniaficznej
E
jestw
poło-
»eniuszczególnym
,je»elidlapewnego
j
2
I
punkt
p
j
jest±rodkiemci¦»ko±ci
układupozostałychpunktów,tzn.±rodkiemci¦»ko±ciukładu(
−−!
p
j
p
i
)
i
2
I
\{
j
}
.
Wprzeciwnymwypadkuukładjestw
poło»eniuogólnym
.
Baz¡punktow¡
przestrzeniafinicznejnazywamydowolnymaksymalny
układpunktówwpoło»eniuogólnym.
Stwierdzenie14.10
Niech(
p
i
)
i
2
I
b¦dzieukładempunktówzprzestrzeni
afinicznej
E
.Nast¦puj¡cewarunkis¡równowa»ne:
p
j
p
i
)
i
2
I
\{
j
}
jestliniowoniezale»ny.
3.Istnieje
j
2
I
takie,»eukładwektorów(
−−!
p
j
p
i
)
i
2
I
\{
j
}
jestliniowonieza-
le»ny.
Dowód:
1
)
2)Przypu±cmy,»edlapewnego
j
2
I
układ(
−−!
p
j
p
i
)
i
2
I
\{
j
}
jestliniowozale»ny.
Wówczasdlapewnego
l
2
I
wektor
−−!
p
j
p
l
jestkombinacj¡liniow¡pozo-
stałychwektorów
−−!
p
j
p
l
=
X
i
2
I
\{
j,l
}
a
i
−−!
p
j
p
l
układu(
p
i
)
i
2
I
\{
l
}
owagach
a
i
dla
i
6
=
l
orazwadze1
−
P
i
2
I
\{
j
}
a
i
dla
punktu
p
j
,cojestsprzecznez1.
2
)
3)oczywiste.
3
)
1)Gdybypewienpunkt
p
l
był±rodkiemci¦zko±ciukładupozostałych
punktów,tozestwierdzenia14.8wektor
−−!
torów(
−−!
p
j
p
l
byłbykombinacj¡liniow¡wek-
p
j
p
i
)
i
2
I
\{
j,l
}
owspółczynnikachrównychwagom,atojestsprzecz
ne
zzało»eniem3.
Stwierdzenie14.11
Niech(
p
i
)
i
2
I
b¦dzieukładempunktówzprzestrzeni
afinicznej(
E,V,
−!
).Nast¦puj¡cewarunkis¡równowa»ne:
3
1.Układpunktów(
p
i
)
i
2
I
jestwpoło»eniuogólnym.
2.Dlaka»dego
j
2
I
układwektorów(
−−!
dlapewnychskalarów
a
i
prawiewszystkichrównych0.
St¡dnapodstawiestwierdzenia14.8punkt
p
l
jest±rodkiemci¦»ko±ci
1.Układpunktów(
p
i
)
i
2
I
jestbaz¡punktow¡przestrzeni
E
.
2.Dlaka»dego
j
2
I
układwektorów(
−−!
p
j
p
i
)
i
2
I
\{
j
}
jestbaz¡przestrzeni
liniowej
V
.
3.Istnieje
j
2
I
takie,»eukładwektorów(
−−!
p
j
p
i
)
i
2
I
\{
j
}
jestbaz¡prze-
strzeniliniowej
V
.
4.Ka»dypunkt
p
2
E
mo»najednoznacznieprzedstawi¢jako±rodek
ci¦»ko±ciukładu(
p
i
)
i
2
I
.
p
j
p
i
)
i
2
I
\{
j
}
jestbaz¡prze-
strzeni
V
iniech
p
2
E
.Wówczasistniej¡jednoznaczniewyznaczoneskalary
(
a
i
)
i
2
I
\{
j
}
,prawiewszystkierówne0itakie,»e
−!
p
j
p
=
X
i
2
I
\{
j
}
a
i
−−!
acozatymidzie
p
=
X
i
2
I
a
i
p
i
,
gdzie
a
j
=1
−
X
i
2
I
\{
j
}
a
i
.
Jednoznaczo±¢tegoprzedstawieniawynikazjednoznaczno±ciprzedstawienia
wektora
−!
p
j
p
wbazieprzestrzeni
V
.
4
)
1)Je»elika»dypunktmo»najednoznacznieprzedstawi¢wpostaci±rod-
kaci¦»zko±ciukładu(
p
i
)
i
2
I
,towszczególno±cijedyenymprzedstawienie
punktu
p
j
jest
p
j
=1
p
j
+
X
i
2
I
\{
j
}
0
p
i
dla
j
2
I
i»adenpunkt
p
j
niejest±rodkiemci¦»ko±ciukładuzło»onegozpozostałych
punktów.Zatemukład(
p
i
)
i
2
I
jestwpoło»eniuogólnym.
Bezpo±redniozzało»enia4wynika,»eukładtenjestmaksymalny.
Przykład14.12
1.Baz¡punktow¡przestrzeniE
n
jestnaprzykład
(
,e
1
,...,e
n
).
2.Je»elidim
V
=
n
,toprzestrze«afiniczna(
E,V,
−!
)mabaz¦punktow¡
zło»on¡z
n
+1punktów.
Definicja14.13
Niech(
p
i
)
i
2
I
b¦dziebaz¡punktow¡przestrzeniafinicznej
E
.Dlapunktu
p
2
E
wagipochodz¡ceodjegoprzedstawieniajako±rodka
ci¦»ko±ciukładu(
p
i
)
i
2
I
nazywamy
współrz¦dnymibarycentrycznymi
punktu
p
wbazie(
p
i
)
i
2
I
.
4
Dowód:
Równowa»no±¢pierwszychtrzechpunktówwynikazestwier-
dzenia14.10orazfaktu,»eukładwektorówjestbaz¡wtedyitylkowtedy,
gdyjestmaksymalnymukłademliniowoniezale»nym(stwierdzenie8.7).
3
)
4)Załó»my,»edlapewnego
j
2
I
układ(
−−!
p
j
p
i
,
Definicja14.14
Niechwprzestrzeniafinicznej(
E,V,
−!
)punkt
p
0
2
E
orazukładwektorów(
v
i
)
i
2
I
niechb¦dziebaz¡przestrzeni
V
.
Układ(
p
0
;(
v
i
)
i
2
I
)nazywamy
układemwspółrz¦dnych
wprzestrzeni
E
o
pocz¡tkuwpunkcie
p
0
rozpi¦tymnawektorach(
v
i
)
i
2
I
.
Dladowolnegopunktu
p
2
E
układwspółczynników(
a
i
)
i
2
I
jednoznacz-
nego(napodstawiestwierdzenia14.11)przedstawieniapunktu
p
wpostaci
n
cz¦storozwa»amy
standardowyukład
współrz¦dnych
opocz¡tkuwpunkcie(0
,...,
0)irozpi¦tynawektorachbazy
kanonicznej
e
1
,...,e
n
przestrzeniR
n
.
5
p
=
p
0
+
P
i
2
I
a
i
v
i
nazywamy
współrz¦dnymipunktup
.
Przykład14.15
WprzestrzeniE
Plik z chomika:
BYSTRYYY_88
Inne pliki z tego folderu:
19.pdf
(101 KB)
18.pdf
(105 KB)
17.pdf
(101 KB)
16.pdf
(93 KB)
15.pdf
(91 KB)
Inne foldery tego chomika:
Automatyka
Certyfikacja i Akredytacja
Elektrotechnika
Grafika
Grafika_aCad
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin