mathematica.pdf

Pakiet Mathematica

R. Jasica, M. Marczak

Institute of Computer Science, AGH, al. Mickiewicza 30, 30059, Kraków, Poland

email: [mmarczak,jasica]@student.agh.edu.pl

www: www.student.agh.edu.pl/ [mmarczak,jasica]/mathematica.pdf

Streszczenie

ArtykułdotyczypakietuMathematica.Opróczkilkuogólnychinforma

cji prezentujeróżnemożliwości pracyw pakiecie Mathematica iwybra

ne elementy funkcjonalności. Do zrozumienia artykułu nie jest wyma

gana żadna wiedza o pakiecie.

1 Wprowadzenie. Czym jest Mathematica?

Mathematicajestwszechstronnymśrodowiskiempracydorealizacjiobliczeńma

tematycznych,wizualizacjidanychipublikacjiwynikówprac.Jesttośrodowisko

kompleksowe tzn. niepotrzebne jest żadne dodatkowe oprogramowanieaby zde

ﬁniować problem, rozwiązać go, przeprowadzić graﬁczną wizualizację otrzyma

nych wyników, a wszystko przygotować w formie gotowej do druku. Wszystko

to możnazrobićw Mathematice.Pierwszawersjaprogramuzostałaopracowana

w 1988 roku przez Stephena Wolframa i posiadała 600 wbudowanych funkcji.

Kod programu mieścił się w 150,000 liniach. W ciągu przeszło 20 lat istnienia

pakiet był stale rozwijany najnowsze wydanie z numerem 7.0.1.0 udostępnia

około 2550 wbudowanych funkcji, a jego kod źródłowy to ponad 2,5 miliona li

nii. (źródło : [1]) Oprócz funkcji wbudowanych istnieje możliwość załadowania

dodatkowych pakietów funkcji (tzw. ”Standard Extra Packages”) także liczba

wszystkich dostępnych funkcji jest jeszcze większa.

Z Mathematicy można korzystać jak z kalkulatora jednak jej możliwości są

znaczniewiększe.Mathematicaumożliwiaobliczeniasymboliczneinumerycznez

dowolną dokładnością. Jej procedury matematyczne implementują bardzo dużą

liczbę algorytmów z których większość została specjalnie zmodyﬁkowana lub

wręcz stworzona od zera wszystko to w celu jak największej optymalizacji.

Mathematica to również język programowania.

Zakresprocedurobliczeniowychpozwalanawykorzystywaniepakietuzarów

no przez uczniów i studentów jak i pracowników naukowych oraz inżynierów.

Przystępny interfejs i bardzo dobra dokumentacja umożliwiają łatwy start dla

początkujących.

Artykuł rozpoczniemy od opisania interfejsu i konwencji obowiązujących w

programie.Wdalszejczęścizaprezentujemywybranemożliwościprogramuwraz

z prostymi przykładami.

2 Podział na kernel i front-end

Mathematicaskładasięzdwóchczęści”kernel”i”frontend”.Kernelinterpre

tuje wyrażenia (w języku Mathematica) i zwraca wyrażenia wynikowe.

”The Mathematica Front End” udostępnia graﬁczny interfejs użytkownika,

który pozwala na tworzenie i edycję interaktywnych dokumentów w formacie

”Notebook” mogą one zawierać m.in. kod programów, sformatowany tekst,

wyniki obliczeń, graﬁkę, komponenty GUI, dźwięki. Dokumenty mają struktu

rę hierarchiczną podstawowym elementem jest komórka (cell). Umożliwia to

podział dokumentu na sekcje.Z dokumentów łatwomożna zrobić prezentację w

formie pokazu slajdów, można je też wydrukować bądź konwertować do innych

formatów (TeX, XML).

Rysunek 1: Wyglądprzykładowegodokumentu typu Notebook i jego struktura.

”The Mathematica Front End” jest oﬁcjalnym frontend’em i udostępnia m.

in. takie narzędzia jak debugger i kolorowanie składni. Jednak są też dostępne

alternatywne frontend’y, np.

• ”The Wolfram Workbench” IDE oparte na Eclipse

• JMath tekstowy frontend na licencji GNU

Kernel i frontend komunikują się za pomocą protokołu MathLink. Istnieje

możliwość uruchomienia kernela na jednym komputerze, a frontend’u na dru

gim.

3 Konwencje w Mathematice

• operatorem potęgowania jest^

• operatormnożeniamożebyćzapisanyjakospacjalubniemusibyćwogóle

zapisywany,a więc wyrażenia ”4x”,”4 x”,”4*x” są sobie równoważne

• nazwywbudowanychfunkcjiistałychzaczynająsięodwielkiejlitery,każde

kolejne słowo w nazwie również zaczyna się od wielkiej litery

• argumenty przekazywane do funkcji piszemy w kwadratowychnawiasach

• podstawową strukturą danych jest lista. Listę zapisujemy w nawiasach

klamrowychnp.{1,2,3}.

• kazdy ciąg liter i cyfr, nie rozpoczynający się od cyfry i nie zawierający

innych znaków, jest zmienną

Przyjrzyjmy się prototypowi przykładowejfunkcji:

RandomReal[ {xmin, xmax} ]

Jak widać funkcja przyjmuje jeden argument który jest listą składającą się z

dwóch liczb. Funkcja zgodnie z nazwą losuje liczbę rzeczywistą z przedziału

xmin, xmax.

FunkcjewMathematiceczęstomajądługienazwy.Wynikatozkolejnejkon

wencji wszystkie nazwy funkcji są zapisane jako całe angielskie słowa, chyba

że istnieje odpowiedni standardowy skrót matematyczny. Mathematica zawsze

będzie starała się dać dokładny wynik (o ile argumenty przekazane do funkcji

również były dokładne). Przykład:

In[1]:=Sqrt[25]

Out[1]=5

Wynik zgodny z oczekiwaniami.

In[2]:=Sqrt[2]

Out[2]=

Za to ten wynik może nieco zdziwić Mathematica stwierdziła że pierwiastek z

dwóch wynosi... pierwiastek z dwóch, czyli nic nie obliczyła. W tym przypadku

prawdopodobnie chodziło nam o uzyskanie przybliżenia, jednak trzeba to zasy

gnalizować explicite np. poprzez funkcję N :

In[3]:=N[Sqrt[2]]

Out[3]=1.41421

Przybliżenie można otrzymać z dowolną dokładnością :

In[4]:=N[Sqrt[3],30]

Out[4]= 1.41421356237309504880168872421

4 Obliczenia symboliczne

Główną siłą Mathematicy jest możliwość dokonywania obliczeń symbolicznych.

Operowane na symbolach pozwala na dokładne rozwiązanie wielu problemów

matematycznych

4.1 Różniczkowanie i całkowanie

Do różniczkowania służy funkcja D, do całkowania Integrate. Poniżej krótkie

przykłady :

całka nieoznaczona:

In[]:=Integrate[1/(x^2 + 1), x]

Out[]=ArcTan[x]

całka oznaczona:

In[]:=Integrate[Sqrt[2*x + Sqrt[x]], {x, 0, 1}]

Out[]= 64

2 Log

5+2

pochodna:

In[]:=D[x^n,x]

Out=n x^{-1+n}

4.2 Upraszczanie wyrażeń

Do upraszczania wyrażeń służą dwie funkcje: Simplify i FullSimplify. Sim

plify wykorzystuje jedynie standardowe przekształcenia algebraiczne. Funkcja

FullSimplify jest znacznie bardziej skomplikowanai przezto wolniejsza, ale czę

sto potraﬁ znaleźć jeszcze krótszą postać wyrażenia. Przykład:

In[1]:=D[Integrate[1/(x^3 - 1), x], x]

Out[1]:=

− 2

3 ( 1+ 3 (1+2 x ) 2 )

Kolejno wykonane operacje całkowania i różniczkowania powinny zwrócić nam

to samo wyrażenie. Jednak nie widać tego na pierwszy rzut oka, ponieważ wy

rażenie wynikowe nie zostało uproszczone.

In[2]:=Simplify[%](% to skrót na skorzystanie z poprzedniego wyniku)

Out[2]:= 1

− 1+ x 3

3( − 1+ x )

− 1+2 x

6(1+ x + x 2 )

4.3 Rozwiązywanie równań

Wieleobliczeńwymagarozwiązaniaukładurównańliniowych.Równieżmoż

na to zrobić symbolicznie, za pomocą funkcji Solve.

Przykładoworozwiążmy układ równań:

x +5 y = a

2 x − y = b

Wystarczy w Mathematice wpisać:

In:=Solve[{x + 5 y, 2 x - y} == {a, b}, {x, y}]

Otrzymujemy wynik:

x ! 11 ( a +5 b ) ,y ! 11 (2 a − b )

Out=

IstniejerównieżfunkcjaDSolvedotyczącarównańróżniczkowych,którapozwala

na rozwiązywanie:

• równań i układów ODE (Ordinary Diﬀerential Equation)

• niektórychrównańPDE (PartialDiﬀerential Equation) większośćpierw

szego rzędu i część drugiego

• niektórych systemów DAE (DiﬀerentialAlgebraic Equation)

Przykład:

In[1]:=DSolve[y’[x] + y[x] == a Sin[x], y[x], x]

Out[1]=

y [ x ] ! e − x C [1]+ 1 2 a ( − Cos [ x ]+ Sin [ x ])

4.4 Przykłady innych funkcji symbolicznych

• Limit obliczanie granicy.

• Series rozwijanie funkcji w szereg

• Minimize szukanie minimum funkcji

• Sum liczenie sumy (Σ)

5 Obliczenia numeryczne

Choć Mathematica była pierwotnie przeznaczonado obliczeńsymbolicznych

oferuje bogaty wachlarz funkcji do obliczeń numerycznych.

5.1 Funkcje ogólnego przeznaczenia

• N Zwraca numeryczną reprezentacje z zadaną precyzją

• NSolve Rozwiązuje zadane równanie numerycznie

• NDSolve j/w, ale dotyczy równań różniczkowych

• NIntegrate Całkowanie numeryczne

• NMinimize Wyszukiwanie numeryczne globalnego minimum

• NSum Sumowanie numeryczne

• Fourier Pozwala przeprowadzić transformacje Furiera

• InverseFourier Przeprowadzaodwrotną operacje do Fourier

5.2 Liczby zespolone

Jednostkę urojonąmożna do wyrażeniawstawić wpisując symbol ”I”.Dodatko

wo dostępne są następujące funkcje do operowania na liczbach zespolonych:

• Re Zwraca cześć rzeczywistą liczby

• Im Zwraca część urojoną liczby

• Abs Wartość absolutna

• Sign Znormalizowany kierunek

• Conjugate Liczba sprzężona

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: