Przyst-przyk1.pdf

(273 KB) Pobierz
Dana jest rama jak na rysunku
PRZYSTOSOWANIE – przykład 1 – Nośność jest określona przez warunki przyrostowe
NOŚNOŚĆ RAMY ZE WZGLĘDU NA PRZYSTOSOWANIE
Dana jest rama i program
obciążenia jak na rysunku
obok.
F 2
2
F 1
Określić mnożnik
graniczny obciążenia ze
względu na przystosowanie
oraz sporządzić wykres
momentów resztkowych i
obwiednie momentów
„sprężystych”
i „plastycznych”. Dokonać
kontroli rozwiązania
sposobem kinematycznym.
I240
4
1
3
−
F
µ
≤
F
1
≤
3
⋅
F
µ
FL
µ
≤
F
2
≤
2
⋅
FL
µ
5
0.75 L
L
L
Uwaga: Na rysunku powyżej poza danymi oznaczono też przekroje krytyczne
i wyróżniono włókna do znakowania momentów zginających.
1 OBLICZENIE CHARAKTERYSTYK PRZEKROJÓW PRĘTÓW
Dla I 220
Moment bezwładności
b f
I
=
3060 cm
4
.
Wskaźnik wytrzymałości na zginanie sprężyste
We
=
278 cm
3
.
Pole przekroju
A
=
39 cm
.
2
.
Odległość środka ciężkości połówki dwuteownika od krawędzi stopki
t w
e
=
2
.
82
cm
.
Odległość między środkami ciężkości połówek dwuteownika
a
=
h
−
2
⋅
e
=
22
−
2
⋅
2
.
82
=
16
.
36
cm
.
Moment graniczny ze względu na nośność „plastyczną”
Mo
220
=
0
.
5
⋅
A
⋅
a
⋅
Re
=
0
.
5
⋅
39
.
6
cm
2
⋅
16
.
36
cm
⋅
Re
=
(gdzie Re - granica plastyczności materiału).
Moment graniczny ze względu na nośność „sprężystą”
=
323
.
928
cm
3
⋅
Re
≡
Mo
Me
220
=
We
⋅
Re
=
278
cm
3
⋅
Re
=
278
cm
3
⋅
Re/
Mo
⋅
Mo
=
278
⋅
Re/(
323
.
928
⋅
Re)
⋅
Mo
=
0
8582
⋅
Mo
.
Sztywność giętna
EI
220
=
205000000
kN
/
m
2
⋅
0
.
00003060
m
4
=
6273
kNm
2
≡
EI
.
Dla I 240
Moment bezwładności
I
=
4250 cm
4
.
Wskaźnik wytrzymałości na zginanie sprężyste
We
=
354 cm
3
.
Pole przekroju
A
=
46 cm
.
1
2
.
Odległość środka ciężkości połówki dwuteownika od krawędzi stopki
e
=
3
.
09
cm
.
Odległość między środkami ciężkości połówek dwuteownika
a
=
h
−
2
⋅
e
=
24
−
2
⋅
3
.
09
=
17
.
82
cm
.
Moment graniczny ze względu na nośność „plastyczną”
Mo
240
=
0
.
5
⋅
A
⋅
a
⋅
Re
=
0
.
5
⋅
46
.
1
cm
2
⋅
17
.
82
cm
⋅
Re
=
410
.
751
cm
3
⋅
Re
=
410
.
751
cm
3
⋅
Re/
Mo
⋅
Mo
Mo
=
410
.
751
cm
3
⋅
Re/(
323
.
928
⋅
Re)
⋅
Mo
=
1
268
⋅
,
Moment graniczny ze względu na nośność „sprężystą”
Me
240
=
We
⋅
Re
=
354
cm
3
⋅
Re
=
354
cm
3
⋅
Re/
Mo
⋅
Mo
=
354
⋅
Re/(
323
.
928
⋅
Re)
⋅
Mo
=
1
0928
⋅
Mo
.
Sztywność giętna
EI
240
=
205000000
kN
/
m
2
⋅
0
.
00004250
m
4
=
8712
.
5
kNm
2
=
8712
.
5
kNm
2
/
EI
⋅
EI
=
=
8712
.
5
kNm
2
/
6273
kNm
2
⋅
EI
=
1
.
3889
⋅
EI
Nośności przekrojów 1, 2, 3, 4 i 5 wynoszą odpowiednio:
- momenty graniczne
Mo
1
=
Mo
4
=
Mo
5
=
Mo
,
Mo
2
=
Mo
3
=
1
268
⋅
Mo
,
- momenty graniczne ze względu na nośność sprężystą
Me
1
=
Me
4
=
Me
5
=
0
8582
⋅
Mo
,
Me
2
=
Me
3
=
1
0928
⋅
Mo
.
1
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
=
21043287.025.png 21043287.026.png
PRZYSTOSOWANIE – przykład 1 – Nośność jest określona przez warunki przyrostowe
2 ROZWIĄZANIA RAMY OD OBCIĄŻEŃ JEDNOSTKOWYCH.
Wyznaczając siły przekrojowe od obciążeń siłami można uwzględniać rzeczywiste wartości
sztywności, ale też można przyjąć dowolną wartość za EI np.
EI
=
1
, co daje
EI
220
=
EI
=
1
,
EI . Wynika to z faktu, że w przypadku obciążenia siłami rozwiązanie
w zakresie sił nie zależy od wartości sztywności prętów, lecz od stosunków tych sztywności.
240
=
1
.
3889
⋅
EI
=
1
.
3889
F 2 =1
F 1 =1
1.3889 EI
1.3889 EI
Rozwiązania wykonano na komputerze. Wykresy momentów zginających przedstawiono poniżej
0.099 L
0.252 L
0.163
M F1=1
M F2=1
0.165 L
0.078
3 WYZNACZENIE RZĘDNYCH OBWIEDNI MOMENTÓW ZGINAJĄCYCH
W PRZEKROJACH KRYTYCZNYCH.
Jak widać na przedstawionych powyżej wykresach momentów zginających ekstremalne wartości
momentów zginających mogą wystąpić w przekrojach oznaczonych na rysunku pierwszym numerami
1, 2, 3, 4, 5. Rzędne obwiedni momentów zginających obliczono w tabeli poniżej korzystając
z zależności:
- maksymalny i minimalny moment zginający w przekroju i-tym od siły k-tej
(
)
M
F
k
=
1
⋅
dol.gran.
F
,
gdy
M
F
k
=
1
≤
0
max
M
e
i
(
F
)
=
max
M
F
i
k
=
1
⋅
dol.gran.
F
,
M
F
k
=
1
⋅
gór.gran.
F
=
i
k
i
k
k
i
k
M
F
=
1
⋅
gór.gran.
F
,
gdy
M
F
i
=
1
≥
0
k
k
i
k
(
)
M
F
k
=
1
⋅
dol.gran.
F
,
gdy
M
F
k
=
1
≥
0
min
M
e
i
(
F
)
=
min
M
F
i
k
=
1
⋅
dol.gran.
F
,
M
F
i
k
=
1
⋅
gór.gran.
F
=
i
k
i
k
k
k
M
F
=
1
⋅
gór.gran.
F
,
gdy
M
F
=
1
≤
0
k
k
i
k
i
- maksymalny i minimalny moment zginający w przekroju i-tym od obciążenia wszystkimi siłami
∑
max
M
e
i
=
max
M
e
i
(
F
k
)
,
∑
min
M
e
i
=
min
M
e
i
(
F
k
)
k
k
- amplituda zmian momentów w przekroju i-tym
∆
M
e
i
=
max
M
e
i
−
min
M
e
i
.
MOMENTY EKSTREMALNE - RZĘDNE OBWIEDNI
Przekrój
-1 F
µ
<=F1<= 3 F
µ
1 FL
µ
<=F2<= 2 FL
µ
minM i e
maxM i e
∆
M i e
M i F1=1
minM i F1
maxM i F1
M i F2=1
minM i F2
maxM i F2
1
-0.099
-0.099
0.324
-0.252
-0.297
0.099
0.099
0.972
0.252
0.495
-0.492
0.508
0.173
-0.163
-0.984
-0.492
1.016
0.346
-0.163
0.156
-1.281 -0.393 0.888
2
-0.297
0.508
0.211 1.115 0.904
3
-0.324
0.173
-0.151 1.318 1.469
4
-0.756
-0.326
-1.082 0.089 1.171
5
0.165
-0.165
0.078
0.078
-0.087 0.651 0.738
Mnożnik
L
FL
µ
1
FL
µ
FL
µ
FL
µ
FL
µ
2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
21043287.027.png 21043287.028.png 21043287.001.png 21043287.002.png 21043287.003.png 21043287.004.png 21043287.005.png 21043287.006.png 21043287.007.png 21043287.008.png 21043287.009.png 21043287.010.png 21043287.011.png 21043287.012.png
PRZYSTOSOWANIE – przykład 1 – Nośność jest określona przez warunki przyrostowe
4 WYRAŻENIE MOMENTÓW RESZTKOWYCH PRZEZ ZMIENNE NIEZALEŻNE
4.1 WYZNACZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI.
Korzystamy ze wzoru
t
n h
=
e
−
3.
⋅
t
=
1
e
=
3
+
2
=
5
e=2
n
h
=
5
−
3
⋅
1
=
2
e=3
4.2 UKŁAD PODSTAWOWY METODY SIŁ BEZ OBCIĄŻEŃ DANYCH.
X 2
X 1
4.3 ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO OD JEDNOSTKOWYCH SIŁ
HIPERSTATYCZNYCH
Wykresy momentów zginających od
X
1
=
1
M i od
1
X
2
=
1
( )
M przedstawiono poniżej
2
1
L
-
L
L
+
+
1
-
-
+
M 2
M 1
X 2 =1
X 1 =1
4.3.1 MOMENTY RESZTKOWE W PRZEKROJACH KRYTYCZNYCH
Wzór
M
r
=
∑
M
j
⋅
X
i
i
j
j
Wyrażenia szczegółowe
M r
1
=
0
.
273
⋅
X
1
−
L
⋅
X
2
M r
2
=
0
273
⋅
X
1
−
L
⋅
X
2
M r
3
=
0
.
636
⋅
X
1
−
L
⋅
X
2
M r
4 1
=
⋅
X
1
−
L
⋅
X
2
M r
5
=
1
⋅
X
1
+
0
⋅
X
2
5 OGRANICZENIA NA PRZYSTOSOWANIE.
Układ przystosuje się, jeśli dla każdego przekroju krytycznego będą spełnione warunki:
- warunki przyrostowe
M
r
i
+
max
M
e
≤
Mo
i
i
−
M
r
i
−
min
M
e
i
≤
Mo
i
- warunki zmęczeniowe
max
M
e
i
−
min
M
e
i
≤
2
⋅
Me
i
Szczegółowe postaci warunków przedstawiono poniżej.
Warunki przyrostowe
0
273
⋅
X
1
−
L
⋅
X
2
−
0
393
⋅
FL
µ
≤
Mo
−
0
273
⋅
X
1
+
L
⋅
X
2
+
1
281
⋅
FL
µ
≤
Mo
Mo
0
273
⋅
X
1
−
L
⋅
X
2
+
1
115
⋅
FL
µ
≤
1
268
⋅
−
0
.
273
⋅
X
1
+
L
⋅
X
2
−
0
211
⋅
FL
µ
≤
1
268
⋅
Mo
3
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
( )
21043287.013.png 21043287.014.png 21043287.015.png 21043287.016.png 21043287.017.png 21043287.018.png 21043287.019.png 21043287.020.png 21043287.021.png 21043287.022.png
PRZYSTOSOWANIE – przykład 1 – Nośność jest określona przez warunki przyrostowe
0
636
⋅
X
1
−
L
⋅
X
2
+
1
318
⋅
FL
µ
≤
1
268
⋅
Mo
−
0
.
636
⋅
X
1
+
L
⋅
X
2
+
0
151
⋅
FL
µ
≤
1
268
⋅
Mo
1
⋅
X
1
−
L
⋅
X
2
+
0
089
⋅
FL
µ
≤
Mo
−
1
⋅
X
1
+
L
⋅
X
2
+
1
082
⋅
FL
µ
≤
Mo
1
⋅
X
1
+
0
⋅
X
2
+
0
651
⋅
FL
µ
≤
Mo
−
1
⋅
X
1
−
0
⋅
X
2
+
0
087
⋅
FL
µ
≤
Mo
Warunki zmęczeniowe
0
.
888
⋅
FL
µ
≤
1
.
7164
⋅
Mo
Mo
0
.
904
⋅
FL
µ
≤
2
.
1856
⋅
1
.
469
⋅
FL
µ
≤
2
.
1856
⋅
Mo
1
.
171
⋅
FL
µ
≤
1
.
7164
⋅
Mo
0
.
738
⋅
FL
µ
≤
1
.
7164
⋅
Mo
, przy której spełnione są wszystkie ograniczenia
(układ przystosuje się). Jest to zadanie programowania liniowego. Można wykorzystać dowolny
program komputerowy rozwiązujący takie zadania dla dowolnych wartości zmiennych. Niektóre
programy (np. MATHEMATICA) dopuszczają tylko dodatnie wartości zmiennych a ich
wykorzystanie jest możliwe po wykonaniu dodatkowych przekształceń. Dostępnymi w laboratorium
programami, które rozwiązują zadanie dla dowolnych zmiennych jest Excel i MAX-MI, który
dodatkowo określa zmienne dualne (kąty odkształceń w przegubach plastycznych).
Poniżej przedstawiono przykładową tabelę Excela pozwalającą na rozwiązanie tego zadania.
µ
Wartości uzyskane z rozwiązań
"sprężystych" ramy
Wartości po podstawieniu za
i X i
wartości granicznych
Przekroj M i 1
M i 2 /L maxM i e /FL
µ
M i r /Mo
maxM i e /Mo
maxM i /Mo
Mo i /Mo
maxM 1
0.273 -1.000
-0.393
= 0.1624 + -0.3566 = -0.1942 <=
1
maxM 2
0.273 -1.000
1.115
= 0.1624 +
1.0117
= 1.1741 <= 1.268
maxM 3
0.636 -1.000
1.318
= 0.0721 +
1.1959
= 1.2680 <= 1.268
maxM 4
1.000 -1.000
0.089
= -0.0182 +
0.0808
= 0.0625 <=
1
maxM 5
1.000
0.000
0.651
= -0.2483 +
0.5907
= 0.3424 <=
1
-M i 1
-M i 2 /L -minM i e /FL
µ
-M i r /Mo
-minM i e /Mo -minM i /Mo
-minM 1
-0.273 1.000
1.281
= -0.1624 +
1.1624
= 1.0000 <= 1
-minM 2
-0.273 1.000
-0.211
= -0.1624 + -0.1915 = -0.3538 <= 1.268
-minM 3
-0.636 1.000
0.151
= -0.0721 +
0.1370
= 0.0649 <= 1.268
-minM 4
-1.000 1.000
1.082
= 0.0182 +
0.9818
= 1.0000 <= 1
-minM 5
-1.000 0.000
0.087
= 0.2483 +
0.0789
= 0.3272 <=
1
∆
M i 1
∆
M i 2 /L
∆
M i e /FL
µ∆
M i r /Mo
∆
M i e /Mo
∆
M i e /Mo
2Me i /Mo
∆
M 1
0
0
0.888
=
0
+
0.8058
= 0.8058 <= 1.7164
∆
M 2
0
0
0.904
=
0
+
0.8203
= 0.8203 <= 2.1856
∆
M 3
0
0
1.469
=
0
+
1.3329
= 1.3329 <= 2.1856
∆
M 4
0
0
1.171
=
0
+
1.0625
= 1.0625 <= 1.7164
∆
M 5
0
0
0.738
=
0
+
0.6696
= 0.6696 <= 1.7164
Niewiadome
X 1 /Mo X 2 L/Mo FLm/Mo
-0.2483 -0.2301 0.9074 = komórki zmieniane
Wartości
Lewe
Prawe
Parametry f.c.
0
0
1
strony
strony
Funkcja celu
0.0000 0.0000
0.9074
0.9074 = FL
µ
/Mo
ograniczeń ograniczeń
Szukamy maksymalnej wartości funkcji celu
UWAGA: Sprawdzić w opcjach Excela czy nie są ustawione nieujemne wartości zmiennych
Komórka (wartość) funkcji celu
4
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
6 ROZWIĄZANIE OGRANICZEŃ
Poszukujemy największej wartości mnożnika
µ
21043287.023.png 21043287.024.png
PRZYSTOSOWANIE – przykład 1 – Nośność jest określona przez warunki przyrostowe
Uporządkowanie ograniczeń nie wpływa na wyniki rozwiązania. Do tabeli wpisano w pierwszej
kolejności ograniczenia dotyczące maksymalnych momentów w drugiej minimalnych a w trzeciej
zmęczeniowe.
Jak widać wyniki rozwiązania są następujące:
µ
=
0
9074
⋅
Mo
,
X
=
−
0
2483
⋅
Mo
,
X
=
−
0
2301
⋅
Mo
.
FL
1
2
L
Trzy ograniczenia przyrostowe (wytłuszczone) dotyczące przekroju 3, 1 i 4 spełnione są
równościowo a pozostałe ograniczenia spełnione są nierównościowo. Oznacza to, że o nośności ramy
decydują warunki przyrostowe i że uplastycznienie w stanie granicznym następuje w przekrojach: 1, 3
i 4. Z faktu, że spełnione równościowo ograniczenia dotyczą: maksimum dla przekroju 3 i minimum
dla przekroju 1 i 4 wynika, że odkształcenia plastyczne (kąty) w tych przekrojach będą miały znak „+”
w przekroju 3 i „-” w przekrojach 1 i 4.
Jak już wspomniano w laboratorium komputerowym zainstalowany jest też program o nazwie
„MAX-MI”, który jest przystosowany do rozwiązywania ograniczeń na przystosowanie a jego zaletą
jest to, że jako wyniki rozwiązania podaje on poza wartościami zmiennych pierwotnych (
µ
,
X
i
) także
wartości zmiennych dualnych ( Y ), które są odkształceniami plastycznymi w przegubach
plastycznych.
Poniżej przedstawiono wydruk danych i wyników uzyskany dla rozwiązywanego przykładu.
D A N E
lo = 15 lzs = 2 lz = 3
TABLICA OGRANICZEN
1 2 3 <= ww
-f 0.00E+0000 0.00E+0000 -1.00E+0000 0.00E+0000
1 2.73E-0001 -1.00E+0000 -3.93E-0001 1.00E+0000
2 2.73E-0001 -1.00E+0000 1.12E+0000 1.27E+0000
3 6.36E-0001 -1.00E+0000 1.32E+0000 1.27E+0000
4 1.00E+0000 -1.00E+0000 8.90E-0002 1.00E+0000
5 1.00E+0000 0.00E+0000 6.51E-0001 1.00E+0000
6 -2.73E-0001 1.00E+0000 1.28E+0000 1.00E+0000
7 -2.73E-0001 1.00E+0000 -2.11E-0001 1.27E+0000
8 -6.36E-0001 1.00E+0000 1.51E-0001 1.27E+0000
9 -1.00E+0000 1.00E+0000 1.08E+0000 1.00E+0000
10 -1.00E+0000 0.00E+0000 8.70E-0002 1.00E+0000
11 0.00E+0000 0.00E+0000 8.88E-0001 1.72E+0000
12 0.00E+0000 0.00E+0000 9.04E-0001 2.19E+0000
13 0.00E+0000 0.00E+0000 1.47E+0000 2.19E+0000
14 0.00E+0000 0.00E+0000 1.17E+0000 1.72E+0000
15 0.00E+0000 0.00E+0000 7.38E-0001 1.72E+0000
W Y N I K I K O N C O W E
FUNKCJA CELU F = 9.0733E-0001
ZMIENNE PIERWOTNE
X1 =-2.4836E-0001 X2 =-2.3009E-0001
mi = 9.0733E-0001
ZMIENNE DUALNE
Y1= 0.0000E+0000 Y2= 0.0000E+0000 Y3= 4.0006E-0001 Y4= 0.0000E+0000
Y5= 0.0000E+0000
5
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin