Termodynamika, cd.
Wyklad 10
Kinetyczna teoria gazu doskonałego
Z równania
i równania gazu doskonałego
pV = nRT można wyznaczyć prędkość średnią kwadratową cząsteczek gazu:
Na przykład dla cząsteczek wodoru w temperaturze pokojowej (300 K) prędkość ta
wynosi 1920 m/s. Na powierzchni Słońca (2×106 K) średnia prędkość byłaby 82 razy wyższa (ale wcześniej cząsteczki rozpadają się w wyniku zderzeń).
Temperatura jest miarą energii!
Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego jest w danej
temperaturze identyczna dla wszystkich cząsteczek gazu
doskonałego i niezależna od ich masy.
droga pomiędzy kolejnymi
zderzeniami:
d to średnica cząsteczki, a N/V koncentracja cząsteczek
• Średnia droga swobodna cząsteczek powietrza na
poziomie morza wynosi 0.1 µm, natomiast na
wysokości 300 km rośnie do 20 km!
Rozkład prędkości cząsteczek
Rozkład Gaussa:
Prędkości cząstek zgodnie z kinetyczną teorią gazu mają rozkład Gaussa. Stałe a i A wyznaczymy z warunków normalizacji.
Rozkład prędkości cząsteczek gazu jest opisany rozkładem Maxwella. Stanowi on, że liczba cząstek dn(v)dv poruszających się z prędkościami leżącymi w zakresie od v do v+dv jest opisana następującym równaniem:
Prędkość średnia:
Określa szybkość dryfu układu.
Prędkość średnia kwadratowa:
Jest to pierwiastek kwadratowy ze średniej
arytmetycznej kwadratów prędkości ruchu
postępowego wszystkich cząsteczek gazu
Prędkość najbardziej prawdopodobna:
Jest to prędkość, przy której rozkład osiąga maksimum.
• Przemiana izochoryczna – stała objętość.
• Przemiana izobaryczna – stałe ciśnienie.
• Przemiana izotermiczna – stała temperatura.
• Przemiana adiabatyczna – układ nie wymienia ciepła z otoczeniem (układ izolowany lub przemiana gwałtowna).
Wymiana ciepła: egzotermiczna –
proces, w którym układ oddaje
ciepło do otoczenia
Q< 0 (ciepło jest tracone)
Wymiana ciepła: endotermiczna –
proces, w którym układ pobiera
ciepło z otoczenia.
Q > 0 (ciepło pobierane)
Jeśli układ oddaje ciepło: Q < 0
Jeśli układ pobiera ciepło: Q > 0
Jeśli układ wykonuje pracę: W < 0
Jeśli na układzie jest wykonana praca: W > 0
Zasada ekwipartycji energii
Udowodniliśmy, że w przypadku gazu doskonałego średnia energia kinetyczna jednej cząstki wynosi
Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego jest w danej temperaturze identyczna dla
wszystkich cząsteczek gazu doskonałego i niezależna od ich masy.
Pojedyncza cząstka może się poruszać niezależnie w trzech
kierunkach – x, y, z – mówimy, że ma trzy stopnie swobody. Istnieje ogólna reguła zwana....zasadą ekwipartycji energii:
Na każdy stopień swobody (na każdy rodzaj energii) przypada "porcja"
W przypadku rzeczywistych cząstek, konieczne jest uwzględnienie innych składników energii
wewnętrznej.
• Jednym z możliwych źródeł
energii jest ruch translacyjny
środka masy.
• W przypadku ruchu
postępowego liczba stopni
swobody i = 3.
Cząsteczki wieloatomowe mogą magazynować energię także w ruchu obrotowym – są to dwa stopnie swobody dla cząsteczek 2-atomowych (dwa obroty wokół osi prostopadłych do osi cząsteczki) i trzy stopnie dla cząsteczek 3-atomowych (trzy obroty).
– W przypadku dwuatomowych
cząsteczek możemy
nieuwzględniać rotacji względem
osi y ze względu na
zaniedbywalny mały wkład tej
rotacji w porównaniu do efektów
pochodzących od rotacji
względem x i z.
Energia kinetyczna i potencjalna towarzyszą wibracjom. Kolejne stopnie swobody (w tym oscylacje) włączają się wraz ze wzrostem
temperatury i dlatego w
różnych przedziałach
temperatur ciepła molowe
przybierają różną wartość.
Ruchowi translacyjnemu odpowiadają trzy stopnie swobody. Rotacja to dwa dodatkowe stopnie swobody. Wibracje to także dwa stopnie swobody.
3 + 2 + 2 = 7
Każdemu stopniowi swobody cząsteczki –
niezależnemu rodzajowi ruchu – można
przypisać energię kT/2 w przeliczeniu na
cząsteczkę (RT/2 w przeliczeniu na mol).
Ale jest to niezgodne z wynikami eksperymentalnymi
Zgodnie z wynikami teorii kinetycznej energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy wyłącznie od temperatury gazu, tzn. dla określonej masy gazu jest jednakowa dla wszystkich stanów gazu o jednakowej temperaturze.
Ciepło molowe zależy od temperatury.
• W niskich temperaturach,
dwuatomowy gaz
zachowuje się jak
monoatomowy
Jak w eksperymencie?
W temperaturze pokojowej, wartość rośnie do CV = 5/2 R
– Wynika to z włączania się ruchów rotacyjnych.
W wysokich temperaturach CV = 7/2 R
- Tu wibracje wraz z rotacjami i ruchem translacyjnym.
Złożone cząsteczki
• W przypadku cząsteczek trój- i więcej atomowych wibracje są bardzo istotne.
• Liczba stopni swobody rośnie.
• Im więcej stopni swobody ma cząsteczka, tym więcej ma „sposobów” na magazynowanie energii. W efekcie rośnie ciepło molowe.
Podsumowanie dla gazu
p = const, V/T = nR/p = const
W trakcie przeprowadzania procesu izobarycznego stosunek objętości do temperatury jest stały;
objętość i temperatura są w tym procesie wielkościami proporcjonalnymi.
Ta zależność stanowi treść prawa Gay – Lussaca, uzyskanego pierwotnie na drodze empirycznej – jako uogólnienie danych doświadczalnych.
W procesie izotermicznym iloczyn ciśnienia i objętości jest stały; ciśnienie i objętość są w tym procesie wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi:
Otrzymane zależności stanowią treść prawa Boyle’a – Mariotte’a.
Przemiany izotermiczne dominują w procesach przebiegających w materii ożywionej
Pierwsza zasada termodynamiki a przemiany gazowe – adiabata
Przemiana adiabatyczna
Przykład: rozprężanie gazu, tak szybkie, że bez wymiany ciepła z otoczeniem –
wówczas temperatura spada. Taki jest właśnie mechanizm gaśnicy CO2 –
wypływający pod ciśnieniem gaz rozpręża się do ciśnienia atmosferycznego i temperatura spada.
W powyższym związku, zwanym
równaniem Poissona, indeksy 1 i 2
oznaczają początkowy i końcowy
stan gazu, a wykładnik adiabaty
równy jest stosunkowi ciepła
molowego gazu w procesie
izobarycznym do ciepła molowego
gazu w procesie izochorycznym:
Praca wykonana kosztem energii wewnętrznej
Przykładowe przemiany gazu doskonałego we współrzędnych p-V – dla której zmiana energii jest największa?
Przemiana adiabatyczna odwracalna gazu doskonałego - kilka zastosowań...
Silnik spalinowy wysokoprężny (Diesla); powietrze sprężone ok. 20-krotnie praktycznie adiabatycznie ogrzewa się do temperatury wyższej niż 1000 K, co powoduje zapłon paliwa podanego do cylindra przez
pompę wtryskową.
Skraplanie gazów metodą Claude'a (Kapicy); sprężony gaz schłodzony wodą do temperatury „pokojowej” jest rozprężany praktycznie adiabatycznie w silniku tłokowym (G. Claude, 1900) lub turbinie gazowej (P. Kapica, 1934) w wyniku jego temperatura obniża się poniżej temperatury wrzenia.
Skąd się bierze wieczny śnieg w górach?
Im wyżej, tym niższe ciśnienie atmosferyczne. W troposferze pionowe prądy przemieszczają ogromne masy powietrza; ze względu na ich rozmiar jest proces praktycznie adiabatyczny.
Powietrze wynoszone do góry rozpręża się i w konsekwencji maleje jego temperatura –
pojawia się pionowy ujemny gradient temperatury..
Wyróżnia się 2 gradienty temperatury: suchoadiabatyczny (dla powietrza nienasyconego parą wodną) - zwykle jest to ok. 1°C/100m
Gradient wilgotnoadiabatyczny (dla powietrza nasyconego parą wodną) - zwykle jest to ok. 0.5°C/100m
Wiatr „halny” wiejący na polskim Podhalu: wilgotne ciepłe powietrze napływające z południa jest wynoszona do góry przez łańcuch Tatr w wyniku czego ulega rozprężeniu praktycznie adiabatycznemu i ochłodzeniu; skrapla się para wodna (pada deszcz). Po polskiej stronie powietrze pozbawiona wody spływa w dół ulegając adiabatycznemu sprężeniu w wyniku czego ogrzewa się; wieje suchy gorący wiatr.
Konsekwencją adiabatycznych procesów w atmosferze są także tornada.
Tornada są widoczne dzięki kondensacji kropelek wody.
Praca cyklu- pole wewnątrz krzywej
...
Ender55