Wcięcia.pdf

(799 KB) Pobierz
4
231
ROZDZIAŁ 9: Wcięcia
9.1. Istota wcięć
Powszechnie stosowane do zagęszczania osnów poziomych wcięcia są
podstawowymi zadaniami geodezyjnymi, polegającymi na wyznaczeniu położenia
sytuacyjnego (współrzędnych X, Y ) pojedynczego punktu szukanego (wcinanego), rzadziej
dwóch punktów (np. w zadaniach Hansena i Mareka) lub sporadycznie grupy kilku
punktów. Jest to możliwe dzięki geometrycznemu powiązaniu punktów wcinanych
z punktami znanymi za pomocą pomierzonych w konstrukcji wcięcia tzw. elementów
wyznaczających : kątów poziomych i (lub) długości boków. Wcięcia pojedyncze , nazywane
także zwykłymi lub elementarnymi, są zadaniami jednoznacznie wyznaczalnymi, a więc
zawierającymi tylko tyle spostrzeżeń n , ile jest niezbędne do określenia u niewiadomych
( n = u ), którymi w tym przypadku są współrzędne prostokątne X, Y punktów szukanych.
Jeden punkt wcinany dostarcza dwóch niewiadomych, toteż w konstrukcji wcięcia
pojedynczego konieczny jest pomiar dwóch elementów wyznaczających. Wcięcia
pojedyncze nie zawierają spostrzeżeń nadliczbowych, a tym samym nie występuje w nich
także problem wyrównania. W cięcia wielokrotne w odróżnieniu od wcięć pojedynczych
zawierają więcej spostrzeżeń niż niewiadomych ( n > u ), a więc poszukiwane współrzędne
punktów wciętych uzyskujemy jako niewiadome w rezultacie wyrównania obserwacji.
W trakcie zagęszczania osnowy poziomej metodą wcięć mogą występować rozmaite
rodzaje linii celowania (celowych) klasyfikowanych według dwóch kryteriów. Pierwszym z
nich jest sposób celowania wzdłuż danego boku. W przypadku, gdy podczas pomiaru
kątów poziomych o wspólnym ramieniu AB celowanie odbywa się zarówno w kierunku
A → B , jak i w kierunku przeciwnym B → A , to taką linię celowania nazywamy celową
dwustronną , a na szkicach konstrukcji osnów zaznaczamy ją linią ciągłą. Celowa
jednostronna jest linią, wzdłuż której pomiar kierunku następuje tylko z jej jednego końca.
Na drugim końcu celowej jednostronnej nie ma stanowiska teodolitu, a więc nie występuje
drugie celowanie w kierunku przeciwnym. Brak możliwości obustronnego celowania
wynika przeważnie z braku widoczności na drugim stanowisku lub niedostępności punktu
końcowego. Celową jednostronną zaznaczamy na szkicach linią w połowie ciągłą (od
strony stanowiska pomiaru kąta), w połowie zaś – przerywaną.
Drugim kryterium podziału celowych łączących punkty znane i szukane, czyli tzw.
celowych wyznaczających , jest rodzaj punktu, będącego stanowiskiem teodolitu podczas
pomiarów kątów poziomych. Celowe zewnętrzne (celowe w przód) są liniami
wychodzącymi z punktów znanych w kierunku punktów szukanych (np. przy wcięciu
kątowym w przód), natomiast celowe wewnętrzne (celowe wstecz) biegną w kierunku
odwrotnym, a więc dla nich stanowisko pomiarowe znajduje się na dostępnym punkcie
szukanym (wcinanym), z którego celujemy na punkty znane (przy wcięciu wstecz). Pojęcie
celowych zewnętrznych i wewnętrznych przeważnie nie występuje podczas pomiarów
liniowych, chociaż przy pomiarze odległości dalmierzami zależnie od usytuowania ich
stanowisk używa się niekiedy pojęć pomiarów liniowych w przód (z punktów znanych) lub
wstecz (z punktu wyznaczanego).
Wcięcia pojedyncze odgrywają w praktyce geodezyjnej dużą rolę, umożliwiając
szybkie i łatwe wyznaczenie położeń punktów dostępnych i niedostępnych. Wśród licznych
zastosowań tych wcięć można wymienić: określenie współrzędnych przybliżonych do
 
232
wyrównania osnów poziomych, inwentaryzacja elewacji budowli, pomiary odkształceń i
przemieszczeń, określanie punktów pomocniczych podczas prac fotogrametrycznych,
topograficznych i innych.
9.2. Kątowe wcięcie w przód
9.2.1. Konstrukcja wcięcia
P
Kątowe wcięcie w przód polega na
określeniu współrzędnych punktu wcinanego P (rys.
9.1) na podstawie danych wyjściowych, którymi są:
dwa kąty poziome  ,  pomierzone w trójkącie
ABP na stanowiskach: A , B , będących punktami
o znanych współrzędnych X, Y .
Bok AB stanowi tzw. bazę wcięcia , zaś
celowe zewnętrzne biegnące od punktów znanych
do punktu szukanego są jak wiadomo celowymi
(kierunkami) w przód, od których pochodzi nazwa
tego wcięcia. Rozwiązanie zadania ma w tym
przypadku charakter jednoznaczny, ponieważ w
trójkącie ABP znane są tylko trzy elementy: długość
boku AB – d AB określona poprzez współrzędne
punktów końcowych bazy oraz dwa kąty
wierzchołkowe trójkąta:  ,  .
N
N
A B A B
B
d AB
A
A A
A A
Rys. 9.1. Kątowe wcięcie w przód
9.2.2. Klasyczne rozwiązanie kątowego wcięcia w przód
Kolejność czynności prowadzących do obliczenia współrzędnych punktu
wcinanego P jest następująca:
1. Obliczenie azymutu A AB i długości d AB boku AB ze współrzędnych.
2. Obliczenie azymutów A AP , A BP boków wcinających AP, BP .
Zgodnie z rys. 9.1 azymuty te wynoszą: A AP = A AB + oraz A BP = A BA –  .
3. Obliczenie długości d AP , d BP boków wcinających AP, BP na podstawie twierdzenia
sinusów:
d
d
AB
sin
oraz
d
=
d
AB
sin
AP
sin
(
)
BP
sin
(
)
4. Obliczenie przyrostów współrzędnych boków wcinających AP, BP :
x AP = d AP  cos A AP ; y AP = d AP  sin A AP
oraz
y AP = d BP cos A BP ; y BP = d BP  cos A BP .
5. Dwukrotnie obliczenie współrzędnych punktu P na podstawie:
a) współrzędnych punktu A i przyrostów boku AP : X P = X A + x AP ; Y P = Y A + y AP
b) współrzędnych punktu B i przyrostów boku BP : X P = X B + x BP ; Y P = Y A + y BP
Pełna zgodność obu par wyników stanowi pierwszą kontrolę rachunkową.
39033319.017.png 39033319.018.png 39033319.019.png 39033319.001.png 39033319.002.png
233
6. Dokonanie drugiej kontroli wyznaczenia współrzędnych punktu P , polegającej na
obliczeniu dwoma sposobami wartości trzeciego kąta  trójkąta ABP :
a) na podstawie obserwacji wyjściowych, jako dopełnienia pomierzonych kątów 
, do 180 lub 200 g = 180 – ( + ),
b) na podstawie wyników obliczeń tj. współrzędnych punktu wciętego P
i współrzędnych punktów znanych: A, B .
Rezultaty obu obliczeń powinny być jednakowe.
9.2.3. Obliczenie kątowego wcięcia w przód za pomocą symboli S. Hausbrandta
Opisany wyżej sposób obliczeń, polegający na rozwiązaniu trójkąta ABP , mimo
swej przejrzystości, jest jednak dość pracochłonny ze względu na wieloetapowość
rachunku. Zadanie obliczenia wcięcia w przód można rozwiązać znacznie sprawniej,
stosując tylko jedną formułę S. Hausbrandta, opartą na jego pomocniczych symbolach
rachunkowych:
( , )
X Y X Y
A A B B
(9.1)
P P
1
ctg
1
ctg
( )
1,2
Po przekształceniu pomocniczych symboli rachunkowych na zapis algebraiczny
otrzymamy:
X
X
A
    
ctg
Y X
A B
ctg
Y
B
P
ctg
 
ctg
(9.2)
     
X Y
ctg
X Y
ctg
Y
A A
B B
P
ctg
 
ctg
Zaletą powyższego sposobu obliczenia wcięcia w przód jest bezpośrednie
otrzymywanie współrzędnych punktu wcinanego na podstawie danych wyjściowych przy
zastosowaniu jednego ciągu obliczeń wynikających z algebry funkcji F (1) i F (2) złożonej
formy rachunkowej, do której podstawia się wartości wyjściowe i wykonuje ściśle
określone działania matematyczne, bez konieczności notowania rezultatów etapów
pośrednich.
Zestawiając formę wyrażoną wzorem (9.1) należy pamiętać o prawidłowej
konfiguracji punktów A, B i kątów  ,  zgodnej na rys. 9.1, według którego punkt A i kąt
 znajdują się p o p r a w e j s t r o n i e bazy i trójkąta wcięcia. Zmiana konfiguracji na
odwrotną (punkt A z lewej strony) zmienia wynik obliczeń, który staje się błędny.
Kontrolę wcięcia przeprowadzamy tak samo jak w ramach poprzedniego sposobu
tj. poprzez dwukrotne obliczenie kąta  (rys. 9.1) z dopełnienia kątów ,  do 180 i ze
współrzędnych punktów A, B, P . Można przy tym wykorzystać wzór na obliczenie kąta ze
współrzędnych, który wyrażony za pomocą symboli Hausbrandta i dostosowany do
oznaczeń w trójkącie ABP przyjmuje postać:
tg
x
PA
y
PA
(9.3)
x
y
PB
PB
0
Wyprowadzenia wzorów (9.1) i (9.2) można dokonać w oparciu o znane zadanie
obliczenia współrzędnych punktu P na domiarze prostokątnym:
(9.4)
X Y
39033319.003.png 39033319.004.png 39033319.005.png 39033319.006.png 39033319.007.png 39033319.008.png
234
P
X P = X A + l  cos A AB – h  sin A AB
Y P = Y A + l  sin A AB + h  cos A AB
Na podstawie oznaczeń z rys. 9.2 można napisać:
AP  = l = h · ctg  ; BP  = h · ctg 
h
a stąd:
d AB = AB = AP  + BP = h ·(ctg  + ctg ),
Współczynniki kierunkowe: cos A AB , sin A AB wyniosą:
l
B A
P
cos
A
X
B
X
A
;
sin
A
Y
B
Y
A
Rys. 9.2. Domiary
prostokątne punktu P
AB
h
(
ctg
ctg
)
AB
h
(
ctg
ctg
)
Po podstawieniu powyższych zależności do wzorów (9.4)
otrzymamy:
X
X
h
ctg
X
B
X
A
h
Y
B
Y
A
P
A
h
(
ctg
ctg
)
h
(
ctg
ctg
)
Y
Y
h
ctg
Y
B
Y
A
h
X
B
X
A
P
A
h
(
ctg
ctg
)
h
(
ctg
ctg
)
Po skróceniu powyższych równań przez h , sprowadzeniu ich do wspólnego
mianownika i redukcji uzyskamy zamieszczone wcześniej wzory (9.2).
9.2.4. Ocena dokładności wcięcia w przód
Ocenę dokładności wcięcia w przód można przeprowadzić dwiema metodami:
analityczną (rachunkową) i analityczno-graficzną.
W metodzie analitycznej wyznaczamy średni błąd położenia punktu m P , który
wyraża się wzorem:
m
m
2
m
2
(9.5)
P
X
Y
Średnie błędy m X , m Y wyznaczenia współrzędnych punktu wcinanego P
wyznaczany jest na podstawie prawa przenoszenia się błędów średnich, co zrealizowaliśmy
w ust. 7.4. Średni błąd położenia punktu określonego za pomocą pojedynczego kątowego
wcięcia w przód przedstawia wzór (7.20), który po uwzględnieniu oznaczeń z rys. 9.1
przyjmie postać:
m
m
d
2
d
2
(9.6)
P
sin
 
AP
BP
Po wyeliminowaniu z zapisu długości boków wcinających można wyprowadzić
inną formę tego wzoru, uwzględniającą wielkości wyjściowe zadania:
m
d
AB
m
sin
2
sin
2
(9.7)
P
sin
2
 
Gdy zachodzi przypadek, gdy trójkąt ABP jest prostokątny, a więc  = α + β = 90°,
otrzymamy znacznie prostszy wzór:
m P = ± d AB · m α
(9.8)
39033319.009.png 39033319.010.png 39033319.011.png 39033319.012.png
235
Dla trójkąta równoramiennego po uwzględnieniu: α = β oraz d AP = d BP wzór na
średni błąd położenia punktu wcinanego m P przyjmie postać:
m
m
d
AB
2
(9.9)
P
4
sin
cos
2
Analiza wzorów (9.6) – (9.9) pozwala na sformułowanie następujących wniosków
dotyczących zasad projektowania wcięcia w przód:
 Dokładność wyznaczenia położenia punktu P zależy od długości bazy d AB i
dokładności pomiaru kątów α , β .
 Na dokładność wcięcia mają wpływ: długości boków wcinających, będących
funkcją długości bazy i wartości kątów α , β .
 Najkorzystniejsze jest wcięcie w przód, którego celowe wcinające mają
jednakową długość, zaś kąt wcięcia γ = 180° ( α + β ) jest zbliżony do kąta
prostego. Z analizy dokładności wynika, że optymalny kąt wcięcia jest nieco
większy i wynosi:  = 10928′ (121,63 g ).
 Trójkąt ABP powinien być tak zbudowany, aby kąt wcięcia  zawierał się
w przedziale od 45 do 135.
 Zmiana stosunku długości celowych wcinających AP, BP względem ilorazu 1:1
wpływa w większym stopniu na pogorszenie wyników wcięcia niż odchylenie
kąta γ od 90°, z tego powodu stosunek długości boków wcinających: dłuższego
do krótszego nie powinien być większy od 2:1.
Metoda analityczno-graficzna oceny dokładności wybranego wcięcia opiera się na
wykreśleniu tzw. wstęg wahań oraz figury błędów uzyskiwanej w wyniku przecięcia się z
sobą co najmniej dwu wstęg. Przy założeniu określonej dokładności pomiaru elementów
wyznaczających położenie szukanego punktu P , wstęga wahań stanowi miejsce
geometryczne jego możliwych położeń. Jeśli na znanym punkcie A zostanie dokonana
obserwacja kątowa α w celu wyznaczenia pozycji szukanego punktu P , to przyjmując na
razie bezbłędność pomiaru kąta α zawartego pomiędzy bazą wcięcia w przód a celową
wcinającą, miejscem geometrycznym punktów, na którym znajduje się punkt wcinany, jest
linia prosta tworząca z bazą AB pomierzony kąt α (rys. 9.3).
P
e
P
+m α
m α
α
α
B
A
B
A
Rys. 9.3. Kątowy element wyznaczający
Rys. 9.4. Zakres błędu kąta
P
e
2 e
oś
wyznaczająca
B
α
A
Rys. 9.5. Wstęga wahań elementu kątowego wcięcia w przód
39033319.013.png 39033319.014.png 39033319.015.png 39033319.016.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin