09 MECHANIKA KWANTOWA.pdf

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

IX.

MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX.1. OPERACJE OBSERWACJI.

a) klasycznie – nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary.

AB = BA

A – pomiar wielkości A

B – pomiar wielkości B

b) kwantowo –wartość obserwacji zależy od kolejności.

AB ≠ BA

IX.2. STAN UKŁADU.

a) klasycznie:

Stan układu jest opisywany przez podanie wartości wielkości opisujących ten układ

( p, E, v,...).

b) kwantowo:

– stan układu opisujemy poprzez jego funkcję falową (stanu)  .

– cały problem sprowadza się do znalezienia funkcji stanu.

– wielkości opisywane są przez operatory, każdej wielkości A jest przypisany w

sposób jednoznaczny operator A

– 1 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

IX.3. OPERATORY.

Operatorem nazywamy dowolną wielkość matematyczną, która działając na jakąś funkcję

daje inną funkcję. Każdej wielkości fizycznej przypisany jest operator.

 A =

(IX.3.1)

Przykład:

A = x , = ax  b

A = x  ax  b = ax 2  bx

= ax 2  bx

[ A , B ] df A B − B A – komutator

W mechanice kwantowej nie jest obojętne w jakiej kolejności dokonujemy pomiaru (np. po

pomiarze prędkości dany elektron jest już w innym stanie).

Wielkości, których komutator jest równy zero nazywamy wielkościami komplementarnymi.

IX.4. RÓWNANIE WŁASNE OPERATORA.

 A = a 

(IX.4.1)

a – liczba (skalar)

 – funkcja własna (operatora A )

a- wartość własna (operatora A )

Przykład 1:

 A

 x , ∂ x  =− i ∂ x

(IX.4.2)

założenia:

 x  L = x 

 x =e ia n x

(IX.4.3a)

– 2 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

a n = 2 n

(IX.4.3b)

Wartość własna oznacza wynik pomiaru wielkości mierzonej – jest to możliwa wartość

funkcji  . Na ogół dostajemy {  i }, { a i } (zbiór funkcji i wartości własnych).

Przykład 2:

p = p x , p y , p x 

p = h

 = 2

 = k ℏ – relacja pomiędzy pędem i wektorem falowym k



p = k ⋅ℏ

k = k x , k y , k z 

p = k ⋅ h , gdy k = 1



A x =− i ∂

∂ x

– operator p x

A x = p x  (?)

− i ℏ ∂

∂ x = p x 

=e i k ⋅ r =exp[ i  k x x  k y y  k z z ] – funkcja własna operatora pędu

(L – Lewa strona równania, P – prawa strona)

∂ x exp[ i  k x x  k y y  k z z ] =− i ℏ ik x exp[ i k ⋅ r ] = ℏ k x exp[ i k ⋅ r ] = P

IX.5. KONSTRUKCJA OPERATORÓW (REGUŁY JORDANA)

a) operator położenia, r = x , y , z 

r ≡ r  x , y , z  –

x = x

y = y

z = z

(IX.5.1)

– 3 –

L =− ih ∂

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

b) operator pędu, p = p x , p y , p z 

∂ x

p y =− h ∂

∂ y

p z =− i ℏ ∂

(IX.5.2)

∂ z

c) A :

Wszystkie inne operatory konstruujemy za pomocą powyższych w sposób:

– A = A  r , p 

→ A  A

– r  r ; p   p

Najpierw wielkość A przedstawiamy za pomocą wektorów położenia i pędu,

następnie położenie i pęd przedstawiamy za pomocą operatorów i podstawiamy je

odpowiednio do wzoru na A. Stąd otrzymujemy operator wielkości A.

IX.6. ZASADA ODPOWIEDNIOŚCI

Postać praw fizyki nie ulega zmianie, tylko zamiast samych wielkości fizycznych używamy

ich operatorów.

Przykład 1: Energia kinetyczna E k

A = E k = 1

2 mv 2 = m 2 v 2

2m =  mv  2

2m = p 2

2m = 1

2m  p x 2  p y 2  p z 2 

E k  E k

p   p

E k = 1

2m ⋅ p 2 = 1

2m  p x 2  p y 2  p z 2  = 1 2m [  − i ℏ ∂ x 

 − i ℏ ∂ y 

 − i ℏ ∂ z 

]



E k = −ℏ 2

 ∂ 2

∂ x 2  ∂ 2

∂ y 2  ∂ 2

∂ z 2



(IX.6.1)

– 4 –

p x =− i ℏ ∂

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

– reprezentuje całkowitą energię cząstki swobodnej

Przykład 2: Kręt

L = r × p = L x , L y , L z 

L x = r × p  x = y ⋅ p z − zp y

L x = y ⋅ p z − z ⋅ p y =− i ℏ

 y ∂ x − z ∂ y 

(IX.6.2)

IX.7. INFORMACJE Z RÓWNANIA WŁASNEGO.

a) A −{ a i } - nie ma możliwości, żeby dana wielkość opisywana przez operator A

miała inną wartość niż jej wartości własne

b) Operator A ,  j → a j  A  j = a j  j 

– jedynym możliwym rozwiązaniem układu w stanie  j jest wartość własna a j

c) zbiór układów np. cząstek, wszystkie są w stanie 

< a  > - wartość średnia wielkości

−∞

 *  x   A  x  dx

< a  >=

∞

(IX.7.1)

−∞

 *  x  x  dx

 *  x  - funkcja sprzężona do  x  (różni sie znakiem części urojonej)

Wartość średnia wielkości w stanie własnym jest równa wartości tej wielkości:

 A  1 = a 1  1 (IX.7.2)

< a  1 >= ∫  1 *  x  A  1  x  dx

∫  1 *  x  x  dx

= a 1 ∫  1 *  1 dx

∫  1 *  dx

= a 1

– gdy funkcja ψ jest funkcją własną.

– 5 –

∞

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: