MS-przyk2.pdf

(446 KB) Pobierz
Dana jest rama jak na rysunku
METODA SIŁ - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
ROZWIĄZANIE RAMY PŁASKIEJ METODĄ SIŁ I OBLICZENIE PRZEMIESZCZEŃ
Dana jest rama jak na rysunku.
∆
r = 1.5 o
Błędy montażu
2
M=15,00 kNm
i
P=20,00kN
-30 o C
10 o C
2
∆
L 2 =1cm
1
1 o
1.3889 EI
1
∆
r =1cm
1.4 cm
j
2,00m
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
Rozwiązać ją metodą sił od danego obciążenia siłami, od zmiany temperatury oraz od błędów montażu
i przemieszczeń podpór. Sporządzić wykresy sił przekrojowych i dokonać kontroli rozwiązania od
jednego z wymienionych wpływów. Obliczyć zaznaczone przemieszczenia.
m 3
Uwaga dotycząca oznaczeń.
Aby uniknąć niejednoznaczności oznaczeń wszystkie przemieszczenia obliczane w statycznie
wyznaczalnym układzie podstawowym i dotyczące tylko układu podstawowego oznaczać będziemy
małym symbolem
δ
. Siły przekrojowe i reakcje wyznaczane w układzie podstawowym oznaczać będziemy
odpowiednim symbolem z nadkreśleniem (np. M ) a w układzie danym oznaczać będziemy
odpowiednim symbolem bez nadkreślenia (np. M ).
1 WYZNACZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
3 przekształcamy
układ dany w zbiór tarcz „sztywnych” otwartych przez
usunięcie więzi podporowych, dokonanie przecięć
wszędzie tam gdzie połączenie nie jest pełne oraz
„otwarcie” tarcz zamkniętych. Zilustrowano to na
rysunku obok. Na rysunku tym w nawiasach podano
liczby usuniętych więzi, których suma jest liczbą więzi
e w przytoczonym wzorze.
n h
=
e
−
⋅
t
(e=3)
(e=3)
t
=
2
e
=
2
⋅
3
+
2
=
8
(e=2)
n
=
8
−
3
⋅
2
=
2
2 ROZWIĄZANIE RAMY OD OBCIĄŻENIA SIŁAMI
2.1 UKŁAD PODSTAWOWY
Układ podstawowy tworzymy z układu
danego przez zastąpienie
M=15,00 kNm
P=20,00kN
X 1
X 2
n więzi
niewiadomymi siłami w taki sposób by
powstały układ był geometrycznie
niezmienny.
C
h
x
B
D
1.3889 EI
E
Uwaga: Liniami przerywanymi wzdłuż osi
prętów wyróżniono włókna do znakowania
momentów zginających.
A
2,00m
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
y
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
k 1 = 0.5 EI
a przemieszczenia obliczane w statycznie niewyznaczalnym układzie danym lub
obliczane w układzie podstawowym a dotyczące układu danego oznaczać będziemy dużym symbolem
∆
Aby skorzystać z wzoru
21043175.046.png 21043175.047.png 21043175.048.png 21043175.049.png 21043175.001.png
METODA SIŁ - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
2.2 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD DANEGO OBCIĄŻENIA F=(M,P,q)
Uwaga: Wszystkie wielkości
wyznaczane w tym punkcie wyróżniamy
nadkreśleniem i indeksem górnym F.
Dla skrócenia zapisu w obliczeniach
pominiemy te wyróżniki stosując pełne
symbole tylko w oznaczeniach wielkości,
z których korzystać będziemy w dalszych
obliczeniach.
M=15,00 kNm
P=20,00kN
x
V B
H A
2,00m
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
V A
y
2.2.1 Wyznaczenie reakcji podpór
∑
M
A
=
−
V
B
⋅
10
m
+
P
⋅
6
m
+
M
+
q
⋅
3
m
⋅
3
m
/
2
=
0
⇒
0
−
V B
⋅
10
m
+
20
kN
⋅
6
m
+
15
kNm
+
5
kN
/
m
⋅
3
m
⋅
3
m
/
2
=
⇒
V
B
=
V
F
B
=
15
.
75
kN
,
∑
Y
=
−
V
A
−
V
B
+
P
=
0
⇒
−
V A
−
15
.
75
kN
+
20
kN
=
0
⇒
V
A
=
V
F
A
=
4
25
kN
,
∑
X
=
H
A
+
q
⋅
3 m
=
0
⇒
H A
+
5
kN
/
m
⋅
3
m
=
0
⇒
H
A
=
H
F
A
=
−
15
.
00
kN
.
Kontrola
∑
M
B
=
−
H
A
⋅
3
m
+
V
A
⋅
10
m
−
P
⋅
4
m
+
M
−
q
⋅
3
m
⋅
3
m
/
2
=
kNm
2.2.2 Obliczenie wartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
0
=
(
15
⋅
3
+
4
.
25
⋅
10
−
20
⋅
4
+
15
−
5
⋅
3
⋅
3
/
2
)
=
0
M
A
=
,
M
E
=
V
A
⋅
2
m
−
H
A
⋅
1
m
−
q
⋅
1
m
⋅
1
m
/
2
=
=
4
.
25
kN
⋅
2
m
+
15
kN
⋅
1
.
m
−
5
kN
/
m
⋅
1
.
m
⋅
1
.
m
/
2
=
25
.
375
kNm
,
M
CA
=
V
A
⋅
4
m
−
H
A
⋅
3
m
−
q
⋅
3
m
⋅
3
m
/
2
=
4
25
⋅
4
m
+
15
kN
⋅
3
m
−
5
kN
/
m
⋅
3
m
⋅
3
m
/
2
=
39
.
50
kNm
,
M
CD
=
M
CA
+
M
=
39
.
kNm
+
15
kNm
=
54
.
50
kNm
,
M
D
=
V
B
⋅
4
m
=
15
.
75
kN
⋅
4
m
=
63
.
00
kNm
,
M
B
=
0
,
(
)
V
AC
=
V
A
⋅
cos
α
−
H
A
⋅
sin
α
=
4
25
⋅
0
+
15
⋅
0
kN
=
12
.
40
kN
,
(
)
N
AC
=
−
V
A
⋅
sin
α
−
H
A
⋅
cos
α
=
−
4
25
⋅
0
+
15
⋅
0
kN
=
9
45
kN
,
(
)
V
CA
=
V
A
⋅
cos
α
−
H
A
⋅
sin
α
−
q
⋅
3
m
⋅
sin
α
=
4
25
⋅
0
+
15
⋅
0
−
5
⋅
3
⋅
0
kN
=
3
40
kN
,
(
)
N
CA
=
−
V
A
⋅
sin
α
−
H
A
⋅
cos
α
−
q
⋅
3
m
⋅
cos
α
=
−
4
25
⋅
0
+
15
⋅
0
−
5
⋅
3
⋅
0
kN
=
−
2
55
kN
,
N .
Rzędne środkowe momentów zginających dla przedziału CD i DB, wykorzystując ich
prostoliniowy charakter, obliczono jako średnie arytmetyczne z wartości brzegowych.
(
CD
=
P
−
V
B
=
20
kN
−
15
.
75
kN
=
4
25
kN
,
V
DB
=
−
V
B
=
−
15
.
75
kN
,
CB
=
0
M
s
,
CD
=
M
CD
+
M
D
) (
/
2
=
54
.
+
63
)
/
2
⋅
kNm
=
58
.
75
kNm
,
(
) (
)
M
s
,
DB
=
M
D
+
M
B
/
2
=
63
+
0
/
2
⋅
kNm
=
31
.
50
kNm
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
S
F
=
−
V
=
−
4
25
kN
1
A
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
S
F
=
M
=
39
.
50
kNm
2
CA
2.2.3 Wykresy sił przekrojowych.
+
+
M F
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
2
V
21043175.002.png 21043175.003.png 21043175.004.png 21043175.005.png 21043175.006.png 21043175.007.png
METODA SIŁ - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
+
-
-
+
+
N F
V F
2.3 Rozwiązanie układu podstawowego od obciążenia X 1 = 1
Uwaga: Wszystkie wielkości wyznaczane w tym
punkcie wyróżniamy nadkreśleniem i indeksem
górnym 1. Dla skrócenia zapisu w obliczeniach
pominiemy te wyróżniki stosując pełne symbole
tylko w oznaczeniach wielkości, z których
korzystać będziemy w dalszych
obliczeniach.
X 1
x
V B
H A
2,00m
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
2.3.1 Wyznaczenie reakcji podpór.
y
V A
∑
M
A
=
−
V
B
⋅
10 m
+
1
=
0
⇒
V
B
=
V
B
1
=
0
.
10
/
m
,
∑
Y
=
−
V
A V
−
=
0
⇒
V
=
V
1
=
−
0
.
10
/
m
,
B
A
A
∑
X
=
H
=
0
⇒
H
A H
=
1
=
0
.
A
A
Kontrola
∑
M
B
=
−
H
A
⋅
3
m
+
V
A
⋅
10
m
+
X
1
=
−
0
⋅
3
−
0
⋅
10
+
1
=
0
2.3.2 Obliczeniewartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
0
M
A
=
,
M
C
=
V
A
⋅
4
m
−
H
A
⋅
3
m
=
−
0
40
,
M
D
=
V
B
⋅
4
m
−
1
=
−
0
60
,
M
B
=
0
,
V
AC
=
V
A
⋅
cos
α
−
H
A
⋅
sin
α
=
−
0
08
/
m
,
N
AC
=
−
V
A
⋅
sin
α
−
H
A
⋅
cos
α
=
0
06
/
m
,
V
CB
=
−
V
B
=
−
0
10
/
m
,
N
CB
=
0
.
(
) (
)
M
E
=
M
s
,
AC
=
M
A
+
M
C
/
2
=
0
−
0
.
/
2
=
−
0
.
20
,
(
) (
)
(
) (
)
M
s
CD
=
M
C
+
M
D
/
2
=
−
0
.
−
0
.
/
2
=
−
0
.
50
,
M
s
,
DB
=
M
D
+
M
B
/
2
=
−
0
.
−
1
/
2
=
−
.
80
.
(
) (
)
M
s
CB
=
M
C
+
M
B
/
2
=
−
0
.
−
1
/
2
=
−
0
.
70
.
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
S
1
1
=
−
V
A
=
0
10
/
m
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
S
1
2
=
M
C
=
−
0
.
40
2.3.3 Wykresysił przekrojowych.
-
-
M 1
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
0
,
,
21043175.008.png 21043175.009.png 21043175.010.png 21043175.011.png 21043175.012.png 21043175.013.png 21043175.014.png 21043175.015.png 21043175.016.png 21043175.017.png 21043175.018.png 21043175.019.png 21043175.020.png 21043175.021.png
METODA SIŁ - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
-
+
-
N 1
V 1
2.4 Rozwiązanie układu podstawowego od obciążenia X 2 = 1.
Uwaga: Wszystkie wielkości wyznaczane w tym punkcie
wyróżniamy nadkreśleniem i indeksem górnym 2.
Dla skrócenia zapisu w obliczeniach pominiemy te
wyróżniki stosując pełne symbole tylko w
oznaczeniach wielkości, z których korzystać
będziemy w dalszych obliczeniach.
X 2
x
V B
H A
2,00m
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
2.4.1 Wyznaczenie reakcji podpór.
y
V A
∑
M
A
=
−
V
B
⋅
10
m
+
1
⋅
3
m
=
0
⇒
V
B
=
V
B
2
=
0
30
,
∑
Y
=
−
V
A
−
V
B
=
0
⇒
V
A
=
V
A
=
−
0
30
,
∑
X
=
H
A
+
1
=
0
⇒
H
A
=
H
A
=
−
1
.
Kontrola
∑
M
B
=
−
H
A
⋅
3
m
+
V
A
⋅
10
m
=
(
−
(
−
1
⋅
3
+
(
−
0
⋅
10
)
m
=
0
2.4.2 Obliczeniewartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
M
A
=
0
,
M
C
=
V
A
⋅
4
m
−
H
A
⋅
3
m
=
1
80
m
,
M
D
=
V
B
⋅
4
m
=
1
20
m
,
M
B
=
0
,
V
AC
=
V
A
⋅
cos
α
−
H
A
⋅
sin
α
=
0
36
,
N
AC
=
−
V
A
⋅
sin
α
−
H
A
⋅
cos
α
=
0
98
,
V
CB
=
−
V
B
=
−
0
30
,
N
CB
=
1
.
(
) (
)
M
E
=
M
s
,
AC
=
M
A
+
M
C
/
2
=
0
+
1
.
/
2
⋅
m
=
0
.
90
m
,
(
) (
)
(
) (
)
M
s
,
CD
=
M
C
+
M
D
/
2
=
1
.
+
1
.
/
2
⋅
m
=
1
.
50
m
,
M
s
,
DB
=
M
D
+
M
B
/
2
=
1
.
+
0
/
2
⋅
m
=
0
.
60
m
,
(
) (
)
M
s
,
CB
=
M
C
+
M
B
/
2
=
1
.
+
0
/
2
⋅
m
=
0
.
90
m
.
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
S
2
1
=
−
V
A
=
0
30
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
S
2
2
=
M
C
=
1
80
m
2.4.3 Wykresysił przekrojowych
M 2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
4
2
2
21043175.022.png 21043175.023.png 21043175.024.png 21043175.025.png 21043175.026.png 21043175.027.png 21043175.028.png 21043175.029.png 21043175.030.png 21043175.031.png 21043175.032.png 21043175.033.png 21043175.034.png 21043175.035.png 21043175.036.png 21043175.037.png
METODA SIŁ - przykład 2- rama z więziami sprężystymi
poddana działaniu sił, zmian temperatury, przemieszczeń podpór i błędów montażu
N 2
V 2
2.5 Układ równań i jego rozwiązanie.
2.5.1 Postać ogólna układu równań stosowna do przyjętego układu podstawowego
Równań jest dokładnie tyle ile niewiadomych, to jest tyle ile wynosi stopień statycznej
niewyznaczalności (w rozwiązywanym przykładzie 2)
δ
11
⋅
X
1
F
+
δ
12
⋅
X
F
+
δ
1
F
=
∆
F
rz
1
=
0
,
δ
⋅
X
F
+
δ
⋅
X
F
+
δ
=
∆
F
=
0
,
21
1
22
1
2
F
2
rz
2.5.2 Obliczeniewspółczynników układu równań
Współczynniki układu równań obliczamy wykorzystując wzory
M
i
⋅
M
j
∑
S
i
s
⋅
S
j
s
M
i
⋅
M
F
∑
S
i
s
⋅
S
F
s
δ
=
∫
dx
+
,
δ
=
∫
dx
+
,
ij
EI
k
iF
EI
k
s
s
Do obliczenia całek w powyższych wzorach zastosowano wzór Simpsona lub Mohra. Ze względu na
charakter wykresów momentów zginających całki w powyższych wzorach przedstawiono w postaci
sum 3 lub 2 całek odpowiadających przedziałom całkowania, w których funkcje podcałkowe spełniają
założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.
δ
=
1
∫
M
1
⋅
M
1
⋅
dx
+
1
∫
M
1
⋅
M
1
⋅
dx
+
S
1
1
⋅
S
1
1
+
S
1
2
⋅
S
1
2
=
11
EI
EI
k
k
AC
AC
CB
CB
1
2
=
1
⋅
−
0
⋅
5
m
⋅
2
⋅
(
−
0
+
1
⋅
6
m
⋅
(
(
−
0
⋅
(
−
0
+
4
⋅
(
−
0
)
⋅
(
−
0
)
+
(
−
1
⋅
(
−
1
) +
EI
2
3
1
3889
EI
6
+
0
/
m
⋅
0
/
m
+
(
−
0
⋅
(
−
0
=
2
693049
m
,
0
EI
/
m
3
EI
/
m
EI
δ
=
δ
=
1
∫
M
1
⋅
M
2
⋅
dx
+
1
∫
M
1
⋅
M
2
⋅
dx
+
S
1
1
⋅
S
2
1
+
S
1
2
⋅
S
2
2
=
12
21
EI
EI
k
k
AC
AC
CB
CB
1
2
=
1
⋅
−
0
⋅
5
m
⋅
2
⋅
1
m
+
1
⋅
6
⋅
(
−
0
⋅
1
+
4
⋅
(
−
0
)
⋅
0
+
(
−
1
⋅
0
m
2
+
EI
2
3
1
3889
⋅
EI
6
0
/
m
⋅
0
(
−
0
⋅
1
m
m
2
+
+
=
−
4
192781
,
0
EI
/
m
3
EI
/
m
EI
δ
=
1
∫
M
2
⋅
M
2
⋅
dx
+
1
∫
M
2
⋅
M
2
⋅
dx
+
S
2
1
⋅
S
2
1
+
S
2
2
⋅
S
2
2
=
22
EI
EI
k
k
AC
AC
CB
CB
1
2
1
1
m
⋅
5
m
2
1
1
m
⋅
6
m
2
0
⋅
0
1
⋅
1
m
m
3
=
⋅
⋅
⋅
1
m
+
⋅
⋅
⋅
1
m
+
+
=
13
.
485563
,
EI
2
3
1
3889
⋅
EI
2
3
0
EI
/
m
3
EI
/
m
EI
1
1
1
S
1
1
⋅
S
F
S
1
2
⋅
S
F
δ
=
∫
M
1
⋅
M
F
⋅
dx
+
∫
M
1
⋅
M
F
⋅
dx
+
∫
M
1
⋅
M
F
⋅
dx
+
1
+
2
=
1
F
EI
EI
EI
k
k
AC
AC
CD
CD
DB
DB
1
2
=
1
⋅
5
m
⋅
(
0
⋅
0
+
4
⋅
(
−
0
⋅
25
.
375
kNm
+
(
−
0
⋅
39
.
kNm
) +
EI
6
1
2
+
⋅
⋅
(
−
0
.
⋅
54
.
+
4
⋅
(
−
0
⋅
58
.
75
+
(
−
0
⋅
63
)
kNm
2
+
1
3889
⋅
EI
6
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
2
)
21043175.038.png 21043175.039.png 21043175.040.png 21043175.041.png 21043175.042.png 21043175.043.png 21043175.044.png 21043175.045.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin