MS-przyk3.pdf

(292 KB) Pobierz
Dana jest rama jak na rysunku
METODA SIŁ – przykład 3 – ilustracja wpływu układu podstawowego na postać układu równań
WPŁYW UKŁADU PODSTAWOWEGO NA POSTAĆ UKŁADU RÓWNAŃ METODY SIŁ
Rama płaska pokazana na rysunku zostanie
rozwiązana z wykorzystaniem trzech
różnych układów podstawowych w celu
zilustrowania, jaki ma wpływ wybór układu
podstawowego na postać układu równań
metody sił.
Wynik końcowy rozwiązania ramy,
oczywiście nie zależy od przyjętego układu
podstawowego.
P=15kN
q=4 k m
2EJ
EJ
M=10kN
y
2,50m
2,50m
4,00m
k= 4EJ
m3
1. WYZNACZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
Stopień statycznej niewyznaczalności określamy
na podstawie wzoru
e=3
po przekształceniu
danego układ w zbiór tarcz sztywnych t przez
usunięciu więzi e . W tym przypadku mamy 1
H ne t
=−⋅
t
=
i
. Rama jest, zatem
jednokrotnie statycznie niewyznaczalna, co
oznacza, że układ równań metody sił będzie się składał z jednego równania.
=+=
a więc
n
H
=−⋅=
4311
e=1
2. PRZYJĘTE UKŁADY PODSTAWOWE
P=15kN
q=4 k m
X 1
Układ podstawowy tworzymy z układu danego
poprzez zastąpienie n więzi, siłami w taki
sposób, aby powstał układ statycznie
wyznaczalny i geometrycznie niezmienny.
2EJ
X 1
EJ
Pierwszy układ podstawowy (obok)
przyjęto przez zastąpienie węzła sztywnego
węzłem przegubowym i dwoma niewiadomymi
momentami
M=10kN
2,50m
2,50m
4,00m
k= 4EJ
m3
X .
Drugi układ podstawowy (poniżej) Trzeci układ podstawowy (poniżej) utworzono
utworzono przez przecięcie więzi sprężystej przez usunięcie więzi sprężystej i podpory
i wprowadzenie dwóch sił niewiadomych X . i zastąpienie ich niewiadomą (jedną) siłą X .
P=15kN
q=4 k m
P=15kN
q=4 k m
2EJ
EJ
2EJ
EJ
M=10kN
X 1
M=10kN
X 1
X 1
2,50m
2,50m
4,00m
k= 4EJ
m3
2,50m
2,50m
4,00m
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
Przykład opracował, we współpracy ze mną,
Wojciech Zielichowski-Haber
1
3
e
31 4
21043176.046.png 21043176.047.png 21043176.048.png
METODA SIŁ – przykład 3 – ilustracja wpływu układu podstawowego na postać układu równań
3. ROZWIĄZANIE RAMY Z WYKORZYSTANIEM UKŁADU PODSTAWOWEGO Nr 1
3.1. ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO Nr 1
3.1.1. WYNIKI ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA F=(M,P,q)
P=15kN
q=4 k m
M A
H A
A
1
2
2EJ
V A
EJ
M=10kN
B
Reakcje podporowe i siła w więzi sprężystej
kNm
M A
=
65
.
000
,
H
A
=
0
,
k= 4EJ
m3
2,50m
2,50m
4,00m
V A
=
20
.
500
kN
,
V B
=
10
.
500
kN
,
V B
S
B
=
−
V
B
=
−
10
.
500
kN
.
Wykres momentów zginających
-65,00
-13,75
M F
kNm
3,00
-10,00
3.1.2. WYNIKI ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA X 1 =1
X 1 =1
H A A
1
2EJ
2
X 1 =1
M A
V A
EJ
Re akcje podporowe i siła w więzi sprężystej
1
M
=−
2.250
,
H
1
=
0
,
B
A
A
k= 4EJ
m3
V
1
=−
0.250 /
m
,
V B
1
=
0
250
/
m
,
A
2,50m
2,50m
4,00m
F
B
F
B
V B
S
=
−
V
=
−
0
250
/
m
Wykres momentów zginających
1
1
2,250
1,625
M 1
rzędne bezwymiarowe
2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
Przykład opracował, we współpracy ze mną,
Wojciech Zielichowski-Haber
21043176.049.png 21043176.001.png 21043176.002.png 21043176.003.png 21043176.004.png 21043176.005.png 21043176.006.png 21043176.007.png 21043176.008.png 21043176.009.png 21043176.010.png 21043176.011.png 21043176.012.png 21043176.013.png 21043176.014.png 21043176.015.png
METODA SIŁ – przykład 3 – ilustracja wpływu układu podstawowego na postać układu równań
3.2. RÓWNANIE METODY SIŁ I JEGO ROZWIĄZANIE
W rozpatrywanym przypadku (układ podstawowy nr 1) równanie metody sił opisuje warunek,
że wzajemny obrót końców prętów w miejscu przyłożonych sił hiperstatycznych
X w układzie
1
podstawowym
∆
1
(
X
1
,
F
)
=
δ
11
⋅
X
1
+
δ
1
F
musi być równy temu samemu wzajemnemu obrotowi w
, co po uwzględnieniu, że w węźle sztywnym wzajemny
obrót prętów równy jest zero, prowadzi do równania
∆
rz
F
1
, to jest
∆
1
(
X
1
,
F
)
=
∆
rz
F
δ
11
⋅
X
1
+
δ
1
F
=
∆
rz
F
=
0
- wzajemny obrót końców prętów w układzie podstawowym w miejscu
przyłożonych sił hiperstatycznych
δ ⋅
X
1
i
δ
1 F
X wywołany odpowiednio siłami
1
X i obciążeniem danym,
1
δ
11
- wzajemny obrót jak wyżej wywołany siłami
X
1
=
1
.
Współczynniki równania obliczamy wykorzystując wzory
M
1
⋅
M
1
S
1
⋅
S
1
M
1
⋅
M
F
S
1
⋅
S
F
B
B
B
B
δ
=
∫
⋅
dx
+
,
∫
δ
=
⋅
dx
+
,
11
1
F
EI
k
EI
k
MM
1
⋅
1
SS
11
⋅
1
1
1
SS
11
⋅
δ
=
∫
dx
+
SS
=
∫ ∫ ∫
MMdx
1
⋅ +
1
MMdx
1
⋅ +
1
MMdx
1
⋅ +
1
BB
=
11
EJ
k
EJ
EJ
EJ
k
S
A
1
A
1
12
12
2
B
2
B
∆
=
2.25 2.25 4 1.9375 1.9375 1.625 1.625
26
2.5
2.5
m
⋅
(
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ +
)
EJ
m
⋅
+
1.625 1.625 4 1.3125 1.3125 1 1
26
5
⋅
(
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ +
)
EJ
m
EJ
⋅
+ ⋅ ⋅ +
⋅
(
1 1 4
⋅
0.5 0.5 0 0
⋅ +⋅ +
)
( 0.25) ( 0.25)
−⋅ −⋅
m
=
8.609
⋅
m
6
4
EJ
E J
MM
1
⋅
F
SS
11
⋅
1
1
1
SS
1
⋅
F
δ
=
∫
dx
+ =
SS
∫ ∫ ∫
M M dx
1
⋅ +
F
M M dx
1
⋅ +
F
M M dx
1
⋅ +
F
BB
=
1
F
EJ
k
EJ
EJ
EJ
k
S
A
1
A
1
12
12
2
B
2
B
∆
=
2.5
mkNm
EJ
mkNm
EJ
⋅
⋅ − ⋅ + ⋅ −
(
( 65) 2.25 4 ( 39.375) 1.9375 ( 13.75) 1.625
⋅ + − ⋅ +
)
26
2.5
⋅
+
⋅
⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
(
( 13.75) 1.625 4 ( 6.875) 1.3125
+⋅+
01
)
26
⋅
5
mkNm
( 10.5)
−
kN
⋅ − ⋅ ⋅
( 0.25)
mm
105.216
⋅
kNm
2
(
)
+
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ +
0 1 4 3 0.5 ( 10) 0
=−
EJ
⋅
6
4
EJ
EJ
Po podstawieniu obliczonych współczynników do układu równań i jego rozwiązaniu otrzymujemy
X
1 12.221
=
kNm
.
3.3. RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE
Mając wyznaczoną wielkość 1
X wyznaczamy rzeczywiste siły przekrojowe i reakcje
H
F
A
=
H
1
⋅
X
+
H
F
A
=
0
,
V
F
A
=
V
1
⋅
X
+
V
F
A
=
17
.
445
kN
,
M
F
A
=
M
1
⋅
X
+
M
F
A
=
13
.
503
kNm
A
1
A
1
A
1
V
F
B
=
V
1
⋅
X
+
V
F
B
=
13
.
555
kN
,
S
F
B
=
S
1
⋅
X
+
S
F
B
=
−
V
F
B
=
−
13
.
555
kN
,
B
1
B
1
M
F
=⋅ +
MX M
1
F
,
VVXV
F
=⋅ +
1
F
,
N
F
=⋅ +
NX N
1
F
.
α
α
1
α
α
α
1
α
α
α
1
α
-37,503
6,109
12,221
M F
kNm
9,110
-10,000
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
Przykład opracował, we współpracy ze mną,
Wojciech Zielichowski-Haber
3
układzie danym
1
1
gdzie
11
⋅
-37,503
21043176.016.png 21043176.017.png 21043176.018.png 21043176.019.png 21043176.020.png
 
METODA SIŁ – przykład 3 – ilustracja wpływu układu podstawowego na postać układu równań
17,445
17,445
1,467
2,445
2,445
1,956
V F
kN
N F
kN
-10,844
-8,133
4. ROZWIĄZANIE RAMY Z WYKORZYSTANIEM UKŁADÓW PODSTAWOWYCH
Nr 2 i Nr 3
4.1. ROZWIĄZANIA UKŁADÓW PODSTAWOWYCH Nr 2 i Nr 3
4.1.1. WYNIKI ROZWIĄZANIA UKŁADÓW PODSTAWOWYCH
OD OBCIĄŻENIA F=(M,P,q)
P=15kN
q=4 k m
P=15kN
q=4 k m
M A
M A
H A A
1
2EJ
2
H A
A
1
2
2EJ
V A
EJ
V A
EJ
M=10kN
B
M=10kN
B
k= 4EJ
m3
2,50m
2,50m
4,00m
2,50m
2,50m
4,00m
V B
Reakcje po dporowe w obydwu układ ac h
kNm
M A
=
159
.
000
,
H
F
A
=
0
,
V A
=
31
.
000
kN
,
V
F
B
=
0
(w układzie podstawowym nr 2 reakcja podporowa
V
F
B
=
0
a w układzie podstawowym nr 3 brak
podpory i więzi sprężystej, więc też można przyjąć
V
F
B
=
0
).
Wobec tego w obydwu przypadkach
S
F
B
=
−
V
F
B
=
0
.
Wykres momentów zginających
-159,500
-159,500
-82,000
-42,000
-42,000
M F
kNm
-18,000
4.1.2. ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO Nr 2 i Nr 3 OD OBCIĄŻENIA X 1 =1
-10,000
M A
H A
A
1
2
M A
2EJ
H A
A
1
2
V A
EJ
2EJ
V A
EJ
B
X 1 =1
X 1 =1
B
X 1 =1
k= 4EJ
m3
2,50m
2,50m
4,00m
2,50m
2,50m
4,00m
V B
4
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
Przykład opracował, we współpracy ze mną,
Wojciech Zielichowski-Haber
17,445
1,467
2,445
-8,133
-82,000
-42,000
21043176.021.png 21043176.022.png 21043176.023.png 21043176.024.png 21043176.025.png 21043176.026.png 21043176.027.png 21043176.028.png 21043176.029.png 21043176.030.png 21043176.031.png 21043176.032.png
 
METODA SIŁ – przykład 3 – ilustracja wpływu układu podstawowego na postać układu równań
Reakcje podporowe w obydwu układach:
M A
1
=
9
000
m
,
H
1
=
0
,
V
1
=
1
000
.
A
A
W układzie podstawowym nr 2
V
1
=
−
1
i
S
1
=
−
V
1
=
1
.
B
B
B
W układzie podstawowym nr 3 brak podpory i więzi sprężystej, więc można przyjąć
S
B V
=
1
B
=
0
.
Tu pojawia się, więc różnica w rozwiązaniach układów podstawowych nr 2 i nr 3.
Wykres momentów zginających jest jednakowy dla obydwu układów
-9,000
-6,500
-4,000
-4,000
1
2
M 1
m
3
4.2. RÓWNANIE METODY SIŁ I JEGO ROZWIĄZANIE
W przypadku UKŁADU PODSTAWOWEGO NR 2 równanie metody sił opisuje warunek, że
wzajemne przesunięcie (zmiana odległości) końca pręta i końca więzi sprężystej w miejscu
przyłożonych sił hiperstatycznych X w układzie podstawowym
∆
1
(
X
1
,
F
)
=
δ
11
⋅
X
1
+
δ
1
F
musi być
, co po uwzględnieniu, że w układzie danym
to wzajemne przesunięcie jest równe zero (koniec pręta nie może się oderwać od końca więzi
sprężystej) prowadzi do równania analogicznego jak dla układu podstawowego nr 1
0
∆
rz
F
δ
11
⋅
X
1
+
δ
1
F
=
∆
rz
F
=
gdzie
δ ⋅
11
X
1
i
δ
1 F
- wzajemne przesunięcie w układzie podstawowym w miejscu przyłożonych sił
hiperstatycznych
X wywołane odpowiednio siłami
X i obciążeniem danym,
X .
W przypadku UKŁADU PODSTAWOWEGO NR 3 równanie metody sił opisuje warunek, że
przesunięcie końca pręta w miejscu przyłożonej siły hiperstatycznej
11
- wzajemne przesunięcie jak wyżej wywołane siłami
1
=
1
X w układzie podstawowym
∆
1
(
X
1
,
F
)
=
δ
11
⋅
X
1
+
δ
1
F
musi być równy temu samemu przesunięciu w układzie danym
∆
rz
F
.
To przesunięcie nie jest równe zero
F .
Aby więc zbudować układ równań musimy przedtem określić rz F
∆
rz
≠
0
∆
.
M
1
⋅
M
F
S
1
⋅
S
F
B
B
Przemieszczenie to można obliczyć na podstawie wzoru ∫
∆
rz
F
=
∆
=
⋅
dx
+
,
1
1
F
EI
k
gdzie M , S oznaczają wartości „rzeczywiste” w układzie danym od obciążeń F (patrz p.3.3),
M , S oznaczają wartości w dowolnym układzie podstawowym od siły jednostkowej przyłożonej w
miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia to jest w miejscu i kierunku X .
Weźmy przykładowo schemat jak w
układzie podstawowym nr 1 i obciążmy
go siłą
A
A
1
2
X z układu nr 3 (rysunek
obok). W wyniku roz wi ązania t eg o
układu otrzymujemy
1
=
1
M A
2EJ
V A
EJ
M
1
=
0
,
V
B
=
1
X 1 =1
B VS . Uwzględniając fakt,
że wartość siły w więzi sprężystej w
układzie danym jest równa X , z układu
nr 3, wartość szukanego przemieszczenia
wynosi
1
=
−
1
B
=
−
1
B
2,50m
2,50m
4,00m
k= 4EJ
m3
V B
∆
rz
F
=
∫
0
⋅
M F
⋅
dx
+
−
1
⋅
X
1
=
−
X
1
1
EI
k
k
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
Przykład opracował, we współpracy ze mną,
Wojciech Zielichowski-Haber
5
1
równe temu samemu przesunięciu w układzie danym
1
1
δ
1
1
1
i
21043176.033.png 21043176.034.png 21043176.035.png 21043176.036.png 21043176.037.png 21043176.038.png 21043176.039.png 21043176.040.png 21043176.041.png 21043176.042.png 21043176.043.png 21043176.044.png 21043176.045.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin