Wcięcia.pdf
(
799 KB
)
Pobierz
4
231
ROZDZIAŁ 9: Wcięcia
9.1. Istota wcięć
Powszechnie stosowane do zagęszczania osnów poziomych wcięcia są
podstawowymi zadaniami geodezyjnymi, polegającymi na wyznaczeniu położenia
sytuacyjnego (współrzędnych
X, Y
) pojedynczego punktu szukanego (wcinanego), rzadziej
dwóch punktów (np. w zadaniach Hansena i Mareka) lub sporadycznie grupy kilku
punktów. Jest to możliwe dzięki geometrycznemu powiązaniu punktów wcinanych
z punktami znanymi za pomocą pomierzonych w konstrukcji wcięcia tzw.
elementów
wyznaczających
: kątów poziomych i (lub) długości boków.
Wcięcia pojedyncze
, nazywane
także zwykłymi lub elementarnymi, są zadaniami jednoznacznie wyznaczalnymi, a więc
zawierającymi tylko tyle spostrzeżeń
n
, ile jest niezbędne do określenia
u
niewiadomych
(
n
=
u
), którymi w tym przypadku są współrzędne prostokątne
X, Y
punktów szukanych.
Jeden punkt wcinany dostarcza dwóch niewiadomych, toteż w konstrukcji wcięcia
pojedynczego konieczny jest pomiar dwóch elementów wyznaczających. Wcięcia
pojedyncze nie zawierają spostrzeżeń nadliczbowych, a tym samym nie występuje w nich
także problem wyrównania. W
cięcia wielokrotne
w odróżnieniu od wcięć pojedynczych
zawierają więcej spostrzeżeń niż niewiadomych (
n
>
u
), a więc poszukiwane współrzędne
punktów wciętych uzyskujemy jako niewiadome w rezultacie wyrównania obserwacji.
W trakcie zagęszczania osnowy poziomej metodą wcięć mogą występować rozmaite
rodzaje linii celowania (celowych) klasyfikowanych według dwóch kryteriów. Pierwszym z
nich jest sposób celowania wzdłuż danego boku. W przypadku, gdy podczas pomiaru
kątów poziomych o wspólnym ramieniu
AB
celowanie odbywa się zarówno w kierunku
A
→
B
, jak i w kierunku przeciwnym
B
→
A
, to taką linię celowania nazywamy
celową
dwustronną
, a na szkicach konstrukcji osnów zaznaczamy ją linią ciągłą.
Celowa
jednostronna
jest linią, wzdłuż której pomiar kierunku następuje tylko z jej jednego końca.
Na drugim końcu celowej jednostronnej nie ma stanowiska teodolitu, a więc nie występuje
drugie celowanie w kierunku przeciwnym. Brak możliwości obustronnego celowania
wynika przeważnie z braku widoczności na drugim stanowisku lub niedostępności punktu
końcowego. Celową jednostronną zaznaczamy na szkicach linią w połowie ciągłą (od
strony stanowiska pomiaru kąta), w połowie zaś – przerywaną.
Drugim kryterium podziału celowych łączących punkty znane i szukane, czyli tzw.
celowych wyznaczających
, jest rodzaj punktu, będącego stanowiskiem teodolitu podczas
pomiarów kątów poziomych.
Celowe zewnętrzne
(celowe w przód) są liniami
wychodzącymi z punktów znanych w kierunku punktów szukanych (np. przy wcięciu
kątowym w przód), natomiast
celowe wewnętrzne
(celowe wstecz) biegną w kierunku
odwrotnym, a więc dla nich stanowisko pomiarowe znajduje się na dostępnym punkcie
szukanym (wcinanym), z którego celujemy na punkty znane (przy wcięciu wstecz). Pojęcie
celowych zewnętrznych i wewnętrznych przeważnie nie występuje podczas pomiarów
liniowych, chociaż przy pomiarze odległości dalmierzami zależnie od usytuowania ich
stanowisk używa się niekiedy pojęć pomiarów liniowych w przód (z punktów znanych) lub
wstecz (z punktu wyznaczanego).
Wcięcia pojedyncze odgrywają w praktyce geodezyjnej dużą rolę, umożliwiając
szybkie i łatwe wyznaczenie położeń punktów dostępnych i niedostępnych. Wśród licznych
zastosowań tych wcięć można wymienić: określenie współrzędnych przybliżonych do
232
wyrównania osnów poziomych, inwentaryzacja elewacji budowli, pomiary odkształceń i
przemieszczeń, określanie punktów pomocniczych podczas prac fotogrametrycznych,
topograficznych i innych.
9.2. Kątowe wcięcie w przód
9.2.1. Konstrukcja wcięcia
P
Kątowe wcięcie w przód polega na
określeniu współrzędnych punktu wcinanego
P
(rys.
9.1) na podstawie danych wyjściowych, którymi są:
dwa kąty poziome
,
pomierzone w trójkącie
ABP
na stanowiskach:
A
,
B
, będących punktami
o znanych współrzędnych
X, Y
.
Bok
AB
stanowi tzw.
bazę wcięcia
, zaś
celowe zewnętrzne biegnące od punktów znanych
do punktu szukanego są jak wiadomo celowymi
(kierunkami) w przód, od których pochodzi nazwa
tego wcięcia. Rozwiązanie zadania ma w tym
przypadku charakter jednoznaczny, ponieważ w
trójkącie
ABP
znane są tylko trzy elementy: długość
boku
AB
–
d
AB
określona poprzez współrzędne
punktów końcowych bazy oraz dwa kąty
wierzchołkowe trójkąta:
,
.
N
N
A
B
A
B
B
d
AB
A
A
A
A
A
Rys. 9.1. Kątowe wcięcie w przód
9.2.2. Klasyczne rozwiązanie kątowego wcięcia w przód
Kolejność czynności prowadzących do obliczenia współrzędnych punktu
wcinanego
P
jest następująca:
1. Obliczenie azymutu
A
AB
i długości
d
AB
boku
AB
ze współrzędnych.
2. Obliczenie azymutów
A
AP
,
A
BP
boków wcinających
AP, BP
.
Zgodnie z rys. 9.1 azymuty te wynoszą:
A
AP
= A
AB
+
oraz
A
BP
= A
BA
–
.
3. Obliczenie długości
d
AP
,
d
BP
boków wcinających
AP, BP
na podstawie twierdzenia
sinusów:
d
d
AB
sin
oraz
d
=
d
AB
sin
AP
sin
(
)
BP
sin
(
)
4. Obliczenie przyrostów współrzędnych boków wcinających
AP, BP
:
x
AP
= d
AP
cos
A
AP
;
y
AP
= d
AP
sin
A
AP
oraz
y
AP
= d
BP
cos
A
BP
;
y
BP
= d
BP
cos
A
BP
.
5. Dwukrotnie obliczenie współrzędnych punktu
P
na podstawie:
a) współrzędnych punktu
A
i przyrostów boku
AP
:
X
P
=
X
A
+
x
AP
;
Y
P
=
Y
A
+
y
AP
b) współrzędnych punktu
B
i przyrostów boku
BP
:
X
P
=
X
B
+
x
BP
;
Y
P
=
Y
A
+
y
BP
Pełna zgodność obu par wyników stanowi pierwszą kontrolę rachunkową.
233
6. Dokonanie drugiej kontroli wyznaczenia współrzędnych punktu
P
, polegającej na
obliczeniu dwoma sposobami wartości trzeciego kąta
trójkąta
ABP
:
a) na podstawie obserwacji wyjściowych, jako dopełnienia pomierzonych kątów
,
do 180 lub 200
g
=
180
–
(
+
),
b) na podstawie wyników obliczeń tj. współrzędnych punktu wciętego
P
i współrzędnych punktów znanych:
A, B
.
Rezultaty obu obliczeń powinny być jednakowe.
9.2.3. Obliczenie kątowego wcięcia w przód za pomocą symboli S. Hausbrandta
Opisany wyżej sposób obliczeń, polegający na rozwiązaniu trójkąta
ABP
, mimo
swej przejrzystości, jest jednak dość pracochłonny ze względu na wieloetapowość
rachunku. Zadanie obliczenia wcięcia w przód można rozwiązać znacznie sprawniej,
stosując tylko jedną formułę S. Hausbrandta, opartą na jego pomocniczych symbolach
rachunkowych:
( , )
X Y X Y
A A B B
(9.1)
P P
1
ctg
1
ctg
( )
1,2
Po przekształceniu pomocniczych symboli rachunkowych na zapis algebraiczny
otrzymamy:
X
X
A
ctg
Y X
A B
ctg
Y
B
P
ctg
ctg
(9.2)
X Y
ctg
X Y
ctg
Y
A A
B B
P
ctg
ctg
Zaletą powyższego sposobu obliczenia wcięcia w przód jest bezpośrednie
otrzymywanie współrzędnych punktu wcinanego na podstawie danych wyjściowych przy
zastosowaniu jednego ciągu obliczeń wynikających z algebry funkcji
F
(1)
i
F
(2)
złożonej
formy rachunkowej, do której podstawia się wartości wyjściowe i wykonuje ściśle
określone działania matematyczne, bez konieczności notowania rezultatów etapów
pośrednich.
Zestawiając formę wyrażoną wzorem (9.1) należy pamiętać o prawidłowej
konfiguracji punktów
A, B
i kątów
,
zgodnej na rys. 9.1, według którego punkt
A
i kąt
znajdują się p o p r a w e j s t r o n i e bazy i trójkąta wcięcia. Zmiana konfiguracji na
odwrotną (punkt
A
z lewej strony) zmienia wynik obliczeń, który staje się błędny.
Kontrolę wcięcia przeprowadzamy tak samo jak w ramach poprzedniego sposobu
tj. poprzez dwukrotne obliczenie kąta (rys. 9.1) z dopełnienia kątów , do 180 i ze
współrzędnych punktów
A, B, P
. Można przy tym wykorzystać wzór na obliczenie kąta ze
współrzędnych, który wyrażony za pomocą symboli Hausbrandta i dostosowany do
oznaczeń w trójkącie
ABP
przyjmuje postać:
tg
x
PA
y
PA
(9.3)
x
y
PB
PB
0
Wyprowadzenia wzorów (9.1) i (9.2) można dokonać w oparciu o znane zadanie
obliczenia współrzędnych punktu
P
na domiarze prostokątnym:
(9.4)
X Y
234
P
X
P
=
X
A
+ l
cos
A
AB
– h
sin
A
AB
Y
P
= Y
A
+ l
sin
A
AB
+
h
cos
A
AB
Na podstawie oznaczeń z rys. 9.2 można napisać:
AP
=
l =
h
·
ctg
;
BP
=
h
·
ctg
h
a stąd:
d
AB
= AB
=
AP
+
BP
=
h
·(ctg
+
ctg ),
Współczynniki kierunkowe: cos
A
AB
, sin
A
AB
wyniosą:
l
B A
P
cos
A
X
B
X
A
;
sin
A
Y
B
Y
A
Rys. 9.2. Domiary
prostokątne punktu
P
AB
h
(
ctg
ctg
)
AB
h
(
ctg
ctg
)
Po podstawieniu powyższych zależności do wzorów (9.4)
otrzymamy:
X
X
h
ctg
X
B
X
A
h
Y
B
Y
A
P
A
h
(
ctg
ctg
)
h
(
ctg
ctg
)
Y
Y
h
ctg
Y
B
Y
A
h
X
B
X
A
P
A
h
(
ctg
ctg
)
h
(
ctg
ctg
)
Po skróceniu powyższych równań przez
h
, sprowadzeniu ich do wspólnego
mianownika i redukcji uzyskamy zamieszczone wcześniej wzory (9.2).
9.2.4. Ocena dokładności wcięcia w przód
Ocenę dokładności wcięcia w przód można przeprowadzić dwiema metodami:
analityczną (rachunkową) i analityczno-graficzną.
W
metodzie analitycznej
wyznaczamy średni błąd położenia punktu
m
P
, który
wyraża się wzorem:
m
m
2
m
2
(9.5)
P
X
Y
Średnie błędy
m
X
, m
Y
wyznaczenia współrzędnych punktu wcinanego
P
wyznaczany jest na podstawie prawa przenoszenia się błędów średnich, co zrealizowaliśmy
w ust. 7.4. Średni błąd położenia punktu określonego za pomocą pojedynczego kątowego
wcięcia w przód przedstawia wzór (7.20), który po uwzględnieniu oznaczeń z rys. 9.1
przyjmie postać:
m
m
d
2
d
2
(9.6)
P
sin
AP
BP
Po wyeliminowaniu z zapisu długości boków wcinających można wyprowadzić
inną formę tego wzoru, uwzględniającą wielkości wyjściowe zadania:
m
d
AB
m
sin
2
sin
2
(9.7)
P
sin
2
Gdy zachodzi przypadek, gdy trójkąt
ABP
jest prostokątny, a więc
=
α
+
β
=
90°,
otrzymamy znacznie prostszy wzór:
m
P
=
±
d
AB
·
m
α
(9.8)
235
Dla trójkąta równoramiennego po uwzględnieniu:
α
=
β
oraz
d
AP
=
d
BP
wzór na
średni błąd położenia punktu wcinanego
m
P
przyjmie postać:
m
m
d
AB
2
(9.9)
P
4
sin
cos
2
Analiza wzorów (9.6) – (9.9) pozwala na sformułowanie następujących wniosków
dotyczących zasad projektowania wcięcia w przód:
Dokładność wyznaczenia położenia punktu
P
zależy od długości bazy
d
AB
i
dokładności pomiaru kątów
α
, β
.
Na dokładność wcięcia mają wpływ: długości boków wcinających, będących
funkcją długości bazy i wartości kątów
α
, β
.
Najkorzystniejsze jest wcięcie w przód, którego celowe wcinające mają
jednakową długość, zaś kąt wcięcia
γ =
180°
(
α
+
β
) jest zbliżony do kąta
prostego. Z analizy dokładności wynika, że optymalny kąt wcięcia jest nieco
większy i wynosi:
=
10928′ (121,63
g
).
Trójkąt
ABP
powinien być tak zbudowany, aby kąt wcięcia zawierał się
w przedziale od 45 do 135.
Zmiana stosunku długości celowych wcinających
AP, BP
względem ilorazu 1:1
wpływa w większym stopniu na pogorszenie wyników wcięcia niż odchylenie
kąta
γ
od 90°, z tego powodu stosunek długości boków wcinających: dłuższego
do krótszego nie powinien być większy od 2:1.
Metoda analityczno-graficzna
oceny dokładności wybranego wcięcia opiera się na
wykreśleniu tzw.
wstęg wahań
oraz
figury błędów
uzyskiwanej w wyniku przecięcia się z
sobą co najmniej dwu wstęg. Przy założeniu określonej dokładności pomiaru elementów
wyznaczających położenie szukanego punktu
P
,
wstęga wahań stanowi miejsce
geometryczne jego możliwych położeń. Jeśli na znanym punkcie
A
zostanie dokonana
obserwacja kątowa
α
w celu wyznaczenia pozycji szukanego punktu
P
, to przyjmując na
razie bezbłędność pomiaru kąta
α
zawartego pomiędzy bazą wcięcia w przód a celową
wcinającą, miejscem geometrycznym punktów, na którym znajduje się punkt wcinany, jest
linia prosta tworząca z bazą
AB
pomierzony kąt
α
(rys. 9.3).
P
e
P
+m
α
m
α
α
α
B
A
B
A
Rys. 9.3. Kątowy element wyznaczający
Rys. 9.4. Zakres błędu kąta
P
e
2
e
oś
wyznaczająca
B
α
A
Rys. 9.5. Wstęga wahań elementu kątowego wcięcia w przód
Plik z chomika:
merlindz15
Inne pliki z tego folderu:
Wcięcia.pdf
(799 KB)
A.Jagielski, Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzednych.pdf
(1029 KB)
Wyznaczenie przecięcia sie prostej z ramką sekcyjną.jpg
(2214 KB)
Obliczanie kąta kierunkowego i długości ze współrzędnych.JPG
(1165 KB)
Sprawozdanie z praktyki studenckiej.doc
(34 KB)
Inne foldery tego chomika:
Budownictwo
Elektroniczna technika pomiarowa
etrapez
Figura z punktem na domiarze prostokątnym. Łuk kołowy
Fizyka
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin