10 RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU.pdf

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci:

−ℏ 2

dx 2  V  x  x = E  x 

(X.1)

Warunki regularności na  x  i

d 

a) skończone

b) ciągłe

c) jednoznaczne

Postać (kształt) funkcji własnych y zależy od potencjału V.

a) cząstka swobodna

Dla V(x) = 0 równanie (X.1) sprowadza się do postaci:

− ℏ 2

d 2  x 

dx 2 = E  x 

(X.2)

d 2  x 

dx 2 

 ℏ 

=0 (X.3)

 E  x = A e ikx

(X.4)

Wielkość k we wzorze (X.4) jest równa:

k = p

ℏ =  2mE

ℏ

(X.5)

{E} – zbiór ciągły

– 1 –

d 2  x 

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

{ E = k 2 ℏ 2

2m }

b) cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału

Rys.X.1. Nieskończenie głęboka studnia potencjału. Cząstka nie ma prawa przebywać w obszarach I i III ze

względu na olbrzymią barierę potencjału.

Obszar II:

V(x) = 0, 0  x  a

d 2  x 

dx 2  2mE

ℏ 2 =0 (X.6)

Równanie (X.6) jak dla oscylatora harmonicznego.

dt 2  k ' x =0, F =− k ' x



(X.7a) i (X.7b) są to dwa szczegółowe rozwiązania równani (6).

 1  x = A sin kx

(X.7a)

 2  x = B cos kx

(X.7b)

Funkcja własna y 2 (x) nie spełnia warunku ciągłości bo:

– 2 –

 d 2 x

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

 2  x =0= B – brak ciągłości  B ≠0= 2  x ≤0

Natomiast funkcja własna y 1 (x) jest spełniona dla takiego warunku:

 1  x =0= A sin k ⋅0=0= 1  x 0

 1  x = a = A sin k ⋅ a =0

= n  , n =0,1,...

ka = n 

(X.8)

Z wzorów (X.5) i (X.8) otrzymujemy, że energia na n–tym poziomie energetycznym wyraża

się wzorem:

E n = ℏ 2  2

2ma 2 n 2

(X.9)

Ze wzoru (X.9) wynika, że zbiór energii {E} jest dyskretny, stąd kwantowanie.

Funkcje własne cząstki zamkniętej w jamie potencjału:

 n  x = A ⋅sin n 

a ⋅ x

(X.10)

– 3 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Rys.X.2. Ilustracja graficzna wzoru (X.9).

Rys.X.3. Ilustracja graficzna wzoru (X.10).

Rys.X.4. Wykres gęstości prawdopodobieństwa dla różnych y n.

– 4 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

X.1. OPERATOROWA POSTAĆ RÓWNANIA SCHRÖDINGERA.

A = a  a 

{a}:

– zbiór ciągły (cząstka swobodna),

– dyskretny (cząstka w jamie potencjału)

Jeżeli do danej wartości własnej należy więcej niż jedna funkcja własna to dana wartość

jest zdegenerowana.

Jeśli dla a i istnieje n różnych funkcji własnych { y 1 , y 2 ,..., y n }, to jest to n – krotna

degeneracja (zwyrodnienie)

[ −ℏ 2

∂ x 2  ∂ 2

∂ y 2  ∂ 2

∂ z 2

  V  x , y , z ,t  ]  x , y , z ,t = E  x , yz  (X.1.1)

Stosuje się równoważny zapis równania (X.1.1):

H = E 

(X.1.2)

gdzie: H – hamiltonian (operator Hamiltona) jest wyrażony wzorem:

H =− ℏ 2

2m  ∂ 2

∂ x 2  ∂ 2

∂ y 2  ∂ 2

∂ z 2

  V  x , y ,z  (X.1.3)

Wyrażenie (X.1.3) również zapisuje się w skróconej wersji:

H =− ℏ 2

2m  V

(X.1.4)

gdzie:

= ∂ 2

∂ x 2  ∂ 2

∂ y 2  ∂ 2

∂ z 2 (X.1.5)

to operator Laplace'a

– 5 –

 ∂ 2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: