od_belek_zg-profaska.pdf
(
261 KB
)
Pobierz
224647668 UNPDF
Wyznaczanie odkształceń belek
zginanych - Równanie różniczkowe
osi odkształconej.
Metoda Clebscha
Wzory na naprężenia normalne w belkach zginanych zostały wyprowadzone
uwzględniając fakt, że moment zginający wywołuje wzajemny obrót przekrojów uprzednio
równoległych (rys.7.3). Powoduje to zakrzywienie, czyli ugięcie pierwotnie prostej osi belki,
przy czym w zginaniu prostym oś ta jest krzywą płaską.
Przyjmując oś
x
układu współrzędnych, pokrywającą się z nieodkształcalną osią belki
(rys. 7.5a,b), możemy ogólnie oś ugiętą określić zależnością
y
= f(
x
), a krzywiznę równaniem
(7.9).
ρ
=
M
g
EJ
z
(7.9)
Wzór ten zakłada stałą sztywność na rozpatrywanym odcinku belki oraz pomija wpływ
sił poprzecznych na jej odkształcenie.
Rys. 7.5a,b
Wykorzystując, znany z geometrii różniczkowej, wzór na krzywiznę dowolnej krzywej
płaskiej
y
= f(
x
)
1
ρ
= ±
y
''
[1 + (y
'
)
2
]
3
(7.13)
możemy po podstawieniu (7.9) znaleźć równanie różniczkowe osi odkształconej belki
M
g
EJ
z
= ±
[1 + (y
'
)
2
]
3
,
y
''
(7.14)
którego całkowanie z reguły jest kłopotliwe.
Z uwagi na znaczną sztywność belek związane z tym odkształcenia są niewielkie, co
pozwala przyjąć, że (
y
’
)
2
≈
0
i uprościć wzór (7.14) do postaci:
d
2
y
EJ
z
.
(7.15)
1
dx
2
= ±
M
g
Przyjęcie w równaniu (7.15) znaku plus lub minus jest zależne od znaku drugiej
pochodnej linii ugięcia w przyjętym układzie współrzędnych. Jeżeli kierunek dodatni osi
x
przyjmiemy w prawo, a dodatni kierunek osi
y
w dół (uważając ugięcie w dół za dodatnie), to
momentowi dodatniemu, wyginającemu belkę ku dołowi, odpowiada druga pochodna ujemna
i dlatego
EJ
z
.
Równanie to możemy zapisać następująco:
EJ
z
d
2
y
dx
2
= - M
g
(7.16)
i nosi ono nazwę
równania różniczkowego osi odkształconej
.
Całkując dwukrotnie równanie (7.16) znajdziemy dla rozpatrywanego odcinka belki, dla
którego
EJ
z
=
const
y’ =
dy
dx
= -
1
EJ
z
dx
M
g
+
C
,
(7.17)
l
y = -
1
EJ
z
dx
M
g
dx
+
Cx
+
D
.
(7.18)
l l
Równanie (7.17) określa kąt, zaś równanie (7.18) wielkość ugięcia. Równania te
odnoszą się do określonych odcinków belki, zwanych przedziałami, dla których moment
zginający określony jest jednym wyrażeniem algebraicznym. Chcąc ustalić przebieg
odkształcenia belki o
n
przedziałach na całej jej długości musimy rozwiązać
n
równań typu
(7.16). W rezultacie otrzymamy dla każdego przedziału dwie
stałe całkowania C
oraz
D
.
Wykorzystując fakt, że oś ugięta belki jest krzywą ciągłą, pozbawioną skoków, załamań
i ostrzy, stałe
C
i
D
wyznaczamy z tzw
.
warunków brzegowych
(tabl. 7.1) na podstawie
równości kątów ugięcia (
y’
) i ugięć (
y
) na brzegach sąsiadujących ze sobą przedziałów.
Tablica 7.1
Granica przedziału
Warunki brzegowe
Ilość warunków
Koniec utwierdzony
Przegubowa podpora krańcowa
Przegubowa podpora pośrednia
y = 0; y’ = 0
y = 0
y
l
’ = y
p
’ y
l
= 0
y
p
= 0
y
l
= y
p
y
l
’ = y
p
’
y
l
= y
p
2
1
3
1
2
Przegub
Miejsce przyłożenia siły lub momentu
skupionego, granica obciążenia ciągłego
Równość kątów ugięcia dwóch stykających się przedziałów momentów zginających
pozwala na określenie stałych całkowania
C,
natomiast równość ugięć na określenie
D
.
Ilość stałych całkowania jest więc dwukrotnie większa od ilości przedziałów.
Rozwiązanie
n
równań różniczkowych oraz
2n
stałych całkowania jest dość pracochłonne.
Można jednakże tak napisać równania różniczkowe osi odkształconej kolejnych odcinków
linii ugięcia, aby uzyskać równości odpowiednich stałych całkowania w kolejnych
przedziałach.
Należy zastosować się do następujących wskazówek:
-
równania momentów należy pisać tak, aby do równania każdego nowego przedziału
wchodziły wszystkie składniki równania przedziałów poprzednich. W tym celu należy
przyjąć jeden układ osi dla wszystkich przedziałów o początku w jednym z końców belki;
d
2
y
dx
2
= -
M
g
-
jeżeli
a
i
są współrzędnymi punktów przyłożenia sił skupionych
P
i
lub początków obciążeń
ciągłych
q
i
, to w wyrażeniach typu
P
i
(
x
–
a
i
) lub
q
i
2
x
–
a
i
2
, nie należy rozwijać
wyrażeń w nawiasach, ale całkować je wg następującego schematu:
P
i
(x - a
i
) dx =
P
i
2
x – a
i
2
+ C ,
x
q
i
(x - a
i
)
2
dx
2
=
q
i
(x - a
i
)
3
6
+ C ,
x
-
w przypadku obciążeń ciągłych należy przedstawić je tak, aby każde rozpoczęte
obciążenie ciągłe przebiegało aż do końca belki, a na odcinku, gdzie faktycznie tego
obciążenia nie ma, należy je dodać i odjąć.
-
w przypadku działania momentu skupionego należy wprowadzić do równania momentów
również współrzędną tego momentu.
Przedstawiony sposób postępowania nosi nazwę
metody Clebscha
.
Konsekwentne
postępowanie wg podanych wskazówek prowadzi do uproszczeń w praktycznym
przeprowadzeniu całkowania równania różniczkowego osi odkształconej.
Główną zaletą
metody Clebscha
rozwiązywania równań różniczkowych osi
odkształconej jest to, że ilość stałych całkowania jest niezależna od ilości przedziałów na
belce i wynosi zawsze dwa.
Plik z chomika:
Polocutor
Inne pliki z tego folderu:
sam_rama.ppt
(839 KB)
sam_belka.ppt
(1266 KB)
rozciaganie-profaska.pdf
(248 KB)
rama.zip
(397 KB)
problemy_stateczności-profaska.pdf
(683 KB)
Inne foldery tego chomika:
agig
geologia
geometria
matematyka
semestr 3 górnictwo i geologia
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin