dynamika(1).pdf
(
259 KB
)
Pobierz
swp0001.dvi
Rozdział 2
Dynamika
Dynamika jest działem mechaniki opisuj acym ruch układu materialnego
pod wpływem sił działaj acych na ten układ.
Dynamika opiera si e na trzech zasadach Newtona:
1. Zasada bezwładnosci:
Punkt materialny, na który nie działaj a zadne siłylubwszystkie
działaj ace na´nsiłyznoszasie, pozostaje w spoczynku lub porusza
si e ruchem jednostajnym prostoliniowym wzgl edem układu odniesienia.
Układ odniesienia, w którym słusznajesttazasadanazywamyi-
nercjalnym. Punkt w tym układzie nie moze udzielic sobie przyspieszenia.
2. W układzie inercjalnym zmiana ruchu punktu materialnego jest
proporcjonalna do siłydziałaj acej i odbywa si e w kierunku dzia-
łania tej siły.
F = ma.
Równanie to jest podstawowym równaniem dynamiki.
3. Zasada akcji i reakcji.
Kazdemu działaniu towarzyszy równe, lecz przeciwnie skierowane
przeciwdziałanie.
41
4. Pod wpływem układu sił punkt materialny uzyskuje przyspiesze-
nie równe sumie geometrycznej przyspieszen, jakie uzyskałby w
wyniku niezaleznego działania kazdej z sił.
5. Zasada powszechnego ci azenia.
Dwa punkty materialne o masach m
1
i m
2
działaj anasiebiezsiła
proporcjonaln a do iloczynu tych mas, a odwrotnie proporcjonalnie
do kwadratu odległosci tych mas
F = k
m
1
m
2
r
2
,
gdzie k-stałagrawitacji.
2.1 Zasada d’Alemberta dla punktu
Wyobrazmy sobie, ze pchaj
˛
acwózeknadajemymuprzyspieszeniea.
Działamy oczywiscie sił a F = ma. Na podstawie trzeciej zasady wózek
przeciwdziałazsił a B = −ma. (Pomijamy opory). Siła B nazywa si e
sił a bezwładnosci lub sił
˛
ad’Alemberta.
Podobnie na kamie´nzawieszonynasznurkuiporuszajacy si ˛epo
okr egu działasiładosrodkowa F
r
= ma
n
,asiłaodsrodkowa jest sił a
bezwładnosci, itp.
St ad wniosek, ze
F = −B (akcja i reakcja)
X
F
i
+(−ma)=0.
Zasada d’Alemberta
W ruchu punktu materialnego układ siłczynnych i reakcji wi ezów równowazy
si ˛ezpomyslan ˛asił a bezwładnosci.
X
F
i
+
X
R
i
+(−ma)=0
42
Przykład 1 Rozpatrzmy ruch masy m zawieszonej na koncu liny rozwi-
jaj acej si ezbebna. Szukamy napi ecia liny.
G− siłaciezkosci (czynna),
S− siła napi ecia nici (reakcja),
B− siłabezwładnosci.
Rzutuj ac wszystkie siłynao
´
slinymamy
S−G+B =0,
S−mg+ma =0,
S = m(g−a) .
Gdy spadek ciałabedzie swobodny, wówczas g = a i napi ecie S =0.
2.2 P ed masy
Zgodnie z drug a zasad ˛adynamikimozemy napisa´cruchciała:
ma =
X
F
i
.
Pami etaj ac jednak, ze
a =
dv
dt
mamy
X
d
dt
(mv)=
F
i
.
Wielkosc mv = p nazywamy p edem lub ilosci a ruchu punktu material-
nego.
Równanie
X
dp
dt
=
F
i
43
wyraza zasad ˛epedu dla punktu materialnego. Pochodna p edu punktu
materialnego jest równa sumie sił działaj acych na dany punkt.
Równanie powyzsze jest ogólniejszym sformułowaniem drugiej zasady
dynamiki (jest prawdziwe w mechanice relatywistycznej).
Jezeli teraz
P
F
i
=0,to
·
p =0⇒ p = const. Jest to zasada
zachowania p edu dla punktu.
Jezeli na punkt materialny nie działaj a zadne siły, to p ed punktu
jest zachowany, jest stały.
2.3 Kr et punktu materialnego
Kr etem lub momentem p edu punktu materialnego wzgl edem punktu O
nazywamy wektor równy iloczynowi wektora połozenia r przez p ed p
poruszaj acego si e punktu.
K
o
def.
= r×mv.
Składowe kr etu w układzie x,y,z:
K
x
= m(y
˙
z−z
˙
y),
K
y
= m(z
˙
x−x
˙
z),
K
z
= m(x
˙
y−y
˙
x).
Zbadajmy zmian ˛ekretu K
o
w czasie
dK
o
dt
=
dr
dt
×mv+r×
d
dt
(mv),
dK
o
dt
| {z }
=0
+r×ma,
dK
o
dt
= M
o
.
44
=
v×
m
v
Powyzszy zwi azek wyraza zasad ˛ekretu punktu materialnego:
Pochodna wektora kr etu wzgl edem czasu jest równa momentowi gł
ównemu wszystkich sił działaj acych na dany punkt.
jezeli teraz M
o
=0,to
·
K
o
=0⇒ K
o
= const. Jest to zasada zachowa-
nia kr etu punktu materialnego:
Jezeli moment główny sił działaj acych na poruszaj acy si e punkt jest
wzgl edem jakiegos bieguna równy zeru, to kr et poruszaj acego si e punktu
wzgl edem tego bieguna jest zachowany, jest stały.
2.4 Dynamiczne równania ruchu punktu
Wychodzimy z wektorowej postaci
F = ma.
Uwzgl edniaj ac
F = F
x
i+F
y
j +F
z
k,
a =x
i+y
j+z
k.
Mamy
mx = F
x
, y = F
y
, z = F
z
lub
X
X
X
mx =
F
ix
, y =
F
iy
, z =
F
iz
.
Poniewa
˙
zsił a w ogólnym przypadku jest funkcj a:
F = F (r,v,t)
45
Plik z chomika:
graviora
Inne pliki z tego folderu:
Nowy folder(1).rar
(7609 KB)
DSC00554(1).JPG
(800 KB)
DSC00629(1).jpg
(774 KB)
DSC00632(1).jpg
(887 KB)
fizyka_opracowanie(1).rar
(516 KB)
Inne foldery tego chomika:
Apettito
astra[1]
dokumenty
E-booki Prawo
Ebooks
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin