Rozdz_9A.pdf
(
148 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 41
9. PýASKA LAMINARNA WARSTWA PRZYĺCIENNA
9.1. Koncepcja warstwy przyĻciennej
nielepkiego na granicy warstwy; w warstwie tej, zwanej
w a r s t w Ģ
p r z y Ļ c i e n -
n Ģ ,
zachodzĢ wszystkie zjawiska wywoþane lepkoĻciĢ, a siþy jednostkowe pocho-
dzĢce od lepkoĻci pþynu sĢ tego samego rzħdu wielkoĻci, co siþy jednostkowe po-
chodzĢce od ciĻnienia i bezwþadnoĻci,
II. Podobszar zewnħtrzny wzglħdem warstwy przyĻciennej, w ktrym pþyn moŇe
byę traktowany jako pþyn nielepki, podlegajĢcy wszystkim rwnaniom hydrodyna-
miki klasycznej.
Rys. 9.1
Przy opþywie ciaþ moŇna jeszcze wyrŇnię trzeci podobszar, nazywany
Ļ l a -
d e m w a r s t w y p r z y Ļ c i e n n e j
,
zawierajĢcy spþywajĢcĢ warstwħ przyĻcien-
nĢ. Jest on zatem podobny do warstwy przyĻciennej pod wzglħdem rzħdu wielkoĻci
naprħŇeı lepkich, rŇni siħ natomiast od warstwy przyĻciennej rodzajem ogranicze-
nia, gdyŇ nie stanowi go juŇ Ļcianka ciaþa staþego.
Jedno z zasadniczych zaþoŇeı teorii warstwy przyĻciennej dotyczy
g r u b o Ļ c i
w a r s t w y
d( )
251
Obserwacja szybkich przepþyww pþynu rzeczywistego o maþej lepkoĻci w sĢ-
siedztwie ciaþ staþych (przy duŇych liczbach Reynoldsa) wykazaþa, Ňe caþy obszar
przepþywu moŇna umownie podzielię na dwa podobszary (rys. 9.1):
I. CienkĢ warstwħ, bliskĢ ciaþu, w ktrej prħdkoĻę pþynu wzglħdem nieruchome-
go ciaþa zmienia siħ od zera na powierzchni ciaþa, do prħdkoĻci strumienia pþynu
x
(rys. 9.1),
ktra nie moŇe byę okreĻlona w sposb jednoznaczny
wobec faktu asymptotycznego zanikania wypadkowej siþ stycznych dziaþajĢcych na
element pþynu w miarħ oddalania siħ od Ļcianki. Wynika wiħc stĢd, Ňe definicje
gruboĻci warstwy przyĻciennej mogĢ byę w ogle rŇne. Zwykle przyjmuje siħ za
gruboĻę warstwy przyĻciennej odlegþoĻę takiego punktu od Ļcianki, w ktrym rze-
czywista prħdkoĻę przepþywu rŇni siħ o 1% od prħdkoĻci przepþywu potencjalnego,
jaka ustaliþaby siħ w tym punkcie przy opþywie ciaþa cieczĢ nielepkĢ.
Ze wzglħdu na maþĢ gruboĻę warstwy przyĻciennej w zakresie dostatecznie du-
Ňych liczb Reynoldsa, moŇna opisaę ruch pþynu lepkiego za pomocĢ uproszczonych
rwnaı Naviera-Stokesa. ZakþadajĢc ponadto, Ňe Ļcianka jest bardzo maþo zakrzy-
wiona moŇna rwnieŇ lokalne wspþrzħdne krzywoliniowe zastĢpię wspþrzħdnymi
prostokĢtnymi x, y - mierzonymi odpowiednio wzdþuŇ Ļcianki i w kierunku normal-
nym do niej.
Teoria warstwy przyĻciennej umoŇliwia þatwe i dokþadne obliczanie opþywu ciaþ,
a zwþaszcza oporw tarcia. Odegraþa ona niezmiernie doniosþĢ rolħ w dziedzinie
zastosowaı dynamiki cieczy lepkiej, szczeglnie w rozwoju lotnictwa.
9.2. Warstwa przyĻcienna w cieczy lepkiej
Wyprowadzimy rwnania warstwy przyĻciennej dla pþaskiego ruchu ustalonego
opisywanego ukþadem rwnaı:
V
x
+
V
y
=
0
,
Ú
x
y
Í
Í
V
V
x
+
V
V
x
=
-
1
p
+
n
D
V
,
(9.1)
Û
x
x
y
y
r
x
x
Í
Í
V
V
1
p
y
y
Í
V
+
V
=
-
+
n
D
V
.
x
x
y
y
r
y
y
Í
Ü
PrzyjmujĢc, Ňe gruboĻę warstwy przyĻciennej d, stanowiĢca odcinek zasadniczych
zmian skþadowej stycznej prħdkoĻci, jest niewielka w porwnaniu z wymiarami ciaþa
d << l, (9.2)
oszacujemy poszczeglne skþadniki rwnaı Naviera-Stokesa. Zakresem zmiennoĻci
wspþrzħdnej
y
w warstwie jest przedziaþ [
0, d
], zakresem zmiennoĻci wspþrzħdnej
x - przedziaþ [
0, l
]. Skþadowa V
x
prħdkoĻci w warstwie zmienia siħ od wartoĻci zero
na Ļciance, do wielkoĻci rzħdu prħdkoĻci przepþywu niezakþconego V
na granicy
warstwy; moŇna zatem napisaę
V
x
=
O
( )
V
i nastħpnie mamy:
252
Í
V
x
=
O
Å
Æ
V
Õ
Ö
,
V
x
=
O
Å
Æ
V
Õ
Ö
,
x
l
y
d
2
V
Ä
V
Ô
2
V
Ä
V
Ô
x
=
O
Å
Æ
Õ
Ö
,
x
=
O
Å
Æ
Õ
Ö
.
x
2
l
2
y
2
d
2
Na podstawie rwnania ciĢgþoĻci wnioskujemy, Ňe
V
y
=
O
Å
Æ
V
l
Õ
Ö
,
y
skĢd obliczamy:
V
=
d
Ð
V
y
d
y
=
O
Ä d
V
Õ
Ö
,
y
y
l
0
2
V
Ä
V
Ô
y
=
O
Å
Æ
Õ
Ö
.
2
l
d
y
Ostatnie niezbħdne oszacowania sĢ wiħc nastħpujĢce:
V
Ä
d
V
Ô
2
V
Ä
d
V
Ô
y
=
O
Å
Æ
Õ
Ö
,
y
=
O
Å
Æ
Õ
Ö
.
x
2
2
3
l
x
l
sĢ mniejsze od pozosta-
þych i moŇna je odrzucię. Odrzucamy rwnieŇ wszystkie wyrazy rwnania (9.1c),
zawierajĢce skþadowe prħdkoĻci, gdyŇ sĢ one rzħdu wyŇszego od odpowiednich
wyrazw rwnania (9.1b).W wyniku tych uproszczeı otrzymujemy ostatecznie:
2
V
x
x
2
oraz
2
V
y
x
2
V
V
1
p
2
V
Ú
V
x
+
V
x
=
-
+
n
x
,
Í
x
x
y
y
r
x
2
y
Í
Í
0
=
-
1
p
,
Û
(9.3)
r
y
Í
Í
V
V
x
+
y
=
0
,
Í
x
y
Í
Ü
skĢd wynika bardzo istotny wniosek, Ňe p p x
= ( ) - co oznacza niezmiennoĻę ci-
Ļnienia w przekroju warstwy przyĻciennej.
253
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Å
Æ
Ô
PorwnujĢc poszczeglne wyrazy w rwnaniach (9.1) w oparciu o otrzymane
oceny stwierdzamy, Ňe wyrazy
PoniewaŇ poza warstwĢ przyĻciennĢ znaczenie lepkoĻci zanika - moŇna uwaŇaę
wiħc, Ňe obowiĢzuje tam rwnanie Bernoulliego
U
2
(
x
)
p
(
x
)
+
=
const
,
2
r
ktre jest speþnione rwnieŇ na Ļciance ciaþa opþywanego cieczĢ doskonaþĢ. MoŇemy
zatem, przy zaþoŇeniu (9.2), traktowaę U jako prħdkoĻę na Ļciance i zapisaę ukþad
(9.3) w nieco innej postaci:
V
V
d
U
2
V
Ú
V
x
+
V
x
=
U
+
n
x
,
Í
Û
x
x
y
y
d
x
2
y
(9.4)
V
V
Í
Ü
x
+
y
=
0
.
Í
x
y
Jest to ukþad rwnaı rŇniczkowych czĢstkowych typu parabolicznego; stanowiĢce
go rwnania nazywane sĢ r w n a n i a m i P r a n d t l a
.
Warunki brzegowe jakie nakþadamy na skþadowe prħdkoĻci wyraŇajĢ znikanie
V
x
i V
y
na Ļciance
V
x
V
y
=
0
=
y
=
0
(9.5)
y
=
0
oraz zgodnoĻę skþadowej stycznej z prħdkoĻciĢ na granicy warstwy
V
y
x
=
U
(x
)
.
(9.6)
=
d
Ze wzglħdu na fakt, Ňe ukþad (9.4) jest ukþadem typu parabolicznego trzeba jesz-
cze oprcz warunkw brzegowych (9.5) (9.6) postawię warunek poczĢtkowy
V =
=
x
V
x
0
,
(9.7)
x
x
0
okreĻlajĢcy rozkþad prħdkoĻci na pewnej linii þĢczĢcej Ļciankħ z granicĢ warstwy;
rozwiĢzanie rwnaı (9.4) wyznacza wiħc zmianħ tego rozkþadu wzdþuŇ Ļcianki op-
þywanego ciaþa.
Zbadamy jeszcze gruboĻę warstwy przyĻciennej, wynikajĢcĢ z zaþoŇenia (9.2)
oraz uzyskanych uprzednio oszacowaı. MoŇemy napisaę
Æ
V
V
x
+
V
V
x
Ö
Ä
V
2
Ô
Å
Õ
x
x
y
y
l
( )
,
=
O
=
O
1
2
Å
V
Õ
V
n
x
n
2
y
2
Æ
d
Ö
254
Ä
Ô
skĢd wypada ostatecznie
d
=
O
Å
Æ
1
Õ
Ö
.
(9.8)
l
Å
Õ
Re
OtrzymaliĻmy bardzo istotny wynik, zezwalajĢcy na oszacowanie gruboĻci warstwy
przyĻciennej, jako odwrotnie proporcjonalnej do pierwiastka kwadratowego z liczby
Reynoldsa.
*
Ukþad (9.4) moŇna zapisaę rwnieŇ w postaci bezwymiarowej:
V
V
d
U
2
V
Ú
V
x
+
V
x
=
U
+
x
,
Í
Û
x
x
y
y
d
x
y
2
Í
(9.9)
V
x
+
V
y
=
0
,
Í
Ü
x
y
jeĻli wprowadzimy nastħpujĢce zmienne i funkcje bezwymiarowe:
x
=
x
l
,
y
=
y
Re
l
,
Í
Û
V
=
V
V
,
V
=
V
Re
V
,
Í
(9.10)
x
x
y
y
Í
Ü
U
=
U
V
,
Re
=
V
l
n
,
Í
gdzie l
jest skalĢ dþugoĻci, V
- prħdkoĻciĢ w nieskoıczonoĻci.
Wykorzystanie funkcji prĢdu, okreĻlonej wzorami (6.7), zezwala ponadto na
zredukowanie ukþadu (9.9) do jednego rwnania trzeciego rzħdu
3
y
y
2
y
y
2
y
d
U
+
-
=
-
U
.
(9.11)
3
x
2
y
x
y
d
x
y
y
Po pominiħciu kresek nad wielkoĻciami bezwymiarowymi i zdefiniowaniu no-
wych zmiennych niezaleŇnych:
x
t
=
Ð
U
(
x
)
d
x
,
z
=
y
(
x
,
y
)
(9.12)
0
obliczamy:
255
Ä
Ô
Í
Ú
Plik z chomika:
Lilamayi
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_4B.pdf
(122 KB)
Rozdz_7C.pdf
(109 KB)
Rozdz_7D.pdf
(82 KB)
Rozdz_7E.pdf
(153 KB)
Rozdz_8A.pdf
(142 KB)
Inne foldery tego chomika:
hydromechanika
Mechanika płynów
Mechanika płynów 2
Mechanika Płynów 3
Mechanika płynów i Hydraulika
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin